Les primitives : retrouver une fonction, à une constante près

La dérivation part d’une fonction pour décrire sa variation. Chercher une primitive fait le chemin inverse : connaissant une fonction $f$ sur un intervalle $I$, on cherche une fonction dérivable $F$ telle que $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ de cet intervalle.

Pour $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$, $F(x)=x^2$ convient. Mais $x^2+3$ et $x^2-7$ conviennent aussi, car la dérivée d’une constante est nulle. La connaissance de la dérivée ne permet pas de retrouver la hauteur initiale de la courbe. On ne cherche donc pas spontanément la primitive, mais une primitive ou toutes les primitives.

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle, alors $F+C$ en est une aussi pour tout réel constant $C$. Réciproquement, si $G$ est une autre primitive, $(G-F)'=0$ sur cet intervalle. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : $G=F+C$. Cette famille contient donc toutes les primitives.

Ainsi, les primitives de $2x$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x\mapsto x^2+C$, où $C$ parcourt $\mathbb{R}$. Omettre la constante donne une primitive particulière, pas la famille entière.

Une information supplémentaire permet de choisir un membre de la famille. Si l’on impose $F(1)=5$, on obtient $1+C=5$, donc $C=4$. La fonction $F(x)=x^2+4$ est alors l’unique primitive vérifiant cette condition. L’unicité vient de la condition, pas de la seule dérivée.

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives ; ce résultat est admis ici. Trouver une expression explicite demande de reconnaître une dérivée connue.

Chaque ligne se vérifie en dérivant la deuxième colonne. Pour obtenir toutes les primitives sur l’intervalle indiqué, on ajoute une constante réelle. La ligne de $1/x$ utilise la dérivée du logarithme ; le logarithme a déjà été défini comme réciproque de l’exponentielle.

La linéarité permet d’additionner et de multiplier par des constantes : si $F'=f$ et $G'=g$, alors $(aF+bG)'=af+bg$, pour des réels constants $a$ et $b$. En revanche, on ne multiplie pas deux primitives pour primitiver un produit.

La règle de composition se lit aussi à l’envers. Une primitive de $u'e^u$ est $e^u$ ; une primitive de $u'/u$ est $\ln u$ sur un intervalle où $u>0$. Pour un entier $n\geq0$, une primitive de $u'u^n$ est $u^{n+1}/(n+1)$. Le facteur $u'$ doit être présent, éventuellement à une constante multiplicative près.

Le mot intervalle compte : sur des intervalles séparés, des constantes différentes peuvent être choisies. On ne prétend donc pas utiliser une seule constante sur un domaine coupé par zéro.

Énoncé construit. On considère $f(x)=3x^2-4x+2$ sur $\mathbb{R}$. Déterminer toutes ses primitives, puis celle qui vérifie $F(1)=4$, et calculer $F(2)$ pour cette dernière.

1. Trouver une primitive terme à terme. Une primitive de $3x^2$ est $x^3$, de $-4x$ est $-2x^2$, et de la constante deux est $2x$. On obtient $x^3-2x^2+2x$.

2. Écrire toute la famille. Les primitives sont $F_C(x)=x^3-2x^2+2x+C$, avec $C\in\mathbb{R}$. La notation $F_C$ désigne la fonction correspondant au choix de $C$.

3. Utiliser la condition. On calcule $F_C(1)=1-2+2+C=1+C$. La condition impose $1+C=4$, donc $C=3$.

4. Évaluer la fonction choisie. Pour $F(x)=x^3-2x^2+2x+3$, on trouve $F(2)=8-8+4+3=7$.

5. Faire deux contrôles distincts. La dérivée est $F'(x)=3x^2-4x+2=f(x)$. Et $F(1)=4$. Le premier contrôle valide la primitive, le second valide le choix de la constante. Une fonction peut réussir le premier et échouer au second.

Le dessin vectoriel superpose les courbes $y=x^2$, $y=x^2+3$ et $y=x^2-2$ dans un même repère. Leurs sommets sont respectivement $(0;0)$, $(0;3)$ et $(0;-2)$. Elles ont la même forme et sont décalées verticalement.

Aux points d’abscisse un, les tangentes sont parallèles : elles ont toutes pour pente deux. Les courbes sont identifiées par leurs équations et par des traits distincts. Une flèche verticale entre deux sommets indique la différence de constantes.

Ce qu’il faut lire. La dérivée $2x$ fixe la pente à chaque abscisse, mais pas la hauteur. Une condition comme $F(0)=3$ choisit une seule courbe, celle de $x^2+3$. Ce schéma illustre la famille des primitives et ne représente pas une aire sous une courbe.