Équations du second degré : forme canonique et discriminant

Toutes les équations que tu as résolues jusqu'ici étaient du premier degré : $3x - 7 = 5$, un système de deux équations à deux inconnues… et chaque fois, une seule solution (ou aucune, ou une infinité, pour les systèmes dégénérés). Tu as aussi croisé, en troisième, deux cas particuliers du second degré : $x^2 = 9$, dont les solutions sont $3$ et $-3$, et les équations produit comme $(x - 2)(x + 5) = 0$, dont les solutions sont $2$ et $-5$ parce qu'un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est.

Une équation du second degré est une équation qui peut s'écrire

où $a$, $b$ et $c$ sont des réels donnés. La condition $a \neq 0$ n'est pas une coquetterie : si $a = 0$, il ne reste que $bx + c = 0$, du premier degré. L'expression $ax^2 + bx + c$ s'appelle un trinôme du second degré, et résoudre l'équation, c'est trouver les réels qui l'annulent : on les appelle les racines du trinôme.

La stratégie : ramener au cas connu. Si l'on parvient à écrire le trinôme comme un produit de deux facteurs du premier degré, l'équation devient une équation produit, et on sait finir. Toute la question est donc : comment factoriser $ax^2 + bx + c$ ? La réponse passe par une identité remarquable lue à l'envers.

Regarde $x^2 + 6x + 5$. Les deux premiers termes, $x^2 + 6x$, sont le début du carré $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$. On peut donc écrire

Cette écriture s'appelle la forme canonique du trinôme : un carré, plus une constante. Et une différence de deux carrés se factorise :

L'équation $x^2 + 6x + 5 = 0$ a donc pour solutions $-1$ et $-5$.

Refais maintenant le même geste avec $x^2 + 6x + 13 = (x + 3)^2 + 4$. Un carré est toujours positif ou nul, donc $(x + 3)^2 + 4 \geqslant 4$ : ce trinôme ne s'annule jamais. L'équation $x^2 + 6x + 13 = 0$ n'a aucune solution réelle. Et avec $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$, il n'y a qu'une solution, $-3$.

Trois trinômes qui se ressemblent, trois issues différentes : deux solutions, aucune, une seule. Ce qui décide, c'est le signe de la constante qui reste à côté du carré dans la forme canonique. Le discriminant n'est rien d'autre que cette constante, mise sous une forme calculable directement à partir de $a$, $b$ et $c$.

Le calcul général. Reprenons la complétion du carré sur $ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$. On met $a$ en facteur devant les deux premiers termes, puis on reconnaît le début d'un carré :

Le nombre $b^2 - 4ac$ apparaît naturellement : on le note $\Delta$ et on l'appelle le discriminant, parce qu'il discrimine les trois cas. La forme canonique s'écrit donc

Les trois cas. L'équation $ax^2 + bx + c = 0$ équivaut à $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$, puisque $4a^2 > 0$.

Si $\Delta > 0$, le membre de droite est un carré strictement positif, celui de $\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ (au signe près) : deux solutions,

Si $\Delta = 0$, il faut $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0$ : une seule solution, $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, dite racine double.

Si $\Delta < 0$, un carré devrait être négatif : aucune solution réelle.

Les trois écritures d'un même trinôme. Chacune rend un service différent, et savoir passer de l'une à l'autre est l'essentiel du chapitre.

Dans la forme canonique, $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$ ; quand $\Delta = 0$, la forme factorisée devient $a(x - x_0)^2$, et la forme canonique lui est identique. Le facteur $a$ devant la forme factorisée est obligatoire : $(x + 1)(x - 2{,}5)$ n'est pas $2x^2 - 3x - 5$, c'est sa moitié.

Quand le discriminant est inutile. Le discriminant est un outil général, pas un réflexe. Dans quatre situations, il fait perdre du temps :

1. $b = 0$ : $ax^2 + c = 0$ se résout directement en $x^2 = -\dfrac{c}{a}$, qui a deux solutions opposées si $-\dfrac{c}{a} > 0$, une seule ($0$) si $c = 0$, aucune sinon. Exemple : $3x^2 - 12 = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = 2$ ou $x = -2$.
2. $c = 0$ : $ax^2 + bx = x(ax + b) = 0$, équation produit dont les solutions sont $0$ et $-\dfrac{b}{a}$.
3. Le trinôme est déjà factorisé, ou donné sous forme canonique : $2(x - 1)^2 - 8 = 0 \iff (x - 1)^2 = 4 \iff x = 3$ ou $x = -1$. Développer pour calculer $\Delta$ serait aller à rebours.
4. On demande seulement si un nombre donné est solution : on le substitue, et on regarde si l'on obtient $0$. Aucune résolution nécessaire.

Le signe du trinôme. Quand $\Delta > 0$, la forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ donne le signe de $ax^2 + bx + c$ pour tout $x$ : les deux facteurs $(x - x_1)$ et $(x - x_2)$ sont de signes contraires exactement quand $x$ est entre les racines. Le trinôme est donc du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles. Si $\Delta < 0$, il est du signe de $a$ partout (la forme canonique le montre : $a \times$ un carré $+ \beta$, avec $\beta$ du signe de $a$). Si $\Delta = 0$, du signe de $a$ partout sauf en $x_0$, où il s'annule.

Somme et produit des racines. En développant $a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)\,x + a\,x_1 x_2$ et en identifiant avec $ax^2 + bx + c$, on trouve $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$. Ces deux relations sont au programme de première ; elles offrent aussi une vérification instantanée de deux racines calculées : si leur somme n'est pas $-\dfrac{b}{a}$, il y a une erreur quelque part. Sur l'exemple guidé, $-1 + 2{,}5 = 1{,}5 = \dfrac{3}{2}$ et $-1 \times 2{,}5 = -2{,}5 = \dfrac{-5}{2}$ ✔.

Énoncé. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes, puis factoriser le trinôme lorsque c'est possible.

1. $2x^2 - 3x - 5 = 0$ ; 2) $x^2 - 6x + 9 = 0$ ; 3) $x^2 + x + 1 = 0$.

1) Deux solutions.

Étape 1 — identifier. $a = 2$, $b = -3$, $c = -5$. Aucun coefficient nul, pas de factorisation visible : le discriminant est l'outil adapté.

Étape 2 — le discriminant, parenthèses comprises.

Deux pièges se cachent dans cette ligne : $(-3)^2 = 9$, positif ; et $-4 \times 2 \times (-5) = +40$, le produit de deux négatifs étant positif.

Étape 3 — les racines. $\Delta > 0$ : deux solutions, avec $\sqrt{49} = 7$ et $2a = 4$ :

Étape 4 — contrôler et factoriser. Substitution : $2 \times (-1)^2 - 3 \times (-1) - 5 = 2 + 3 - 5 = 0$ ✔ ; $2 \times 2{,}5^2 - 3 \times 2{,}5 - 5 = 12{,}5 - 7{,}5 - 5 = 0$ ✔. Forme factorisée, avec le facteur $a$ :

Contrôle facultatif par la somme des racines : $-1 + 2{,}5 = 1{,}5 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{2}$ ✔.

Le moment décisif : le dénominateur est $2a = 4$, pas $2$. Un élève qui divise par $2$ obtient $\dfrac{3 + 7}{2} = 5$, et $2 \times 25 - 15 - 5 = 30 \neq 0$ : $5$ n'est pas solution. Le contrôle par substitution attrape cette erreur en une ligne.

2) Une racine double.

$a = 1$, $b = -6$, $c = 9$ : $\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0$. Une seule solution :

On aurait pu s'en passer : $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ est une identité remarquable, et un carré est nul si et seulement si sa base l'est. Forme factorisée : $(x - 3)^2$, soit $1 \times (x - 3)(x - 3)$. « $\Delta = 0$ » ne veut pas dire « pas de solution » : il y en a exactement une.

3) Aucune solution réelle.

$a = 1$, $b = 1$, $c = 1$ : $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0$. L'équation n'a aucune solution dans $\mathbb{R}$, et le trinôme ne se factorise pas. La forme canonique dit pourquoi : $x^2 + x + 1 = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}$, somme d'un carré et d'un nombre strictement positif, donc jamais nulle — et même toujours au moins égale à $\dfrac{3}{4}$. Comme $a > 0$, ce trinôme est strictement positif pour tout réel $x$.

Figure (SVG programmatique à produire) : trois repères alignés, même échelle, une parabole tournée vers le haut dans chacun ($a > 0$), et sous eux un bandeau qui relie chaque situation à sa forme factorisée.

• Panneau 1 — $\Delta > 0$. La parabole de $y = 2x^2 - 3x - 5$ (exemple guidé), tracée de $x = -2$ à $x = 4$. Elle coupe l'axe des abscisses en deux points marqués d'un disque plein et cotés $x_1 = -1$ et $x_2 = 2{,}5$. Un trait vertical en tirets à $x = 0{,}75$, l'axe de symétrie, à mi-chemin des deux racines. Sous l'axe des abscisses, une bande de signes : « $+$ » à gauche de $-1$, « $-$ » entre $-1$ et $2{,}5$ (la portion de courbe sous l'axe est tramée), « $+$ » à droite. Cartouche : « $\Delta = 49 > 0$ : deux racines, $2(x + 1)(x - 2{,}5)$ ».
• Panneau 2 — $\Delta = 0$. La parabole de $y = x^2 - 6x + 9$, de $x = 0$ à $x = 6$, qui touche l'axe des abscisses en un seul point, $x_0 = 3$, marqué d'un disque et entouré d'un petit cercle en pointillés avec la mention « racine double : la courbe touche sans traverser ». Bande de signes : « $+$ » partout, « $0$ » en $3$. Cartouche : « $\Delta = 0$ : une racine, $(x - 3)^2$ ».
• Panneau 3 — $\Delta < 0$. La parabole de $y = x^2 + x + 1$, de $x = -3$ à $x = 2$, entièrement au-dessus de l'axe des abscisses ; son point le plus bas, $\left(-\dfrac12\ ;\ \dfrac34\right)$, est coté, et une flèche verticale en tirets mesure l'écart $\dfrac34$ entre ce point et l'axe. Bande de signes : « $+$ » partout. Cartouche : « $\Delta = -3 < 0$ : aucune racine, pas de factorisation ».
• Bandeau du bas. Les trois formes de $2x^2 - 3x - 5$ côte à côte — développée, canonique $2\left(x - \dfrac34\right)^2 - \dfrac{49}{8}$, factorisée $2(x + 1)(x - 2{,}5)$ — reliées par des flèches à double sens, chaque forme portant l'étiquette de ce qu'elle « donne sans calcul » : $c = -5$ (valeur en $0$), le sommet, les racines. En petit, la mention « le $2$ devant la forme factorisée est obligatoire ».

Ce qu'il faut lire. Le nombre de racines est le nombre de points communs entre la parabole et l'axe des abscisses : deux, un, zéro — c'est exactement ce que le signe de $\Delta$ prédit sans tracer. La bande de signes du panneau 1 montre la règle « signe de $a$ à l'extérieur, signe contraire entre les racines » ; celle du panneau 2 rappelle qu'une racine double ne fait pas changer le signe. Le bandeau redit que ces trois écritures sont le même trinôme, et que la factorisation n'existe que lorsque la courbe atteint l'axe.

La figure en détail : trois repères côte à côte, à la même échelle, une parabole tournée vers le haut dans chacun. À gauche, la parabole coupe l'axe horizontal en deux points, en moins un et en deux virgule cinq ; un trait vertical en tirets passe à mi-chemin, en zéro virgule soixante-quinze, et la portion de courbe située sous l'axe est tramée ; sous l'axe, une bande porte les signes plus, moins, plus. Au centre, la parabole touche l'axe en un seul point, en trois, sans le traverser, et la bande de signes ne porte que des plus, avec un zéro en trois. À droite, la parabole reste entièrement au-dessus de l'axe ; son point le plus bas, en abscisse moins un demi, est à trois quarts au-dessus de l'axe, écart mesuré par une flèche verticale en tirets. Sous les trois repères, un bandeau aligne les trois écritures du même trinôme — développée, canonique, factorisée — reliées par des flèches à double sens.

Domaine de validité. Tout ce qui précède suppose $a \neq 0$ et des coefficients réels. Les formules des racines exigent $\Delta \geqslant 0$ : écrire $\sqrt{\Delta}$ avec $\Delta < 0$ n'a pas de sens dans $\mathbb{R}$. La forme canonique, elle, existe toujours. Le mot « solution » désigne ici une solution réelle : « aucune solution » signifie aucun réel, et cette réponse est une réponse complète.

Écritures. $x_1$ et $x_2$ désignent les deux racines, dans l'ordre que l'on veut ; quand la question précise « la plus petite » ou « la plus grande », on compare après calcul. Une racine s'écrit sous forme exacte ($\dfrac{5}{2}$, ou $2 - \sqrt{3}$) avant tout arrondi ; l'arrondi ne se donne que si l'énoncé le demande, avec le signe $\approx$.

Contrôles gratuits. Chaque racine trouvée se substitue dans l'équation : le résultat doit être exactement $0$. La somme des racines doit valoir $-\dfrac{b}{a}$ et leur produit $\dfrac{c}{a}$ (contrôle infaillible). Et une racine double se reconnaît à une identité remarquable : si le trinôme est un carré parfait, $\Delta$ vaut forcément $0$.

1. Se tromper de signe dans $\Delta$ quand $b$ ou $c$ est négatif. $(-3)^2$ vaut $+9$, et $-4 \times 2 \times (-5)$ vaut $+40$ : deux négatifs multipliés donnent un positif. Écris la substitution avec toutes les parenthèses, $(-3)^2 - 4 \times 2 \times (-5)$, avant de calculer quoi que ce soit — un signe faux dans $\Delta$ peut faire passer de deux solutions à zéro.
2. Conclure « pas de solution » quand $\Delta = 0$. Un discriminant nul signifie que le carré de la forme canonique est seul : $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0$ a exactement une solution, la racine double $-\dfrac{b}{2a}$. C'est $\Delta < 0$ qui interdit toute solution — et seulement lui.
3. Oublier le $2a$ au dénominateur. Avec $a = 2$, les racines se calculent sur $4$, pas sur $2$. La valeur obtenue en divisant par $2$ n'est jamais solution : la substitution le montre en une ligne. Même vigilance dans $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ pour la racine double.
4. Écrire la forme factorisée sans le facteur $a$. $(x + 1)(x - 2{,}5)$ vaut $x^2 - 1{,}5x - 2{,}5$, la moitié de $2x^2 - 3x - 5$. Les racines sont les mêmes, l'expression ne l'est pas ; pour une factorisation, le $a$ est indispensable.
5. Sortir le discriminant pour $x^2 = 16$ ou $3x^2 - 5x = 0$. Quand $b = 0$, on isole $x^2$ ; quand $c = 0$, on factorise par $x$. Le discriminant donne le bon résultat, mais au prix d'un calcul inutile et d'occasions d'erreur supplémentaires. Un bon réflexe : regarder les coefficients avant de choisir l'outil.
6. Confondre le signe de $\Delta$ et le signe du trinôme. $\Delta$ dit combien de racines il y a ; le signe de $ax^2 + bx + c$ dépend de la position de $x$ par rapport aux racines et du signe de $a$. Avec $a < 0$ et deux racines, le trinôme est négatif à l'extérieur des racines.
7. Prendre l'opposé d'une racine pour une racine. Les solutions de $2x^2 - 3x - 5 = 0$ sont $-1$ et $2{,}5$, pas $1$ et $-2{,}5$ : un trinôme n'a de racines opposées que si $b = 0$. Une erreur de signe sur $-b$ au numérateur produit exactement cette confusion.
8. Arrêter la résolution à $\Delta$. Calculer $\Delta = 49$ ne résout rien : l'équation demande ses solutions, et la conclusion doit les nommer — ou, si $\Delta < 0$, dire explicitement qu'il n'y en a aucune dans $\mathbb{R}$.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon propose une équation $ax^2 + bx + c = 0$ à coefficients entiers dont le discriminant est un carré parfait, et demande selon le tirage la valeur de $\Delta$, la plus grande ou la plus petite des deux solutions, ou l'unique solution quand $\Delta = 0$. Les racines sont entières ou demi-entières : tout se calcule exactement, sans calculatrice. Un second modèle, voisin, demande de juger si un nombre donné est solution (par substitution) et si l'équation admet bien le nombre de solutions annoncé (par le signe de $\Delta$, y compris quand il est négatif).

Énoncé type. On considère l'équation $3x^2 + 3x - 18 = 0$, d'inconnue réelle $x$. Résoudre cette équation, puis donner la plus grande de ses solutions.

Corrigé complet.

1. Identifier les coefficients. $a = 3$, $b = 3$, $c = -18$. Ni $b$ ni $c$ n'est nul : le discriminant est l'outil adapté.

2. Calculer le discriminant.

Le produit $-4 \times 3 \times (-18)$ est positif : c'est là que se joue le signe de $\Delta$.

3. Conclure sur le nombre de solutions et les calculer. $\Delta = 225 > 0$ : deux solutions, avec $\sqrt{225} = 15$ et $2a = 6$ :

La plus grande des solutions est $2$.

4. Contrôler. $3 \times 2^2 + 3 \times 2 - 18 = 12 + 6 - 18 = 0$ ✔ et $3 \times (-3)^2 + 3 \times (-3) - 18 = 27 - 9 - 18 = 0$ ✔. Un élève qui aurait divisé par $2$ au lieu de $6$ aurait obtenu $\dfrac{-3 + 15}{2} = 6$, et $3 \times 36 + 18 - 18 = 108 \neq 0$ : $6$ n'est pas solution. La forme factorisée du trinôme est $3(x + 3)(x - 2)$.

Auto-contrôle : vérifie que $\Delta$ a été calculé avec les parenthèses des nombres négatifs, que le dénominateur est bien $2a$ et non $2$, et que chaque solution annoncée redonne $0$ par substitution. Ces trois gestes couvrent l'essentiel des erreurs sur ce modèle.