Variables aléatoires : loi, espérance, écart-type

Jusqu'ici, une expérience aléatoire produisait des issues (pile ou face, la face d'un dé, une boule tirée), et l'on calculait la probabilité d'un événement — un ensemble d'issues. Mais ce qui intéresse souvent, c'est un nombre attaché au résultat : le gain d'une partie, le nombre de piles obtenus, la durée d'attente. Ce nombre varie d'une répétition à l'autre, au hasard : c'est une variable aléatoire.

Définition. Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui, à chaque issue de l'univers $\Omega$, associe un nombre réel. On la note par une lettre majuscule ; ses valeurs possibles $x_1, x_2, \dots, x_n$ par des minuscules. Dans cette leçon, $X$ prend un nombre fini de valeurs.

Un premier exemple. On suppose deux lancers indépendants de pièces équilibrées et on note $X$ le nombre de « pile ». L'univers a quatre issues équiprobables : PP, PF, FP, FF. La variable $X$ vaut $2$ pour PP, $1$ pour PF et pour FP, $0$ pour FF. Elle « résume » l'issue en un nombre — et deux issues différentes (PF, FP) peuvent donner la même valeur.

Les écritures $\{X = a\}$ et $\{X \leqslant a\}$. L'ensemble des issues pour lesquelles $X$ prend la valeur $a$ est un événement, noté $\{X = a\}$ ; sa probabilité s'écrit $P(X = a)$. De même $\{X \leqslant a\}$ regroupe les issues où $X$ ne dépasse pas $a$. Dans l'exemple : $\{X = 1\} = \{\text{PF}, \text{FP}\}$, donc $P(X = 1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ ; et $P(X \leqslant 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}$ (les événements $\{X = 0\}$ et $\{X = 1\}$ sont incompatibles, leurs probabilités s'ajoutent).

La loi de probabilité. Donner la loi de $X$, c'est donner toutes ses valeurs possibles et la probabilité de chacune — d'ordinaire dans un tableau :

Les événements $\{X = x_i\}$ recouvrent tout l'univers sans se chevaucher : la somme des probabilités d'une loi vaut $1$. C'est le premier contrôle de tout tableau, et le moyen de retrouver une probabilité effacée.

L'espérance : une moyenne pondérée. Si l'on joue un grand nombre de fois, quelle valeur de $X$ obtient-on « en moyenne » ? Pas la moyenne simple des valeurs $\dfrac{0 + 1 + 2}{3} = 1$ — elle ignorerait que $1$ sort deux fois plus souvent que $0$. La bonne moyenne pondère chaque valeur par sa probabilité :

Pour les deux pièces : $E(X) = 0 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{4} = 1$. Ici la moyenne simple donnait le même nombre, par symétrie de la loi ; une coïncidence peut aussi se produire pour d’autres lois non uniformes, voire non symétriques. La méthode générale reste la moyenne pondérée ; la moyenne simple n’est justifiée automatiquement que si les valeurs sont équiprobables.

L’espérance $E(X)$ est une moyenne théorique pondérée. Pour des répétitions indépendantes de même loi, la moyenne empirique converge vers cette valeur avec probabilité 1 ; cela ne garantit ni une égalité sur un nombre fini de parties ni un rapprochement monotone. Ce n'est pas une valeur que $X$ prend forcément : une variable qui vaut $0$ ou $10$ à parts égales a pour espérance $5$, valeur qu'elle ne prend jamais.

Pour un jeu d'argent où $X$ est le gain algébrique (somme reçue moins mise), $E(X)$ est le gain moyen par partie sur le long terme : positif, le jeu est favorable au joueur ; négatif, il lui est défavorable ; nul, le jeu est équitable.

Mesurer la dispersion. Deux variables peuvent avoir la même espérance et se comporter très différemment : un jeu qui rend toujours $1$ euro et un jeu qui rend $0$ ou $2$ euros à pile ou face ont tous deux une espérance de $1$ euro, mais le second est risqué. Il faut un nombre qui mesure à quel point les valeurs s'écartent de l'espérance. C'est le même problème qu'en statistique de seconde, où l'on résumait une série par sa moyenne et son écart-type ; ici, les fréquences observées sont remplacées par les probabilités.

La variance. On calcule, pour chaque valeur, le carré de son écart à l'espérance, et l'on en fait la moyenne pondérée :

Le carré rend tous les écarts positifs ou nuls (sinon ils se compenseraient : la somme des écarts pondérés à l'espérance est toujours nulle) et pénalise davantage les grands écarts. La variance est donc positive ou nulle, et nulle exactement quand toutes les valeurs de probabilité positive sont identiques, c’est-à-dire quand $X$ est constante avec probabilité 1.

L'écart-type. La variance est en « unité de $X$ au carré » — des euros carrés pour un gain, ce qui ne parle pas. On revient à l'unité de $X$ par une racine carrée :

L'écart-type est la mesure de dispersion lisible : un gain d'espérance $1$ euro et d'écart-type $3$ euros varie typiquement de quelques euros autour de $1$. Variance et écart-type sont deux nombres différents, l'un étant le carré de l'autre ; quand une question demande « la variance », on ne prend pas la racine, et quand elle demande « l'écart-type », on la prend.

Une seconde formule pour la variance. En développant les carrés $(x_i - E(X))^2 = x_i^2 - 2x_i\,E(X) + E(X)^2$ et en sommant avec les poids $P(X = x_i)$ (dont la somme vaut $1$), on obtient

« Moyenne des carrés moins carré de la moyenne. » Cette forme évite les écarts décimaux et sert de contrôle de la première : deux calculs différents, un seul résultat.

Le jeu équitable. Pour un jeu de mise $m$ dont les sommes reçues ont pour espérance $E(G)$, le gain algébrique est $X = G - m$ et $E(X) = E(G) - m$ (retrancher la même quantité à toutes les valeurs retranche cette quantité à la moyenne). Le jeu est équitable lorsque $E(X) = 0$, c'est-à-dire lorsque la mise est égale à l'espérance de la somme reçue : $m = E(G)$. Une question du type « quelle mise rend le jeu équitable ? » est donc une équation du premier degré, résolue par le calcul de $E(G)$.

Prolongement — transformation affine. L'égalité $E(G - m) = E(G) - m$ est un cas particulier d'un résultat plus général : pour des réels $a$ et $b$, $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2\,V(X)$ — décaler toutes les valeurs ne change pas la dispersion, les multiplier par $a$ multiplie l'écart-type par $|a|$. Ce prolongement éclaire le calcul du gain algébrique et permet d’étudier un changement d’unité ou un coût fixe ; on le justifie ici par les définitions.

Périmètre choisi. On établit ici une loi finie à partir d’un univers ou d’un tableau donné. Le comptage de succès dans des répétitions identiques et indépendantes sera développé avec la loi binomiale dans une autre leçon.

Énoncé. Dans un modèle fictif de maintenance, la durée $X$ d’une intervention vaut 1, 3 ou 6 minutes avec les probabilités respectives 0,5 ; 0,3 ; 0,2. Le coût est $Y=2X+1$ euros. Calculez l’espérance et la variance de la durée, puis celles du coût. Comparez ce coût à un forfait constant de 6,20 €.

Moyenne pondérée de la durée.

Donc $V(X)=10{,}4-2{,}6^2=3{,}64$ min².

Transformer sans perdre les unités. Le coefficient 2 représente ici 2 €/min, et 1 un coût fixe en euros. Les valeurs de $Y$ sont 3, 7 et 13 €, avec les mêmes probabilités. Ainsi

L’écart-type du coût vaut $\sqrt{14{,}56}\approx3{,}82$ €.

Comparer sans confondre moyenne et résultat. Le forfait constant de 6,20 € a la même espérance, mais une variance nulle. Le coût variable n’est jamais exactement 6,20 € : il vaut moins (3 €) avec probabilité 0,5 et plus (7 ou 13 €) avec probabilité 0,5. Une même espérance ne décrit donc pas la même dispersion.

Contrôle direct. $E(Y)=3\times0{,}5+7\times0{,}3+13\times0{,}2=6{,}2$. $E(Y^2)=53$, donc $V(Y)=53-6{,}2^2=14{,}56$. Les deux voies coïncident sans arrondi intermédiaire.

Figure (SVG programmatique existant) : deux panneaux — une loi distincte du guidage sous forme de diagramme en bâtons, avec l'espérance et l'écart-type ; puis une réalisation de la moyenne empirique sur un nombre fini de parties.

• Panneau 1 — la loi et ses résumés. Axe horizontal gradué en euros de $-3$ à $5$, axe vertical gradué en probabilités de $0$ à $0{,}6$. Trois bâtons verticaux aux abscisses $-2$, $0$ et $4$, de hauteurs $0{,}5$, $0{,}3$ et $0{,}2$, chacun coté par sa probabilité. Sous l'axe, l'axe est dessiné comme une règle en équilibre sur un pivot placé en $x = -0{,}2$, avec la mention « $E(X) = -0{,}2$ : le point d'équilibre des masses $0{,}5$, $0{,}3$, $0{,}2$ » — les bâtons sont représentés une seconde fois comme des masses posées sur la règle. Une accolade horizontale de $E(X) - \sigma \approx -2{,}47$ à $E(X) + \sigma \approx 2{,}07$ porte la mention « $\sigma(X) \approx 2{,}27$ ». En marge, une petite vignette montre une seconde loi, équiprobable, aux mêmes valeurs $-2$, $0$, $4$ mais de probabilités $\dfrac{1}{3}$ chacune : son pivot est en $\dfrac{2}{3}$, avec la mention « moyenne simple des valeurs : $\approx 0{,}67$ — ce n'est pas $E(X)$ ».
• Panneau 2 — sur un grand nombre de parties. Axe horizontal : nombre de parties jouées, de $1$ à $500$ ; axe vertical : gain moyen par partie, en euros, de $-1{,}5$ à $1{,}5$. Une ligne brisée part de valeurs très irrégulières (les premières moyennes : $-2$, puis $1$, puis $2$, puis $2{,}5$…) et, à mesure que le nombre de parties croît, ses oscillations se resserrent autour d'une droite horizontale en tirets à l'ordonnée $-0{,}2$, cotée « $E(X)$ ». La courbe représente une trajectoire illustrative de 500 gains admissibles ; elle ne prouve pas un théorème de convergence. Sa légende précise : « une simulation parmi d’autres ; sous le modèle de répétitions indépendantes de même loi, la moyenne converge presque sûrement vers $-0{,}2$, sans rapprochement monotone garanti ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 donne à l'espérance son sens physique : c'est le centre de gravité de la loi, là où la règle tient en équilibre quand chaque valeur pèse sa probabilité — et le pivot se déplace vers les valeurs lourdes, ce que la moyenne simple de la vignette ignore. L’écart-type résume la dispersion ; l’intervalle $E(X)\pm\sigma(X)$ ne contient pas nécessairement toutes les valeurs ni une proportion universelle de la loi. Le panneau 2 donne à l'espérance son sens fréquentiel : sous des répétitions indépendantes de même loi, la moyenne empirique converge vers $E(X)$ avec probabilité 1. Une courbe finie illustre ce comportement mais ne le démontre pas ; aucune durée finie ne garantit un résultat ou un bénéfice, et des écarts peuvent temporairement augmenter.

La figure en détail : en haut, trois barres verticales placées aux valeurs moins deux, zéro et quatre, de hauteurs un demi, trois dixièmes et deux dixièmes ; l'axe horizontal est redessiné comme une règle posée sur un pivot situé un peu à gauche de zéro, en moins zéro virgule deux, position d'équilibre des trois masses ; une accolade sous la règle s'étend d'environ moins deux virgule cinq à environ deux virgule un et porte la valeur de l'écart-type, environ deux virgule vingt-sept. En bas, une ligne brisée représente le gain moyen après chaque partie jouée : très irrégulière au début, elle présente des fluctuations puis se trouve plus proche, vers la fin de cette simulation, d'une ligne horizontale en pointillés tracée à moins zéro virgule deux.