Mathématiques · Prépa 1re année · 4 leçons

Fiche de révision : Algèbre linéaire

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Systèmes linéaires et méthode du pivot de Gauss — Opérations élémentaires sur les lignes, mise sous forme échelonnée puis échelonnée réduite, rang d'un système, discussion complète (système de Cramer, système incompatible, inconnues principales et secondaires), description de l'ensemble des solutions comme sous-espace affine, calcul de l'inverse d'une matrice par le pivot.
Applications linéaires et théorème du rang — Application linéaire, noyau et image, caractérisation de l'injectivité par le noyau, rang, théorème du rang, isomorphismes, matrice d'une application linéaire dans des bases données, matrice de passage et changement de base.
Déterminants — Déterminant d'une matrice carrée et d'une famille de vecteurs, développement selon une ligne ou une colonne (cofacteurs), effet des opérations élémentaires, déterminant d'un produit et d'une transposée, caractérisation de l'inversibilité et des bases, formules de Cramer, interprétation en aire et en volume orientés.
Espaces vectoriels et sous-espaces de dimension finie — Espace vectoriel sur ℝ ou ℂ, sous-espace vectoriel, sous-espace engendré, somme et somme directe, familles libres, génératrices et bases, dimension, rang d'une famille de vecteurs, dimension d'une somme (formule de Grassmann), supplémentaires.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Systèmes de deux équations à deux inconnues — Résoudre un système linéaire 2 × 2 par substitution ou combinaison ; interprétation graphique comme intersection de droites.
Matrices et systèmes linéaires — Opérations sur les matrices, produit, inverse d'une matrice 2 × 2, écriture matricielle d'un système, puissances de matrices.
Vecteurs du plan — Translation, égalité de vecteurs, somme (relation de Chasles), produit par un réel, coordonnées, colinéarité et déterminant.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Systèmes linéaires et méthode du pivot de Gauss », tel qu’il figure sur la fiche.

Ce qu'il faut retenir

$L_i \leftrightarrow L_j \qquad L_i \leftarrow \lambda L_i\ (\lambda \neq 0) \qquad L_i \leftarrow L_i + \mu L_j\ (i \neq j)$
$(A \mid B) \ \xrightarrow[\text{élémentaires}]{\text{opérations}}\ (A' \mid B') \quad \text{même ensemble de solutions}$
$r=\operatorname{rang}(A)=\text{nombre de pivots dans les colonnes des inconnues}$
$\text{ligne } 0 = c,\ c \neq 0 \Rightarrow \varnothing \qquad \text{si compatible : } r=n\Rightarrow\text{unique},\quad r<n\Rightarrow n-r\text{ paramètres}$
$\mathcal{S} = x_{\text{part}} + \mathcal{S}_{\text{hom}} \quad \text{(une solution particulière + les solutions du système homogène)}$

Tableau : Objet, Énoncé, À quoi il sert
Objet	Énoncé	À quoi il sert
Opération élémentaire	échange, multiplication par $\lambda \neq 0$ , ajout d'un multiple d'une autre ligne	transformer sans changer l'ensemble des solutions
Forme échelonnée	les lignes nulles sont en bas et les pivots des lignes non nulles avancent strictement vers la droite	rendre la discussion lisible
Pivot	premier coefficient non nul d'une ligne de la forme échelonnée	il ne doit jamais être nul, d'où la discussion si un paramètre l'annule
Rang $r$ de $A$	nombre de pivots dans les colonnes des inconnues	après contrôle de compatibilité, donne $n-r$ paramètres
Inconnues principales / secondaires	$r$ portent un pivot, $n - r$ sont libres	les secondaires paramètrent l'ensemble des solutions
Système de Cramer	$p = n = r$	solution unique, obtenue par remontée
Système homogène	tous les seconds membres nuls	il a toujours au moins la solution nulle ; ses solutions translatent celles du système complet

Comptes et ordres de grandeur. La résolution d'un système $n \times n$ par le pivot coûte de l'ordre de $\dfrac{2n^3}{3}$ opérations, contre un coût factoriel pour un développement naïf récursif par cofacteurs : c'est la raison pratique pour laquelle le pivot est l'algorithme de référence, et pas seulement une méthode d'exposition.

Ce qui n'est pas dans cette leçon. Le vocabulaire des espaces vectoriels (sous-espace, base, dimension, théorème du rang) vient juste après dans le cycle et donnera son nom à ce qu'on décrit ici avec les mots « droite affine » et « nombre de paramètres ». L'inversion d'une matrice par le pivot, la réduction et les questions de stabilité numérique (pivot partiel, conditionnement) sont différées.

La suite de la fiche (3 autres notions, les pièges à éviter et la version imprimable) est réservée à votre compte.

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