Développer et factoriser : deux écritures d'un même nombre

Une expression littérale est un calcul où certains nombres sont remplacés par des lettres, par exemple $E = (x + 3)(x + 5)$. La lettre $x$ ne cache pas un nombre mystérieux à trouver : elle représente n'importe quel nombre. Tu peux la remplacer par $2$, par $-7$, par $0{,}5$, et faire le calcul.

Deux opérations transforment l'habit d'une expression sans changer sa valeur :

Développer, c'est transformer un produit en une somme. Factoriser, c'est transformer une somme en un produit.

Ce sont deux chemins opposés sur la même route :

Le mécanisme, c'est la distributivité. Multiplier une somme, c'est multiplier chacun de ses termes :

Pour des longueurs $k$, $a$ et $b$ strictement positives, un rectangle de largeur $k$ et de longueur $a+b$ se découpe en deux rectangles d’aires $ka$ et $kb$. Cette lecture géométrique illustre la distributivité. L’identité algébrique s’applique aussi aux nombres négatifs, qui ne sont pas des longueurs positives du dessin.

Quand les deux facteurs sont des sommes, on découpe le rectangle en quatre morceaux — c'est la double distributivité :

Quatre produits, jamais deux. Chaque terme de la première parenthèse rencontre chaque terme de la seconde.

À quoi ça sert ? À comparer deux expressions (deux tarifs, deux programmes de calcul) en les ramenant à la même forme ; à calculer plus vite ($101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10\,000 - 1 = 9\,999$) ; et, dès cette année, à résoudre des équations grâce à la forme factorisée : un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul. Ainsi $(3x - 5)(3x + 5) = 0$ donne $3x - 5 = 0$ ou $3x + 5 = 0$, c'est-à-dire $x = \dfrac{5}{3}$ ou $x = -\dfrac{5}{3}$. C'est la principale raison pour laquelle on te demande de factoriser.

Développer ne suffit pas : il faut réduire. Réduire, c'est regrouper les termes semblables, c'est-à-dire ceux qui portent exactement la même partie littérale.

• $3x + 2x = 5x$ : les deux termes sont « des $x$ », on additionne les coefficients.
• $3x + 2$ ne se réduit pas : on ne peut pas additionner des $x$ et des nombres, pas plus que des pommes et des kilomètres.
• $x^{2}$ et $x$ ne sont pas semblables non plus : $x^{2} + x$ reste tel quel.

Le signe moins devant une parenthèse. Un moins n'est pas un ornement : c'est une multiplication par $-1$, qui se distribue sur tous les termes.

Test rapide avec $x = 0$ : à gauche $-(0-3) = 3$ ; l'écriture fautive donnerait $-3$. Deux résultats différents, donc l'une des deux écritures est fausse.

Factoriser : repérer ce qui est commun. Le facteur commun peut être de trois natures.

Dans le dernier cas, on met $(x+1)$ devant et on additionne ce qui reste : $(2x-3) + (x+4) = 3x + 1$.

L’identité travaillée ici est celle de la différence de deux carrés :

Elle n'est pas à croire sur parole : développe par double distributivité.

car $-ab$ et $+ba$ sont opposés et s'annulent. C'est cette identité, lue de droite à gauche, qui permet de factoriser $9x^{2} - 25$.

Et le carré d’une somme ? La formule $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ peut être démontrée par double distributivité. La progression retenue ici passe par ce calcul : élever au carré, c’est multiplier par soi-même.

Retiens surtout ce que ce calcul montre : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés. Les deux produits croisés existent bel et bien.

Le contrôle numérique. Développer ou factoriser ne change pas la valeur de l'expression. Choisis un nombre — $x = 3$ convient presque toujours — et calcule les deux écritures. Évite $x = 2$ dès qu'il y a des carrés : $2x$ et $x^{2}$ y valent tous les deux $4$, si bien qu'une confusion entre les deux passerait inaperçue. Si tu ne trouves pas le même résultat, il y a une erreur. Si tu trouves le même, ce n'est pas une preuve, mais c'est un excellent filet de sécurité.

Partie A — développer et réduire $E = (2x + 3)(x - 5)$.

1. Quatre produits. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, avec son signe :

2. Réduire. Les termes semblables sont $-10x$ et $+3x$ ; les autres restent seuls :

3. Vérifier avec $x = 3$. Écriture de départ : $(2 \times 3 + 3)(3 - 5) = 9 \times (-2) = -18$. Écriture d'arrivée : $2 \times 9 - 7 \times 3 - 15 = 18 - 21 - 15 = -18$. Les deux coïncident.

Partie B — factoriser $F = 12x + 18$.

1. Chercher le facteur commun. $12 = 6 \times 2$ et $18 = 6 \times 3$ : le plus grand nombre qui divise les deux coefficients est $6$.

2. Mettre en facteur. $F = 6 \times 2x + 6 \times 3 = 6(2x + 3)$.

3. Vérifier avec $x = 3$. $12 \times 3 + 18 = 54$ et $6 \times (2 \times 3 + 3) = 6 \times 9 = 54$.

Partie C — factoriser $G = 9x^{2} - 25$.

1. Reconnaître la forme. Deux termes, un signe moins entre eux, et aucun terme du premier degré (aucun terme en $x$ tout seul) : c'est une différence de deux carrés. De quoi $9x^{2}$ est-il le carré ? De $3x$, car $(3x)^{2} = 9x^{2}$. Et $25 = 5^{2}$.

2. Appliquer l'identité $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ avec $a = 3x$ et $b = 5$ :

3. Vérifier avec $x = 3$. $9 \times 9 - 25 = 81 - 25 = 56$ ; et $(9-5)(9+5) = 4 \times 14 = 56$.

4. À quoi sert cette forme factorisée ? À résoudre l'équation $G = 0$, ce qu'on ne savait pas faire sur $9x^{2} - 25$. Un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul :

c'est-à-dire $x = \dfrac{5}{3}$ ou $x = -\dfrac{5}{3}$. Contrôle : $9 \times \left(\dfrac{5}{3}\right)^{2} - 25 = 9 \times \dfrac{25}{9} - 25 = 0$. La forme développée cachait ces deux solutions ; la forme factorisée les donne d'un coup d'œil.

Ce que montre l'aller-retour. Dans la partie A on est parti d'un produit pour arriver à une somme ; dans les parties B et C on a fait l'inverse. C'est la même route, parcourue dans les deux sens — et la vérification numérique fonctionne dans les deux cas.

Lire la figure, pour $x>0$ (fig.math.expand-factor-rectangle) : un grand rectangle de largeur $x + 3$ et de hauteur $x + 5$, découpé en quatre morceaux.

• Le grand rectangle occupe le centre de la figure. Sa largeur est cotée en bas par une double flèche portant $x + 3$ ; sa hauteur est cotée à gauche par une double flèche portant $x + 5$.
• Deux traits de découpe, un vertical et un horizontal, partagent le rectangle en quatre. Le trait vertical sépare une bande de largeur $x$ (à gauche) d'une bande de largeur $3$ (à droite) ; le trait horizontal sépare une bande de hauteur $x$ (en haut) d'une bande de hauteur $5$ (en bas). Les quatre sous-longueurs $x$, $3$, $x$, $5$ sont écrites le long des bords.
• Les quatre morceaux portent chacun leur aire, écrite au centre : en haut à gauche $x \times x = x^{2}$ ; en haut à droite $3 \times x = 3x$ ; en bas à gauche $x \times 5 = 5x$ ; en bas à droite $3 \times 5 = 15$. Les deux morceaux rectangulaires allongés ($3x$ et $5x$) sont hachurés dans deux directions différentes, pour se distinguer sans dépendre de la couleur ; le carré d’aire $x^{2}$ est laissé blanc et le rectangle de côtés $3$ et $5$, d’aire $15$, est en gris uni.
• Deux flèches courbes relient les deux écritures placées au-dessus et au-dessous de la figure. Au-dessus : $(x+3)(x+5)$, avec la mention « aire d'un seul coup ». Au-dessous : $x^{2} + 3x + 5x + 15 = x^{2} + 8x + 15$, avec la mention « aire morceau par morceau ». La flèche descendante porte « développer », la flèche montante « factoriser ».

Ce qu'il faut lire. L'aire du rectangle est la même, qu'on la calcule d'un seul coup ou morceau par morceau : c’est une interprétation géométrique de la double distributivité pour les longueurs positives représentées. On voit aussi pourquoi il y a quatre produits et pas deux — il y a quatre morceaux — et pourquoi les deux termes en $x$ s'additionnent : $3x$ et $5x$ sont deux bandes de même nature, que l'on peut recoller en une seule de $8x$.

Attention : ce dessin ne fonctionne tel quel qu'avec des longueurs positives. La règle, elle, reste vraie avec des nombres négatifs — mais il faut alors la vérifier par le calcul, pas par le dessin.

La figure en détail : un rectangle de largeur x plus 3 et de hauteur x plus 5, coupé par un trait vertical et un trait horizontal en quatre morceaux. Les aires des quatre morceaux sont, dans le sens de la lecture : x au carré, 3x, 5x, 15. Deux flèches relient l'écriture en produit, parenthèse x plus 3 fois parenthèse x plus 5, à l'écriture en somme, x au carré plus 8x plus 15 : l'une porte le mot développer, l'autre le mot factoriser.