Équations du second degré : forme canonique et discriminant

Les leçons précédentes ont traité des équations du premier degré, comme $3x-7=5$, et des systèmes linéaires. Elles ont aussi rencontré des cas particuliers du second degré : $x^2 = 9$, dont les solutions sont $3$ et $-3$, et les équations produit comme $(x - 2)(x + 5) = 0$, dont les solutions sont $2$ et $-5$ parce qu'un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est.

Une équation du second degré est une équation qui peut s'écrire

où $a$, $b$ et $c$ sont des réels donnés. La condition $a \neq 0$ n'est pas une coquetterie : si $a=0$, il reste $bx+c=0$, du premier degré seulement si $b\neq0$. Si $a=b=0$, l’égalité est vraie pour tout réel lorsque $c=0$, et impossible lorsque $c\neq0$. L'expression $ax^2 + bx + c$ s'appelle un trinôme du second degré, et résoudre l'équation, c'est trouver les réels qui l'annulent : on les appelle les racines du trinôme.

La stratégie : ramener au cas connu. Si l'on parvient à écrire le trinôme comme un produit de deux facteurs du premier degré, l'équation devient une équation produit, et on sait finir. Toute la question est donc : comment factoriser $ax^2 + bx + c$ ? La réponse passe par une identité remarquable lue à l'envers.

Regardez $x^2 + 6x + 5$. Les deux premiers termes, $x^2 + 6x$, sont le début du carré $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$. On peut donc écrire

Cette écriture s'appelle la forme canonique du trinôme : ici, un carré plus une constante. En général, un coefficient $a$ multiplie le carré. Et une différence de deux carrés se factorise :

L'équation $x^2 + 6x + 5 = 0$ a donc pour solutions $-1$ et $-5$.

Refaites maintenant le même geste avec $x^2 + 6x + 13 = (x + 3)^2 + 4$. Un carré est toujours positif ou nul, donc $(x + 3)^2 + 4 \geqslant 4$ : ce trinôme ne s'annule jamais. L'équation $x^2 + 6x + 13 = 0$ n'a aucune solution réelle. Et avec $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$, il n'y a qu'une solution, $-3$.

Trois trinômes qui se ressemblent, trois issues différentes : deux solutions, aucune, une seule. Dans ces trois exemples où le coefficient du carré vaut 1, le signe de la constante distingue les trois cas. En général, la constante canonique est $\beta=-\Delta/(4a)$, avec $\Delta=b^2-4ac$ : elle n’est pas le discriminant. C’est l’équation normalisée $(x+b/(2a))^2=\Delta/(4a^2)$ qui explique pourquoi le signe de $\Delta$ décide du nombre de solutions réelles.

Le calcul général. Reprenons la complétion du carré sur $ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$. On met $a$ en facteur devant les deux premiers termes, puis on reconnaît le début d'un carré :

Le nombre $b^2 - 4ac$ apparaît naturellement : on le note $\Delta$ et on l'appelle le discriminant, parce qu'il discrimine les trois cas. La forme canonique s'écrit donc

Les trois cas. L'équation $ax^2 + bx + c = 0$ équivaut à $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$, puisque $4a^2 > 0$.

Si $\Delta > 0$, le membre de droite est un carré strictement positif, celui de $\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ (au signe près) : deux solutions,

Si $\Delta = 0$, il faut $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0$ : une seule solution, $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, dite racine double.

Si $\Delta < 0$, un carré devrait être négatif : aucune solution réelle.

Les trois écritures d'un même trinôme. Chacune rend un service différent, et savoir passer de l'une à l'autre est l'essentiel du chapitre.

Dans la forme canonique, $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$ ; quand $\Delta=0$, on pose $x_1=x_2=x_0$ et la forme factorisée devient $a(x - x_0)^2$, et la forme canonique lui est identique. Le facteur $a$ devant la forme factorisée est obligatoire : $(x + 1)(x - 2{,}5)$ n'est pas $2x^2 - 3x - 5$, c'est sa moitié.

Quand le discriminant est inutile. Le discriminant est un outil général, pas un réflexe. Dans les situations suivantes, une résolution directe peut être plus courte :

1. $b = 0$ : $ax^2 + c = 0$ se résout directement en $x^2 = -\dfrac{c}{a}$, qui a deux solutions opposées si $-\dfrac{c}{a} > 0$, une seule ($0$) si $c = 0$, aucune sinon. Exemple : $3x^2 - 12 = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = 2$ ou $x = -2$.
2. $c = 0$ : $ax^2 + bx = x(ax + b) = 0$, équation produit dont les solutions sont $0$ et $-\dfrac{b}{a}$ ; elles coïncident si $b=0$.
3. Le trinôme est déjà factorisé, ou donné sous forme canonique : $2(x - 1)^2 - 8 = 0 \iff (x - 1)^2 = 4 \iff x = 3$ ou $x = -1$. Développer pour calculer $\Delta$ serait aller à rebours.
4. On demande seulement si un nombre donné est solution : on le substitue, et on regarde si l'on obtient $0$. Aucune résolution nécessaire.

Le signe du trinôme. Quand $\Delta > 0$, la forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ donne le signe de $ax^2 + bx + c$ pour tout $x$ : les deux facteurs $(x - x_1)$ et $(x - x_2)$ sont de signes contraires exactement quand $x$ est entre les racines. Le trinôme est donc du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles. Si $\Delta < 0$, il est du signe de $a$ partout (la forme canonique le montre : $a \times$ un carré $+ \beta$, avec $\beta$ du signe de $a$). Si $\Delta = 0$, du signe de $a$ partout sauf en $x_0$, où il s'annule.

Somme et produit des racines. En développant $a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)\,x + a\,x_1 x_2$ et en identifiant avec $ax^2 + bx + c$, on trouve $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$. Ces deux relations sont au programme de première ; elles offrent aussi une vérification instantanée de deux racines calculées : si leur somme n'est pas $-\dfrac{b}{a}$, il y a une erreur quelque part. Sur le trinôme $2x^2-3x-5$ représenté dans la figure, $-1 + 2{,}5 = 1{,}5 = \dfrac{3}{2}$ et $-1 \times 2{,}5 = -2{,}5 = \dfrac{-5}{2}$ ✔.

Énoncé. Un rectangle a pour largeur $x>0$ mètres, pour longueur $x+2$ mètres et pour aire 7 m². Déterminez sa largeur exacte puis son périmètre, arrondi au centimètre.

Traduire et résoudre dans les réels. $x(x+2)=7$, donc $x^2+2x-7=0$. Ici $a=1$, $b=2$, $c=-7$ et

Les deux racines algébriques sont

Revenir au domaine. $-1-2\sqrt2<0$ est impossible pour la largeur. La seule valeur admissible est $x=-1+2\sqrt2$, soit environ 1,83 m. La longueur vaut $1+2\sqrt2$ m.

Contrôler sans arrondir. Le produit des dimensions vaut

Le périmètre est

On conserve les valeurs exactes jusqu’au dernier arrondi : additionner deux dimensions déjà arrondies peut modifier le résultat final.

Portée. L’équation possède deux solutions réelles, mais le problème géométrique n’en admet qu’une. Rejeter une longueur négative ne signifie pas que la racine négative a été mal calculée.

Figure (SVG programmatique existant) : trois repères alignés, même échelle, une parabole tournée vers le haut dans chacun ($a > 0$), et sous eux un bandeau qui relie chaque situation à sa forme factorisée.

• Panneau 1 — $\Delta > 0$. La parabole de $y = 2x^2 - 3x - 5$ (exemple distinct du guidage), tracée de $x = -2$ à $x = 4$. Elle coupe l'axe des abscisses en deux points marqués d'un disque plein et cotés $x_1 = -1$ et $x_2 = 2{,}5$. Un trait vertical en tirets à $x = 0{,}75$, l'axe de symétrie, à mi-chemin des deux racines. Sous l'axe des abscisses, une bande de signes : « $+$ » à gauche de $-1$, « $-$ » entre $-1$ et $2{,}5$ (la portion de courbe sous l'axe est tramée), « $+$ » à droite. Cartouche : « $\Delta = 49 > 0$ : deux racines, $2(x + 1)(x - 2{,}5)$ ».
• Panneau 2 — $\Delta = 0$. La parabole de $y = x^2 - 6x + 9$, de $x = 0$ à $x = 6$, qui touche l'axe des abscisses en un seul point, $x_0 = 3$, marqué d'un disque et entouré d'un petit cercle en pointillés avec la mention « racine double : la courbe touche sans traverser ». Bande de signes : « $+$ » partout, « $0$ » en $3$. Cartouche : « $\Delta = 0$ : une racine, $(x - 3)^2$ ».
• Panneau 3 — $\Delta < 0$. La parabole de $y = x^2 + x + 1$, de $x = -3$ à $x = 2$, entièrement au-dessus de l'axe des abscisses ; son point le plus bas, $\left(-\dfrac12\ ;\ \dfrac34\right)$, est coté, et une flèche verticale en tirets mesure l'écart $\dfrac34$ entre ce point et l'axe. Bande de signes : « $+$ » partout. Cartouche : « $\Delta = -3 < 0$ : aucune racine, pas de produit de deux facteurs réels du premier degré ».
• Bandeau du bas. Les trois formes de $2x^2 - 3x - 5$ côte à côte — développée, canonique $2\left(x - \dfrac34\right)^2 - \dfrac{49}{8}$, factorisée $2(x + 1)(x - 2{,}5)$ — reliées par des flèches à double sens, chaque forme portant l'étiquette de ce qu'elle « donne sans calcul » : $c = -5$ (valeur en $0$), le sommet, les racines. En petit, la mention « le $2$ devant la forme factorisée est obligatoire ».

Ce qu'il faut lire. Le nombre de racines est le nombre de points communs entre la parabole et l'axe des abscisses : deux, un, zéro — c'est exactement ce que le signe de $\Delta$ prédit sans tracer. La bande de signes du panneau 1 montre la règle « signe de $a$ à l'extérieur, signe contraire entre les racines » ; celle du panneau 2 rappelle qu'une racine double ne fait pas changer le signe. Le bandeau redit que ces trois écritures sont le même trinôme, et qu’un produit de deux facteurs réels du premier degré n’existe que lorsque la courbe atteint l’axe.

La figure en détail : trois repères côte à côte, à la même échelle, une parabole tournée vers le haut dans chacun. À gauche, la parabole coupe l'axe horizontal en deux points, en moins un et en deux virgule cinq ; un trait vertical en tirets passe à mi-chemin, en zéro virgule soixante-quinze, et la portion de courbe située sous l'axe est tramée ; sous l'axe, une bande porte les signes plus, moins, plus. Au centre, la parabole touche l'axe en un seul point, en trois, sans le traverser, et la bande de signes ne porte que des plus, avec un zéro en trois. À droite, la parabole reste entièrement au-dessus de l'axe ; son point le plus bas, en abscisse moins un demi, est à trois quarts au-dessus de l'axe, écart mesuré par une flèche verticale en tirets. Sous les trois repères, un bandeau aligne les trois écritures du même trinôme — développée, canonique, factorisée — reliées par des flèches à double sens.