Mathématiques · Terminale · 1 leçon

Fiche de révision : Matrices et graphes

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Matrices et systèmes linéaires — Opérations sur les matrices, produit, inverse d'une matrice 2 × 2, écriture matricielle d'un système, puissances de matrices.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Systèmes de deux équations à deux inconnues — Résoudre un système linéaire 2 × 2 par substitution ou combinaison ; interprétation graphique comme intersection de droites.
Vecteurs du plan — Translation, égalité de vecteurs, somme (relation de Chasles), produit par un réel, coordonnées, colinéarité et déterminant.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Matrices et systèmes linéaires », tel qu’il figure sur la fiche.

Ce qu’il faut retenir

$(AB)_{ij} = \sum_{k} a_{ik}\,b_{kj} \qquad \text{(ligne } i \text{ de } A \text{, colonne } j \text{ de } B\text{)}$
$AB \ne BA \quad \text{en général} \qquad AI = IA = A$
$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
$A \text{ inversible} \iff \det(A) \ne 0$
$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
$AX = B \ \text{ et } \ \det(A) \ne 0 \ \Longrightarrow\ X = A^{-1}B$

Tableau : Objet, Règle, Condition d'emploi
Objet	Règle	Condition d'emploi
Somme $A + B$	terme à terme	même format
Produit $\lambda A$	chaque coefficient multiplié par $\lambda$	tout format
Produit $AB$	ligne de $A$ par colonne de $B$ , puis somme	colonnes de $A$ = lignes de $B$
Commutativité	fausse en général : $AB \ne BA$	vérifier par le calcul, jamais supposer
Identité	$AI = IA = A$	$A$ carrée, $I$ de même ordre
Déterminant (ordre $2$ )	$ad - bc$	matrice carrée d'ordre $2$
Inversibilité	$A^{-1}$ existe $\iff \det(A) \ne 0$	matrice carrée
Inverse (ordre $2$ )	diagonale échangée, antidiagonale changée de signe, le tout divisé par $\det(A)$	$\det(A) \ne 0$
Système $AX = B$	$X = A^{-1}B$ , solution unique	$\det(A) \ne 0$
Puissance $A^n$	produit répété de $A$ par elle-même	$A$ carrée, $n \ge 1$

Vérification qui ne coûte rien. Un inverse calculé se vérifie en une multiplication : $AA^{-1}$ doit rendre exactement $I$ . Une solution de système se vérifie en la reportant dans les équations de départ. Ces deux contrôles attrapent l'immense majorité des erreurs de signe.

Ce qui n’est pas développé ici. L’inversion à l’ordre 3 par comatrice, le rang, les valeurs propres, la diagonalisation et les suites couplées par diagonalisation ne sont pas développés dans ce parcours.

Les pièges à éviter et la version imprimable sont réservés à votre compte.

S’entraîner sur ces notions

S’entraîner : Matrices et systèmes linéaires

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