Mathématiques · Licence 1 · 1 leçon

Fiche de révision : Probabilités et statistique

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Variables aléatoires à densité — Variable aléatoire réelle à densité, fonction de répartition et lien avec la densité ; probabilité d'un intervalle comme intégrale de la densité, et conséquence sur la probabilité d'une valeur isolée ; espérance et variance comme intégrales ; lois usuelles : uniforme sur un intervalle, exponentielle et son absence de mémoire, normale et lecture d'une table après centrage et réduction ; simulation d'une loi par inversion de la fonction de répartition.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Variables aléatoires — Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète, espérance, variance, écart-type, interprétation en moyenne sur un grand nombre de répétitions.
Intégrale et calcul d'aires — Intégrale d'une fonction continue, aire sous la courbe, théorème fondamental, propriétés (linéarité, Chasles, positivité), valeur moyenne, intégration par parties.
Primitives — Définition, primitives des fonctions usuelles, linéarité, primitives de u'e^u, u'/u, u'u^n ; unicité à une constante près.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Variables à densité : la probabilité est une aire », tel qu’il figure sur la fiche.

Ce qu'il faut retenir

$f \ge 0, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f = 1, \qquad P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x, \qquad P(X = t) = 0$
$F(t) = P(X \le t) = \int_{-\infty}^{t} f, \qquad F'=f\ \text{aux points de continuité de }f, \qquad P(X > t) = 1 - F(t)$
$E(X) = \int x\,f(x)\,\mathrm{d}x, \qquad V(X) = \int x^{2} f(x)\,\mathrm{d}x - E(X)^{2}$
$\text{uniforme sur } [a\,;\,b] : \quad f = \frac{1}{b - a}, \quad E = \frac{a + b}{2}, \quad V = \frac{(b - a)^{2}}{12}$
$\text{exponentielle } (\lambda) : \quad P(X > t) = e^{-\lambda t}, \quad E = \frac{1}{\lambda}, \quad V = \frac{1}{\lambda^{2}}, \quad P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$
$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^{2}) : \quad P(X \le t) = \Phi\!\left(\frac{t - \mu}{\sigma}\right), \qquad \Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$

Tableau : Loi, Densité, Répartition, Espérance, Variance
Loi	Densité	Répartition	Espérance	Variance
uniforme sur $[a\,;\,b]$	$\dfrac{1}{b - a}$	$\dfrac{t - a}{b - a}$	$\dfrac{a + b}{2}$	$\dfrac{(b - a)^{2}}{12}$
exponentielle $(\lambda)$	$\lambda e^{-\lambda x}$ , $x \ge 0$	$1 - e^{-\lambda t}$	$\dfrac{1}{\lambda}$	$\dfrac{1}{\lambda^{2}}$
normale $(\mu, \sigma^{2})$	$\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-(x - \mu)^{2}/(2\sigma^{2})}$	table de $\Phi$	$\mu$	$\sigma^{2}$

Domaines du tableau. Pour l’uniforme, $a<b$ , densité affichée seulement sur $[a;b]$ et répartition affine seulement pour $a\leqslant t\leqslant b$  ; ailleurs elle vaut 0 ou 1. Pour l’exponentielle, $\lambda>0$ , densité et formule de répartition affichées pour les arguments positifs ou nuls ; le conditionnement sans mémoire exige $s,t\geqslant0$ . Pour la normale, $\sigma>0$ . Les formules $F'=f$ se lisent aux points où la densité est continue.

Repères de la loi normale : $\Phi(1) \approx 0{,}841$ , $\Phi(1{,}5) \approx 0{,}933$ , $\Phi(2) \approx 0{,}977$  ; $68{,}3$ %, $95{,}4$ %, $99{,}7$ % à $\pm\sigma$ , $\pm 2\sigma$ , $\pm 3\sigma$ .

Simulation par inversion, sous les hypothèses de monotonie/continuité précédentes : $X=F^{-1}(U)$ avec $U$ uniforme sur $]0;1[$  ; exponentielle : $X = -\dfrac{1}{\lambda}\ln(1 - U)$ .

Ce qui n'est pas dans cette leçon. Le théorème central limite, l'approximation normale d'une binomiale, les couples et l'indépendance de variables à densité, la loi de Poisson, et la preuve que la cloche a une aire égale à $1$ .

Les pièges à éviter et la version imprimable sont réservés à votre compte.

S’entraîner sur ces notions

S’entraîner : Variables à densité : la probabilité est une aire

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