Mathématiques · Licence 2 · 1 exercice vérifié
S’entraîner : Réduction de Gauss et signature d’une forme quadratique
Chapitre : Algèbre bilinéaire et hermitienne
Ce que vous travaillez
Décomposition d'une forme quadratique en combinaison de carrés de formes linéaires indépendantes par l'algorithme de Gauss, y compris le cas sans terme carré traité par un changement de variables ; rang comme nombre de carrés obtenus ; signature comme couple (nombre de carrés de signe plus, nombre de carrés de signe moins) ; loi d'inertie de Sylvester, qui rend ce couple indépendant de la réduction choisie ; classification des formes quadratiques réelles à équivalence près ; caractérisation des formes positives, définies positives et indéfinies, et lien avec le signe des valeurs propres de la matrice de la forme.
À maîtriser avant de commencer
Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.
- Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques — Forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel de dimension finie, symétrie, forme quadratique associée et forme polaire, identité de polarisation et le facteur un demi qu'elle porte ; matrice d'une forme bilinéaire symétrique dans une base et lecture des coefficients des termes rectangles comme des demi-coefficients hors diagonale ; effet d'un changement de base (matrices congruentes) et invariance du rang ; noyau d'une forme quadratique, forme dégénérée ou non dégénérée, vecteurs isotropes et cône isotrope, distinction entre ce cône et le noyau.
- Équations du second degré — Discriminant, racines réelles, forme canonique, forme factorisée, signe du trinôme.
- Développement et factorisation — Distributivité simple et double, identités remarquables (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), factorisation par un facteur commun.
Comment se déroule la séance
Cette séance s’appuie sur 1 exercice vérifié. Chacun produit un nouvel énoncé à chaque ouverture, avec une solution calculée.
Formats de réponse : QCM (1). Difficulté 5 sur 5. Environ 7 minutes pour un premier passage.
Dans votre compte : aide graduée (indice, rappel de cours, aide au démarrage), corrigé pas à pas après chaque tentative, suivi de vos progrès.
Essayez un exercice, sans compte
Un exercice réel de cette séance, le même pour chaque visiteur. Répondez, puis vérifiez : la correction est calculée, et le corrigé s’affiche après votre tentative.
Difficulté 5 sur 5 · ≈ 7 minutes
Énoncé
Soit la forme quadratique définie sur par .
On appelle signature de le couple , où est le nombre de carrés précédés du signe plus et le nombre de carrés précédés du signe moins dans une décomposition de en combinaison de carrés de formes linéaires indépendantes.
Quelle est la signature de ?
Votre réponse
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