Fonctions sinus et cosinus

En première, le cercle trigonométrique servait à lire : à un réel $x$ on associait un point du cercle, puis son abscisse $\cos x$ et son ordonnée $\sin x$. Cette lecture définit en réalité deux fonctions, définies sur $\mathbb{R}$ tout entier :

Ce changement de point de vue est tout le chapitre : on ne lit plus un angle, on étudie une fonction — avec ses variations, sa courbe et sa dérivée.

Enroulement et périodicité. Enrouler la droite réelle autour du cercle de rayon $1$ fait revenir au même point chaque fois qu'on avance d'un tour, c'est-à-dire de $2\pi$. D'où, pour tout réel $x$ :

On dit que ces deux fonctions sont périodiques de période $2\pi$, et $2\pi$ est la plus petite période strictement positive : sur un tour, aucun point ne se répète. Conséquence pratique considérable : il suffit de connaître la courbe sur un intervalle de longueur $2\pi$ pour la connaître partout — le reste se recopie par translations de $2\pi$.

Parité. Les points d'abscisses $x$ et $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses : ils ont la même abscisse et des ordonnées opposées. Donc

Autrement dit, la courbe du cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, celle du sinus par rapport à l'origine.

Les deux courbes. Sur $[0\,;2\pi]$, le cosinus part de $1$, décroît jusqu'à $-1$ en $\pi$, remonte à $1$ en $2\pi$. Le sinus part de $0$, monte à $1$ en $\dfrac{\pi}{2}$, redescend à $-1$ en $\dfrac{3\pi}{2}$, revient à $0$. Les deux courbes ont exactement la même forme : celle du sinus est celle du cosinus décalée de $\dfrac{\pi}{2}$ vers la droite, ce qu'exprime l'identité $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos x$.

Deux dérivées à ne pas échanger. Le résultat central du chapitre tient en deux lignes, et une seule des deux porte un signe moins :

On les lit sur les courbes : là où le sinus monte le plus vite (en $0$), le cosinus vaut $1$ ; là où le sinus est maximal (en $\dfrac{\pi}{2}$), sa tangente est horizontale et le cosinus s'annule. Le signe moins du second est celui de la décroissance du cosinus juste après $0$.

Les fonctions qu'on rencontre vraiment — en physique, en traitement du signal, en biologie des rythmes — ne sont presque jamais $\sin$ ni $\cos$ tout nus, mais des fonctions de la forme

avec $A \ne 0$ l'amplitude, $\omega > 0$ la pulsation et $\varphi$ la phase. Trois nombres, trois effets géométriques distincts — et un piège de calcul.

L'amplitude $A$ étire verticalement. Puisque le facteur trigonométrique parcourt $[-1\,;1]$, la fonction $f$ parcourt $[-|A|\,;|A|]$. Son maximum est $|A|$, son minimum $-|A|$. L'amplitude ne change ni la période ni les abscisses des extremums.

La pulsation $\omega$ comprime horizontalement. C'est le point où l'intuition trahit le plus souvent. Cherchons la période $T$ de $f$ : dire que $f(x + T) = f(x)$ pour tout $x$, c'est dire que l'argument $\omega x + \varphi$ augmente d'un multiple de $2\pi$ quand $x$ augmente de $T$. Or il augmente de $\omega T$. La plus petite valeur strictement positive qui convient vérifie donc

On divise par $\omega$ : plus $\omega$ est grand, plus les oscillations sont serrées, donc plus la période est courte. Une pulsation de $5$ donne une période cinq fois plus petite que $2\pi$, pas cinq fois plus grande.

La phase $\varphi$ décale horizontalement. Écrire $A\sin(\omega x + \varphi) = A\sin\left(\omega\left(x + \dfrac{\varphi}{\omega}\right)\right)$ montre que la courbe est celle de $A\sin(\omega x)$ translatée de $-\dfrac{\varphi}{\omega}$. La phase ne change ni l'amplitude ni la période.

Dériver : le facteur $\omega$ sort, et il ne s'oublie pas. $f$ est une composée $\sin \circ\, u$ avec $u(x) = \omega x + \varphi$, donc $u'(x) = \omega$. La règle de dérivation d'une composée donne

Deux fautes se logent dans ces deux lignes, et ce sont les plus fréquentes de tout le chapitre : oublier le facteur $\omega$, et échanger les deux règles (mettre le signe moins sur la dérivée du sinus). La première a une conséquence mesurable : le maximum de $f'$ vaut $|A|\,\omega$, pas $|A|$. Avec $\omega = 4$, on se trompe d'un facteur $4$.

Résoudre $\cos x = a$ ou $\sin x = a$. La méthode est géométrique, jamais « ce que rend la calculatrice ». Pour $\sin x = a$ avec $-1 < a < 1$ : on trace la droite horizontale d'ordonnée $a$ ; elle coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Il y a donc deux solutions dans $[0\,;2\pi[$, et non une seule. Pour $\cos x = a$ : la droite est verticale d'abscisse $a$, les deux points sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Les cas limites $a = \pm 1$ donnent une solution double (la droite est tangente au cercle), et $|a| > 1$ n'en donne aucune.

Sur $\mathbb{R}$ tout entier, chacune de ces deux solutions engendre une infinité de solutions par ajout de $2k\pi$, $k$ entier relatif. Toujours préciser l'intervalle de résolution avant de compter.

Énoncé. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

1. Déterminer la plus petite période strictement positive de $f$, puis en donner une valeur décimale arrondie au millième.
2. Calculer $f'(x)$, puis le nombre dérivé $f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.
3. Quelle est la valeur maximale de $f'$ sur $\mathbb{R}$ ?
4. Combien l'équation $\sin x = \dfrac{1}{2}$ admet-elle de solutions dans $[0\,;2\pi]$ ? Les donner.

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1. La période. Quand $x$ augmente de $T$, l'argument $4x + \dfrac{\pi}{6}$ augmente de $4T$. La fonction reprend la même valeur dès que cette augmentation vaut $2\pi$, et $2\pi$ est la plus petite augmentation qui convienne. Donc

Contrôle de bon sens. La pulsation vaut $4$, donc la période doit être quatre fois plus petite que $2\pi \approx 6{,}283$. Et $6{,}283 / 4 \approx 1{,}571$ : cohérent. Si l'on avait trouvé $8\pi$, on aurait multiplié au lieu de diviser.

2. La dérivée. $f = 3\,(\sin \circ\, u)$ avec $u(x) = 4x + \dfrac{\pi}{6}$, donc $u'(x) = 4$. La dérivée du sinus est le cosinus — sans signe moins — et le facteur $u'$ sort :

On évalue en $x_0 = \dfrac{\pi}{6}$. D'abord l'argument :

Puis la valeur remarquable : $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. D'où

Le nombre dérivé est négatif : au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{6}$, la courbe descend, et elle descend vite.

3. Le maximum de $f'$. La fonction $f'$ vaut $12\cos(\ldots)$, et un cosinus atteint réellement la valeur $1$ (son argument parcourt tout $\mathbb{R}$ puisque $4 \ne 0$). Le maximum de $f'$ est donc

Le piège. Qui oublie le facteur $\omega$ répond $3$ : quatre fois trop peu. Le maximum de $f$ vaut bien $3$, mais celui de $f'$ vaut $12$ — deux questions différentes, deux nombres différents.

4. L'équation. On cherche les réels de $[0\,;2\pi]$ dont le point associé sur le cercle a pour ordonnée $\dfrac{1}{2}$. La droite horizontale d'ordonnée $\dfrac{1}{2}$ coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : il y a donc deux solutions,

Vérification. $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$ : les deux conviennent. La calculatrice, elle, n'aurait rendu que la première.

Figure (fig.math.trig-functions-derivative, SVG programmatique à produire) : trois panneaux, alignés pour que les abscisses se correspondent verticalement entre les deux premiers.

• Panneau haut — la fonction. Courbe de $f(x) = 3\sin\left(4x + \dfrac{\pi}{6}\right)$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{3\pi}{4}\right]$. Axe horizontal gradué en multiples de $\dfrac{\pi}{12}$, étiquetés en fractions de $\pi$ ; axe vertical de $-4$ à $4$, avec deux traits horizontaux en pointillé à $+3$ et $-3$ légendés « amplitude $|A| = 3$ ». Une double flèche horizontale entre deux maximums consécutifs, légendée « période $T = \dfrac{\pi}{2}$ ». Au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{6}$, un disque plein et sa tangente tracée, avec l'étiquette « pente $-6\sqrt{3} \approx -10{,}4$ ».
• Panneau milieu — la dérivée. Courbe de $f'(x) = 12\cos\left(4x + \dfrac{\pi}{6}\right)$ sur le même intervalle et avec la même échelle horizontale, axe vertical de $-13$ à $13$. Deux traits en pointillé à $+12$ et $-12$, celui du haut légendé « maximum $|A|\,\omega = 12$ ». Un trait en pointillé supplémentaire à $+3$, en style distinct, légendé « ce qu'on obtient en oubliant le facteur $\omega$ » — l'écart entre les deux traits est le sujet du panneau. Un disque plein à l'abscisse $\dfrac{\pi}{6}$, à l'ordonnée $-6\sqrt{3}$, relié par un trait vertical fin au disque du panneau haut : la pente en haut est l'ordonnée en bas.
• Panneau bas — le cercle. Cercle trigonométrique de rayon $1$, axes gradués. La droite horizontale d'ordonnée $\dfrac{1}{2}$ tracée en trait plein, coupant le cercle en deux points marqués, d'angles $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$, chacun relié à l'origine par un rayon et étiqueté. Un cartouche : « $\sin x = \dfrac{1}{2}$ : deux points, donc deux solutions sur un tour ». En vis-à-vis, en trait distinct, la droite verticale d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ et ses deux points $\pm\dfrac{\pi}{3}$, étiquetés « $\cos x = \dfrac{1}{2}$ ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau haut et le panneau milieu disent la même chose deux fois : là où la courbe du haut est la plus raide, celle du bas est la plus loin de zéro ; là où la courbe du haut a une tangente horizontale, celle du bas coupe l'axe. Le trait à $+3$ du panneau milieu montre à l'œil l'ampleur de l'erreur du facteur oublié. Le panneau bas remplace la calculatrice par un dessin : on compte des points d'intersection, pas des touches.

La figure en détail : la figure comprend trois parties superposées. En haut, la courbe d'une fonction sinusoïdale d'amplitude trois et de période un demi de pi oscille entre moins trois et plus trois ; deux droites horizontales en pointillé marquent l'amplitude, une double flèche marque la période entre deux sommets consécutifs, et une tangente est tracée en un point de la courbe où la fonction décroît fortement. Au milieu, sur la même échelle horizontale, la courbe de la fonction dérivée oscille entre moins douze et plus douze ; une droite en pointillé marque le maximum douze, une autre, de style différent, marque la valeur trois que l'on obtiendrait en oubliant le facteur de pulsation, et l'écart entre ces deux droites est visible d'un coup d'œil. Un trait vertical fin relie le point de tangence de la courbe du haut au point correspondant de la courbe du bas : la pente en haut est l'ordonnée en bas. En bas, un cercle de rayon un porte une droite horizontale à mi-hauteur qui le coupe en deux points symétriques par rapport à l'axe vertical, correspondant aux deux solutions d'une équation en sinus, et une droite verticale à mi-largeur qui le coupe en deux autres points symétriques par rapport à l'axe horizontal, correspondant aux deux solutions d'une équation en cosinus.

Les valeurs remarquables à savoir de tête (les seules qui servent ici) :

Ce qui n'est pas au programme. Les formules d'addition $\cos(a + b)$ et $\sin(a + b)$, la duplication, la fonction tangente et ses dérivées, ainsi que l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ (traitée en physique, sur l'oscillateur harmonique) sortent du cadre de cette leçon.

1. Échanger les deux dérivées. Écrire $(\sin)' = -\cos$ est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle survit à tout le calcul et ne se voit qu'à la fin. Une seule des deux règles porte un signe moins, et c'est celle du cosinus : $(\cos)' = -\sin$. Moyen de contrôle : en $0$, le sinus monte, donc sa dérivée y est positive — or $\cos 0 = 1 > 0$. Le compte est bon. Avec $-\cos$, on trouverait $-1$ : une fonction qui monte avec une dérivée négative, absurde.
2. Oublier le facteur $\omega$ en dérivant. $\left(\cos(5t)\right)'$ vaut $-5\sin(5t)$, pas $-\sin(5t)$. Le facteur vient de la dérivée de la fonction intérieure. Contrôle de grandeur : plus la fonction oscille vite, plus sa pente est raide — une dérivée qui ne dépend pas de $\omega$ ne peut pas être juste.
3. Multiplier par $\omega$ au lieu de diviser, pour la période. $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$. Grande pulsation, oscillations serrées, petite période. Vérifie toujours en pensant à un cas extrême : avec $\omega = 100$, la courbe oscille cent fois plus vite, sa période ne peut pas valoir $200\pi$.
4. Ne donner qu'une solution à $\sin x = \dfrac{1}{2}$ sur un tour. Il y en a deux, et la calculatrice n'en rend qu'une. Dessine le cercle et la droite : compte les points d'intersection, pas les affichages. La seconde solution est $\pi - x_1$ pour un sinus, $-x_1$ (ou $2\pi - x_1$) pour un cosinus.
5. Résoudre sans préciser l'intervalle. Sur $\mathbb{R}$, chaque solution en engendre une infinité, à $2k\pi$ près. « Deux solutions » n'a de sens que rapporté à un intervalle de longueur $2\pi$ ; en dehors, la réponse est une famille, pas une liste.
6. Confondre le maximum de $f$ et celui de $f'$. Le premier vaut $|A|$, le second $|A|\,\omega$. Ce sont deux questions distinctes, et l'écart entre les deux réponses est exactement le facteur qu'on oublie au piège 2.
7. Croire que la phase change la période. $\varphi$ translate la courbe, elle ne l'étire ni ne la comprime. Seule $\omega$ fixe la période ; seule $A$ fixe l'amplitude. Trois paramètres, trois effets indépendants.
8. Passer en degrés en cours de route. Les dérivées $(\sin)' = \cos$ et $(\cos)' = -\sin$ ne sont valables qu'en radians. En degrés, un facteur $\dfrac{\pi}{180}$ apparaîtrait. En analyse, l'angle est toujours un réel, jamais un degré.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé sert, sur une fonction $f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)$ ou $A\cos(\omega x + \varphi)$ tirée au hasard (amplitude entière, pulsation entre $2$ et $6$, phase multiple de $\dfrac{\pi}{6}$), l'une de trois questions : la plus petite période, le nombre dérivé en un point remarquable, ou la valeur maximale de $f'$. Les deux dernières sont impossibles à traiter sans le facteur $\omega$ — c'est délibéré. Un second modèle, en vrai ou faux, soumet une affirmation : une dérivée annoncée, une période annoncée, ou un nombre de solutions annoncé, à confirmer ou à réfuter.

Énoncé type. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

Calculer le nombre dérivé $f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$. Donner sa valeur décimale arrondie au millième.

Corrigé complet.

1. Dériver la composée. On pose $u(x) = 3x + \dfrac{\pi}{3}$, donc $u'(x) = 3$. La dérivée du cosinus est l'opposé du sinus, et le facteur $u'$ sort :

Détaillons ce signe, qui est le nerf de l'exercice : $\left(\cos u\right)' = -u'\sin u$, donc $\left(-2\cos u\right)' = -2 \times \left(-3\sin u\right) = 6\sin u$. Les deux signes moins se compensent.

2. Calculer l'argument au point demandé.

3. Lire la valeur remarquable. $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$ (le point est le symétrique de celui de $\dfrac{\pi}{6}$ par rapport à l'axe des ordonnées : même ordonnée). D'où

Réponse : $f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 3$.

Auto-contrôle. Trois questions à se poser avant de rendre. Ai-je fait sortir le facteur $\omega = 3$ ? Ai-je mis le signe moins sur la dérivée du cosinus, et non sur celle du sinus ? Et mon résultat est-il compatible avec l'encadrement $-|A|\,\omega \le f'(x) \le |A|\,\omega$, soit ici $-6 \le f'(x) \le 6$ ? Un nombre dérivé de $12$ trahirait une faute de facteur, un nombre dérivé de $0{,}5$ un facteur oublié.