Mathématiques · Prépa 1re année · 2 leçons

Fiche de révision : Probabilités

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Dénombrement — Cardinal d'un ensemble fini, principes additif et multiplicatif, cardinal d'une réunion et d'un produit cartésien, listes, arrangements, permutations, parties d'un ensemble, combinaisons et coefficients binomiaux, formule de Pascal, formule du binôme de Newton.
Probabilités sur un univers fini — Espace probabilisé fini, système complet d'événements, probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales et formule de Bayes, indépendance deux à deux et indépendance mutuelle, variables aléatoires finies, loi, espérance et sa linéarité, variance et formule de König-Huygens, lois usuelles finies (uniforme, de Bernoulli, binomiale).

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Opérations sur les entiers — Additionner, soustraire, multiplier et diviser des entiers naturels ; priorités opératoires ; division euclidienne.
Loi binomiale — Épreuve et schéma de Bernoulli, coefficients binomiaux, loi B(n, p), espérance np, variance np(1 − p), calculs avec la calculatrice.
Probabilités conditionnelles et indépendance — P_A(B), arbre pondéré, formule des probabilités totales, indépendance de deux événements.

Extrait de la leçon « Dénombrement : listes, arrangements, combinaisons », tel qu’il figure sur la fiche.

$\mathrm{card}(A \cup B) = \mathrm{card}\,A + \mathrm{card}\,B - \mathrm{card}(A \cap B), \qquad \mathrm{card}(A \times B) = \mathrm{card}\,A \times \mathrm{card}\,B$
$\text{listes : } n^{k}, \qquad \text{arrangements : } A_n^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}, \qquad \text{permutations : } n!$
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!} = \frac{A_n^{k}}{k!}, \qquad \binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k - 1} + \binom{n - 1}{k}$
$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{k}\, b^{n - k}, \qquad \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} = 2^{n}$
$\text{anagrammes : } \frac{n!}{m_1!\, m_2! \cdots}$

Tableau : Question à se poser, Réponse, Modèle
Question à se poser	Réponse	Modèle
L'ordre compte ? oui — répétitions ? oui	code, mot de passe	$n^{k}$
L'ordre compte ? oui — répétitions ? non	podium, attribution de prix distincts	$A_n^{k}$
L'ordre compte ? non — répétitions ? non	comité, main de cartes, lot d'échantillons	$\dbinom{n}{k}$
Objets identiques à permuter	anagrammes	$\dfrac{n!}{m_1!\,m_2!\cdots}$

Réflexe de contrôle : $\dbinom{n}{k} \le A_n^{k} \le n^{k}$ , avec un facteur $k!$ entre les deux premiers.

La suite de la fiche (1 autre notion, les pièges à éviter et la version imprimable) est réservée à votre compte.

Créez votre compte gratuit pour lire la fiche entière et l’imprimer, ou connectez-vous pour revenir directement ici.

L’accès gratuit comprend les cours et exercices de votre niveau choisi.