Fiche de révision : Analyse

Les notions de cette fiche

• Fonctions hyperboliques ch, sh, th — Définition du cosinus, du sinus et de la tangente hyperboliques à partir de l'exponentielle, parité, dérivées, relation fondamentale liant les carrés du cosinus et du sinus hyperboliques, comportement asymptotique, et réciproques argsh et argth avec leur écriture logarithmique.
• Approximation d'une solution : dichotomie et méthode de Newton — Localisation d'une solution par le théorème des valeurs intermédiaires ; algorithme de dichotomie, division par deux de l'amplitude à chaque étape, nombre d'étapes nécessaire pour atteindre une précision donnée et erreur commise en prenant le milieu ; méthode de Newton comme suite construite par les tangentes successives, hypothèses de fonctionnement et comparaison des deux vitesses de convergence.
• Borne supérieure et propriété fondamentale de R — Majorant, minorant, maximum et borne supérieure d'une partie de R ; propriété de la borne supérieure (toute partie non vide et majorée en admet une) ; caractérisation d'une borne supérieure par une approche à epsilon près ; partie entière et densité de Q dans R ; lecture de la borne supérieure comme limite d'une suite d'éléments de la partie.
• Relations de comparaison : négligeabilité et équivalents — Domination, négligeabilité et équivalence pour les suites et pour les fonctions, opérations licites sur les équivalents (produit, quotient, puissance), croissances comparées, et usage d'un équivalent pour lever une forme indéterminée.
• Continuité sur un segment et théorèmes globaux — Théorème des valeurs intermédiaires énoncé et démontré, image continue d'un segment, théorème des bornes atteintes, théorème de la bijection pour une fonction continue strictement monotone et continuité de la réciproque.
• Convergence d'une suite : définition quantifiée — Définition de la limite avec les quantificateurs (pour tout epsilon > 0, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, l'écart au but reste plus petit que epsilon), unicité de la limite, suites bornées, négation de la convergence, théorème de la limite monotone et suites adjacentes.
• Développements limités — Formule de Taylor-Young, DL usuels en 0 (e^x, ln(1+x), (1+x)^α, sin, cos), opérations sur les DL, applications aux limites et équivalents.
• Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients variables — Résolution sur un intervalle d'une équation du premier ordre dont le coefficient dépend de la variable : solution générale de l'équation homogène par une primitive du coefficient, recherche d'une solution particulière par variation de la constante, structure de l'ensemble des solutions, et problème de Cauchy avec unicité de la solution vérifiant une condition initiale.
• Fonctions réciproques : arcsin, arccos, arctan — Bijection réciproque d'une fonction continue strictement monotone, symétrie des deux courbes par rapport à la première bissectrice, dérivée de la réciproque ; restrictions principales du sinus, du cosinus et de la tangente ; domaines et images de arcsin, arccos et arctan, leurs dérivées, et la simplification d'expressions composées telles que le cosinus d'un arc sinus.
• Intégration sur un segment — Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, linéarité, relation de Chasles, positivité et inégalité de la moyenne, sommes de Riemann d'une fonction continue, intégration par parties et changement de variable.
• Calcul de primitives : formes usuelles, changement de variable, éléments simples — Reconnaissance des formes composées dont la primitive est immédiate ; intégration par parties RÉPÉTÉE, jusqu'à faire réapparaître l'intégrale de départ ou à établir une relation de récurrence entre intégrales successives — la technique elle-même est acquise en terminale, c'est son itération qui est nouvelle ; changement de variable avec transformation des bornes ; primitives des fractions rationnelles simples par décomposition en éléments de première espèce ou par mise sous forme canonique du dénominateur.
• Suites définies par récurrence — Étude d'une suite vérifiant une relation du type « terme suivant = f(terme courant) » : intervalle stable, monotonie, majoration, convergence par le théorème de la limite monotone, puis identification de la limite comme point fixe de f par continuité.
• Théorème de Rolle et accroissements finis — Extremum intérieur et annulation de la dérivée, théorème de Rolle, égalité et inégalité des accroissements finis, caractérisation de la monotonie par le signe de la dérivée, théorème de la limite de la dérivée.
• Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants — Équation caractéristique, discriminant, solutions réelles (cas Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0), solution particulière, conditions initiales.
• Séries numériques : convergence — Somme partielle et nature d'une série, condition nécessaire de convergence, séries de référence (géométriques, séries de Riemann), critères de comparaison et d'équivalence pour les séries à termes positifs, convergence absolue.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

• Fonction exponentielle — Définition (exp' = exp, exp(0) = 1), relation fonctionnelle, variations, courbe, e^(a+b) = e^a e^b ; croissance exponentielle.
• Fonction logarithme népérien — Réciproque de l'exponentielle, ln(ab) = ln a + ln b, ln(a^n) = n ln a, variations, dérivée 1/x, résolution d'équations e^x = k.
• Dérivée d'une fonction composée — (g∘u)' = u' × g'∘u ; cas e^u, ln u, u^n, √u, cos u, sin u.
• Limites et continuité de fonctions — Limites en l'infini et en un point, asymptotes, croissances comparées, continuité, théorème des valeurs intermédiaires.
• Dérivée d'un produit, d'un quotient — Formules (uv)' = u'v + uv', (1/v)' = −v'/v², (u/v)' = (u'v − uv')/v², dérivée de √x et de 1/x.
• Limites de suites — Limite finie ou infinie, opérations sur les limites, théorèmes de comparaison et des gendarmes, suites monotones bornées, raisonnement par récurrence.
• Intégrale et calcul d'aires — Intégrale d'une fonction continue, aire sous la courbe, théorème fondamental, propriétés (linéarité, Chasles, positivité), valeur moyenne, intégration par parties.
• Équations différentielles y' = ay + b — Solutions de y' = ay, de y' = ay + b, solution vérifiant une condition initiale, interprétation (décroissance radioactive, charge d'un condensateur).
• Primitives — Définition, primitives des fonctions usuelles, linéarité, primitives de u'e^u, u'/u, u'u^n ; unicité à une constante près.
• Fonctions sinus et cosinus — Fonctions trigonométriques : périodicité, parité, dérivées, courbes, résolution d'équations trigonométriques simples.
• Nombres complexes — Forme algébrique, conjugué, module, argument, forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, résolution dans ℂ du second degré.
• Suites arithmétiques et géométriques — Définition par récurrence et forme explicite, raison, sens de variation, somme des termes, modélisation d'évolutions.

S’entraîner sur ces notions

• S’entraîner : Fonctions hyperboliques ch, sh, th
• S’entraîner : Approcher une solution : dichotomie et méthode de Newton
• S’entraîner : Bornes supérieures et complétude de R
• S’entraîner : Comparer des fonctions par équivalence
• S’entraîner : Continuité sur un segment : existence et unicité
• S’entraîner : Convergence d'une suite : la définition quantifiée
• S’entraîner : Développements limités : remplacer par un polynôme
• S’entraîner : Équations linéaires à coefficients variables
• S’entraîner : Fonctions trigonométriques réciproques
• S’entraîner : Intégrer une fonction continue sur un segment
• S’entraîner : Primitives : formes, parties et changement de variable
• S’entraîner : Suites récurrentes et point fixe
• S’entraîner : Théorème de Rolle et accroissements finis
• S’entraîner : Équations différentielles linéaires du second ordre
• S’entraîner : Séries numériques : converge, diverge, et pourquoi

Pour aller plus loin

• Arithmétique et structures algébriques
• Géométrie
• Probabilités et statistique
• Toutes les fiches de révision