Les primitives : retrouver une fonction, à une constante près

La dérivation part d’une fonction pour décrire sa variation. Chercher une primitive fait le chemin inverse : connaissant une fonction $f$ sur un intervalle $I$, on cherche une fonction dérivable $F$ telle que $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ de cet intervalle.

Pour $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$, $F(x)=x^2$ convient. Mais $x^2+3$ et $x^2-7$ conviennent aussi, car la dérivée d’une constante est nulle. La connaissance de la dérivée ne permet pas de retrouver la hauteur initiale de la courbe. On ne cherche donc pas spontanément la primitive, mais une primitive ou toutes les primitives.

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle, alors $F+C$ en est une aussi pour tout réel constant $C$. Réciproquement, si $G$ est une autre primitive, $(G-F)'=0$ sur cet intervalle. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : $G=F+C$. Cette famille contient donc toutes les primitives.

Ainsi, les primitives de $2x$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x\mapsto x^2+C$, où $C$ parcourt $\mathbb{R}$. Omettre la constante donne une primitive particulière, pas la famille entière.

Une information supplémentaire permet de choisir un membre de la famille. Si l’on impose $F(1)=5$, on obtient $1+C=5$, donc $C=4$. La fonction $F(x)=x^2+4$ est alors l’unique primitive vérifiant cette condition. L’unicité vient de la condition, pas de la seule dérivée.

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives ; ce résultat est admis ici. Trouver une expression explicite demande de reconnaître une dérivée connue.

Chaque ligne se vérifie en dérivant la deuxième colonne. Pour obtenir toutes les primitives sur l’intervalle indiqué, on ajoute une constante réelle. La ligne de $1/x$ utilise la dérivée du logarithme ; le logarithme a déjà été défini comme réciproque de l’exponentielle.

La linéarité permet d’additionner et de multiplier par des constantes : si $F'=f$ et $G'=g$, alors $(aF+bG)'=af+bg$, pour des réels constants $a$ et $b$. En revanche, on ne multiplie pas deux primitives pour primitiver un produit.

La règle de composition se lit aussi à l’envers. Une primitive de $u'e^u$ est $e^u$ ; une primitive de $u'/u$ est $\ln u$ sur un intervalle où $u>0$. Pour un entier $n\geq0$, une primitive de $u'u^n$ est $u^{n+1}/(n+1)$. Le facteur $u'$ doit être présent, éventuellement à une constante multiplicative près.

Le mot intervalle compte : sur des intervalles séparés, des constantes différentes peuvent être choisies. On ne prétend donc pas utiliser une seule constante sur un domaine coupé par zéro.

Énoncé construit. On considère $f(x)=3x^2-4x+2$ sur $\mathbb{R}$. Déterminer toutes ses primitives, puis celle qui vérifie $F(1)=4$, et calculer $F(2)$ pour cette dernière.

1. Trouver une primitive terme à terme. Une primitive de $3x^2$ est $x^3$, de $-4x$ est $-2x^2$, et de la constante deux est $2x$. On obtient $x^3-2x^2+2x$.

2. Écrire toute la famille. Les primitives sont $F_C(x)=x^3-2x^2+2x+C$, avec $C\in\mathbb{R}$. La notation $F_C$ désigne la fonction correspondant au choix de $C$.

3. Utiliser la condition. On calcule $F_C(1)=1-2+2+C=1+C$. La condition impose $1+C=4$, donc $C=3$.

4. Évaluer la fonction choisie. Pour $F(x)=x^3-2x^2+2x+3$, on trouve $F(2)=8-8+4+3=7$.

5. Faire deux contrôles distincts. La dérivée est $F'(x)=3x^2-4x+2=f(x)$. Et $F(1)=4$. Le premier contrôle valide la primitive, le second valide le choix de la constante. Une fonction peut réussir le premier et échouer au second.

Le dessin vectoriel prévu superpose les courbes $y=x^2$, $y=x^2+3$ et $y=x^2-2$ dans un même repère. Leurs sommets sont respectivement $(0;0)$, $(0;3)$ et $(0;-2)$. Elles ont la même forme et sont décalées verticalement.

Aux points d’abscisse un, les tangentes sont parallèles : elles ont toutes pour pente deux. Les courbes sont identifiées par leurs équations et par des traits distincts. Une flèche verticale entre deux sommets indique la différence de constantes.

Ce qu’il faut lire. La dérivée $2x$ fixe la pente à chaque abscisse, mais pas la hauteur. Une condition comme $F(0)=3$ choisit une seule courbe, celle de $x^2+3$. Ce schéma, encore à réaliser, illustre la famille des primitives et ne représente pas une aire sous une courbe.

Repère d’abord l’intervalle de travail et la forme de la fonction. Cherche une expression dont la dérivée redonne exactement $f$. Ajuste les coefficients, puis écris la constante si toutes les primitives sont demandées. Une condition de valeur ne s’utilise qu’ensuite.

Par exemple, pour $f(x)=e^{3x}$, la dérivée de $e^{3x}$ est $3e^{3x}$. Il faut donc diviser par trois : les primitives sont $F(x)=\frac13e^{3x}+C$. Ce facteur se retrouve par contrôle, sans règle de devinette.

Pour $f(x)=2x/(x^2+1)$, pose $u(x)=x^2+1$. On reconnaît $u'/u$ et $u>0$ sur $\mathbb{R}$. Les primitives sont $F(x)=\ln(x^2+1)+C$.

Distingue les consignes : « une primitive » autorise un choix comme $C=0$ ; « toutes les primitives » exige $C\in\mathbb{R}$ ; « la primitive vérifiant une condition » exige de calculer $C$. Dans tous les cas, termine par une dérivation de contrôle.

1. Oublier la constante dans une famille. $x^2$ est une primitive de $2x$, pas toutes les primitives.
2. Dériver au lieu de primitiver. Pour $x^2$, une primitive est $x^3/3$, tandis que la dérivée est $2x$.
3. Diviser par l’ancien exposant. La primitive de $x^n$ utilise $n+1$ ; on vérifie en dérivant.
4. Appliquer la formule des puissances à $1/x$. L’exposant serait moins un et le dénominateur nul. Sur les réels positifs, on utilise $\ln x$.
5. Oublier un coefficient intérieur. Une primitive de $e^{3x}$ est $e^{3x}/3$.
6. Primitiver un produit en multipliant les primitives. La dérivation d’un produit montre pourquoi cela ne fonctionne pas en général.
7. Vérifier seulement la dérivée lorsqu’une condition est imposée. Deux constantes différentes donnent la même dérivée, mais pas la même valeur initiale.

L’exercice associé demande de reconnaître une primitive ou l’ensemble des primitives parmi plusieurs propositions. Lis cette distinction avant de calculer.

Question construite. Quelles sont toutes les primitives de $f(x)=4x+3$ sur $\mathbb{R}$ ?

Indice. Commence par une expression dont la dérivée donne $4x$, puis traite le terme constant.

Corrigé. On obtient $2x^2+3x$. Sa dérivée est bien $4x+3$. Toutes les primitives sont donc $F(x)=2x^2+3x+C$, où $C$ est un réel quelconque. Répondre seulement $2x^2+3x$ donnerait une primitive particulière.

Variante avec condition. Si $F(0)=-1$, alors $C=-1$ et l’unique primitive satisfaisant cette condition est $F(x)=2x^2+3x-1$.

Auto-contrôle. Ma réponse respecte-t-elle la consigne sur la constante, le domaine et, s’il y en a une, la valeur imposée ?