Vecteurs du plan : translation, coordonnées, colinéarité

Jusqu'ici, les mathématiques t'ont donné deux grandes familles d'objets : des nombres (qu'on additionne, compare, range) et des points (qu'on place, relie, mesure). Le vecteur n'est ni l'un ni l'autre. C'est un troisième type d'objet, et le plus sûr moyen de le rater est de vouloir le ramener aux deux premiers. Prenons donc le temps de l'installer.

D'abord, la translation. Imagine que l'on fasse glisser tout le plan, sans le tourner ni le déformer : chaque point est déplacé de la même façon — par exemple, « $4$ carreaux vers la droite et $3$ carreaux vers le bas ». Cette transformation s'appelle une translation. Ce qui la définit entièrement, c'est le déplacement commun à tous les points : sa direction (l'inclinaison de la droite le long de laquelle on glisse), son sens (l'un des deux sens possibles sur cette droite — vers la droite ou vers la gauche, vers le haut ou vers le bas), et sa longueur (de combien on glisse).

Le vecteur, c'est ce déplacement lui-même, détaché de tout point de départ. Si la translation envoie le point $A$ sur le point $B$, on note $\vec{AB}$ le vecteur correspondant, et on dit que la translation est « de vecteur $\vec{AB}$ ». On le dessine comme une flèche de $A$ vers $B$ — mais la flèche n'est qu'un représentant du vecteur : la même flèche tracée ailleurs dans le plan, avec la même direction, le même sens et la même longueur, représente le même vecteur.

Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur — autrement dit, lorsque la translation qui envoie $A$ sur $B$ envoie aussi $C$ sur $D$.

C'est le point le plus déroutant du chapitre : un vecteur n'habite nulle part. $\vec{AB}$ n'est pas « accroché » à $A$ — il dit seulement comment on se déplace, pas d'où l'on part.

Distinguer $\vec{AB}$ et $AB$. La notation $AB$ (sans flèche) désigne un nombre : la longueur du segment $[AB]$. La notation $\vec{AB}$ (avec flèche) désigne un vecteur : un déplacement, avec sa direction et son sens. Écrire « $\vec{AB} = 5$ » est une faute de nature, au même titre qu'écrire « un rectangle $= 12$ » : on ne compare pas un déplacement à un nombre. La longueur du vecteur $\vec{AB}$ s'appelle sa norme et se note $\|\vec{AB}\|$ ; c'est elle qui est égale au nombre $AB$.

Deux vecteurs particuliers. Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, est le déplacement qui ne bouge rien : $\vec{AA} = \vec{0}$ pour tout point $A$. L'opposé de $\vec{AB}$ est le vecteur $\vec{BA}$ : même direction, même longueur, sens contraire. On le note aussi $-\vec{AB}$.

Additionner des déplacements : la relation de Chasles. Se déplacer de $A$ à $B$, puis de $B$ à $C$, revient à se déplacer de $A$ à $C$. C'est tout le contenu de la relation de Chasles :

La somme de deux vecteurs est donc définie de façon naturelle : on enchaîne les deux déplacements, en faisant partir le second de là où le premier arrive. Remarque la lettre commune $B$, en position d'arrivée du premier et de départ du second : c'est elle qui « s'efface » dans la somme.

Les coordonnées d'un vecteur. Dans un repère, tout déplacement se décompose en un déplacement horizontal et un déplacement vertical. Les coordonnées d'un vecteur sont ces deux nombres : $\vec{u}\,(x\ ;\ y)$ signifie « $x$ dans le sens de l'axe des abscisses, $y$ dans le sens de l'axe des ordonnées » — avec des nombres négatifs pour les sens contraires. Pour le vecteur $\vec{AB}$, elles se calculent en soustrayant les coordonnées du point de départ à celles du point d'arrivée :

L'ordre de la soustraction compte : la soustraction inverse donne $\vec{BA}$, le vecteur opposé. C'est une différence essentielle avec la distance du chapitre précédent, où le carré effaçait le signe. Et deux vecteurs sont égaux exactement quand ils ont les mêmes coordonnées : l'égalité de deux objets géométriques se vérifie en comparant quatre nombres.

Les opérations, en coordonnées. Elles se font ligne par ligne, sans jamais croiser abscisses et ordonnées :

• somme : si $\vec{u}\,(x\ ;\ y)$ et $\vec{v}\,(x'\ ;\ y')$, alors $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x + x'\ ;\ y + y')$ ;
• produit par un réel $k$ : $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(kx\ ;\ ky)$. Si $k > 0$, le vecteur garde sa direction et son sens et sa longueur est multipliée par $k$ ; si $k < 0$, le sens est retourné et la longueur multipliée par $|k|$.

Le parallélogramme, en vecteurs. Dire que $ABCD$ est un parallélogramme (sommets nommés en tournant), c'est dire que le côté $[AB]$ et le côté $[DC]$ portent le même déplacement :

Attention à l'ordre des lettres : c'est $\vec{DC}$, pas $\vec{CD}$ — les deux côtés doivent être parcourus dans le même sens. Cette caractérisation est équivalente à celle de la leçon de géométrie repérée (les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu) : deux outils pour la même propriété, et le calcul choisit le plus commode.

La colinéarité : quand deux vecteurs « tirent » dans la même direction. Deux vecteurs non nuls sont dits colinéaires lorsqu'ils ont la même direction — c'est-à-dire lorsque l'un est le produit de l'autre par un réel : $\vec{v} = k\vec{u}$. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Le critère de calcul est le déterminant : pour $\vec{u}\,(x\ ;\ y)$ et $\vec{v}\,(x'\ ;\ y')$, on pose

et les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce nombre est nul. Le calcul croise l'abscisse de l'un avec l'ordonnée de l'autre, dans les deux sens, et soustrait : quatre multiplications entières, une soustraction, un verdict exact.

La colinéarité est l'outil qui traduit deux propriétés géométriques majeures. Alignement : trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Parallélisme : les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.

La norme, dans un repère orthonormé. Si le repère est orthonormé, la norme d'un vecteur $\vec{u}\,(x\ ;\ y)$ se calcule comme une distance — c'est le même triangle rectangle et le même théorème de Pythagore :

Garde-toi d'une fausse évidence : la norme d'une somme n'est pas la somme des normes. Enchaîner un déplacement de $3$ vers la droite puis un déplacement de $3$ vers la gauche donne le vecteur nul : les normes valent $3$ et $3$, leur somme $6$, et la norme de la somme $0$. L'égalité $\|\vec{u} + \vec{v}\| = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$ n'est vraie que si les deux déplacements vont exactement dans la même direction et le même sens ; dans tous les autres cas, l'un compense en partie l'autre et la somme est plus courte.

Énoncé. Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1\ ;\ 2)$, $B(3\ ;\ -1)$ et $C(4\ ;\ 5)$.

1. Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ et sa norme. 2) Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. 3) Le vecteur $\vec{w}\,(-8\ ;\ 6)$ est-il colinéaire à $\vec{AB}$ ?

1) Coordonnées et norme de $\vec{AB}$.

Étape 1 — les coordonnées. Arrivée moins départ, ligne par ligne :

Le déplacement de $A$ vers $B$ : $4$ vers la droite, $3$ vers le bas.

Étape 2 — la norme. Le repère est orthonormé, donc

La norme est un nombre : c'est la longueur $AB$. Le vecteur $\vec{AB}$, lui, n'est pas $5$ — il est « $4$ vers la droite et $3$ vers le bas ».

2) Le point $D$ du parallélogramme.

Étape 1 — traduire. $ABCD$ est un parallélogramme (dans cet ordre) si et seulement si $\vec{AB} = \vec{DC}$ : le côté de $D$ vers $C$ porte le même déplacement que le côté de $A$ vers $B$.

Étape 2 — écrire l'égalité en coordonnées. $\vec{DC}\,(x_C - x_D\ ;\ y_C - y_D) = (4 - x_D\ ;\ 5 - y_D)$, et cette paire doit valoir $(4\ ;\ -3)$ :

Donc $D(0\ ;\ 8)$.

Étape 3 — vérifier par les diagonales. Dans un parallélogramme, les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu. Milieu de $[AC]$ : $\left(\dfrac{-1+4}{2}\ ;\ \dfrac{2+5}{2}\right) = (1{,}5\ ;\ 3{,}5)$. Milieu de $[BD]$ : $\left(\dfrac{3+0}{2}\ ;\ \dfrac{-1+8}{2}\right) = (1{,}5\ ;\ 3{,}5)$. Les deux coïncident : $D$ est correct. Deux caractérisations du même objet, l'une pour trouver, l'autre pour contrôler.

3) Colinéarité de $\vec{w}$ et $\vec{AB}$.

Étape 1 — le déterminant. Avec $\vec{AB}\,(4\ ;\ -3)$ et $\vec{w}\,(-8\ ;\ 6)$ :

Étape 2 — conclure. Le déterminant est nul : les deux vecteurs sont colinéaires. On peut préciser le coefficient : $\vec{w} = -2\,\vec{AB}$, puisque $-2 \times 4 = -8$ et $-2 \times (-3) = 6$. Le coefficient est négatif : $\vec{w}$ a la même direction que $\vec{AB}$ mais le sens contraire, et sa norme vaut $2 \times 5 = 10$.

Le moment décisif : à l'étape 1 du dernier point, le produit $(-3) \times (-8)$ vaut $+24$, pas $-24$. Une erreur de signe dans le déterminant transforme un $0$ en $48$ et un « colinéaires » en « non colinéaires » : au moindre doute, refais les deux produits avec les parenthèses écrites.

Figure (SVG programmatique à produire) : quatre panneaux qui suivent l'ordre de la leçon — le vecteur comme déplacement, l'égalité de vecteurs, la relation de Chasles, puis la lecture en coordonnées.

• Panneau 1 — la translation. Un triangle quelconque et son image par la translation « $4$ à droite, $3$ en bas », dessinés tous deux en trait plein, l'image légèrement plus claire. Trois flèches strictement identiques (même longueur, même inclinaison, même sens) relient chaque sommet à son image ; une accolade les regroupe avec la mention « un seul et même vecteur ». Aucun repère sur ce panneau : le vecteur existe avant les coordonnées.
• Panneau 2 — égaux ou non. Quatre flèches sur un fond quadrillé léger : deux flèches identiques placées à des endroits différents, cochées « égaux » ; une troisième de même direction et même longueur mais de sens contraire, marquée « opposé » ; une quatrième de même direction et même sens mais deux fois plus courte, marquée « non : longueurs différentes ». Sous le panneau, la légende « même direction ET même sens ET même longueur ».
• Panneau 3 — Chasles. Trois points $A$, $B$, $C$ en triangle. La flèche $\vec{AB}$ puis la flèche $\vec{BC}$ dessinées bout à bout en traits pleins, et la flèche $\vec{AC}$ en trait épais direct, avec l'égalité $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ en cartouche. Le point $B$ est entouré d'un cercle en pointillés avec la mention « l'étape s'efface ».
• Panneau 4 — les coordonnées. Un repère orthonormé avec les points $A(-1\ ;\ 2)$ et $B(3\ ;\ -1)$ de l'exemple guidé et la flèche $\vec{AB}$ en trait épais. Le chemin en équerre est tracé en tirets : $4$ carreaux vers la droite (coté « $+4$ »), puis $3$ carreaux vers le bas (coté « $-3$ »), et le cartouche $\vec{AB}\,(4\ ;\ -3)$. Une seconde flèche identique, tracée ailleurs dans le repère à partir d'un point quelconque, porte le même cartouche : les coordonnées ne dépendent pas du point de départ. Dans un coin, la longueur de la flèche est cotée $\|\vec{AB}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5$, avec le petit carré de l'angle droit au coin de l'équerre.

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 est le geste fondateur : le vecteur n'est pas une flèche posée quelque part, c'est le déplacement commun aux trois flèches — d'où le panneau 2, qui trie les prétendants à l'égalité sur les trois critères, et jamais sur la position. Le panneau 3 montre l'addition comme un enchaînement de trajets, avec l'étape intermédiaire qui disparaît du bilan. Le panneau 4 relie enfin l'objet géométrique au calcul : les coordonnées comptent des carreaux signés, la norme est la longueur de l'hypoténuse — et la flèche déplacée qui garde le même cartouche redit, en coordonnées, ce que le panneau 1 disait en flèches.

Domaine de validité. Les coordonnées d'un vecteur, la relation de Chasles, la somme, le produit par un réel et le critère du déterminant valent dans tout repère. La formule de la norme, elle, repose sur Pythagore : elle exige un repère orthonormé, exactement comme la formule de la distance de la leçon précédente — et pour la même raison.

Écritures. Un vecteur se note avec sa flèche, toujours : $\vec{u}$, $\vec{AB}$. Sa norme est un nombre positif, noté $\|\vec{u}\|$. Écrire une égalité entre un vecteur et un nombre est une faute de nature — les deux membres d'une égalité doivent être des objets de même type. Les coordonnées de ce chapitre sont des nombres sans unité.

Contrôles gratuits. Une égalité de vecteurs se vérifie sur les deux coordonnées, jamais sur une seule. Un point trouvé par une condition de parallélogramme se contrôle par le milieu commun des diagonales. Un coefficient de colinéarité trouvé sur l'abscisse se vérifie sur l'ordonnée : s'il diffère, les vecteurs ne sont pas colinéaires.

1. Confondre le vecteur $\vec{AB}$ et la longueur $AB$. $AB$ est un nombre ; $\vec{AB}$ est un déplacement, avec une direction et un sens. Écrire « $\vec{AB} = 5$ » n'a pas de sens : c'est la norme $\|\vec{AB}\|$ qui vaut $5$. Le symptôme classique de cette confusion : additionner des vecteurs comme on additionne des longueurs — voir le piège 3.
2. Inverser l'ordre dans les coordonnées : $x_A - x_B$ au lieu de $x_B - x_A$. La soustraction se fait arrivée moins départ. L'ordre inverse donne le vecteur opposé $\vec{BA}$ : mêmes direction et longueur, sens contraire — et toutes les coordonnées changent de signe. Contrairement à la distance, où le carré effaçait le signe, ici l'erreur est invisible au premier regard et fausse tout le reste.
3. Additionner les normes pour obtenir la norme d'une somme. Avec $\vec{u}\,(3\ ;\ 0)$ et $\vec{v}\,(-3\ ;\ 0)$ : les normes valent $3$ et $3$, mais $\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}$, de norme $0$ — pas $6$. Les déplacements peuvent se compenser. L'égalité $\|\vec{u} + \vec{v}\| = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$ n'est vraie que pour deux vecteurs de même direction et de même sens ; partout ailleurs, calcule d'abord les coordonnées de la somme, puis sa norme.
4. Croiser les lignes dans une somme ou un produit. L'abscisse de $\vec{u} + \vec{v}$ ne fait intervenir que les abscisses ; l'ordonnée, que les ordonnées. De même, $k\vec{u}$ multiplie les deux coordonnées par $k$ — n'en multiplier qu'une déforme la direction du vecteur.
5. Écrire $\vec{AB} = \vec{CD}$ pour le parallélogramme $ABCD$. La bonne traduction est $\vec{AB} = \vec{DC}$ : les deux côtés opposés doivent être parcourus dans le même sens. Avec $\vec{CD}$, on obtient un quadrilatère croisé. Relis l'ordre des sommets sur la figure mentale : $A \to B$ et $D \to C$ vont dans le même sens de rotation.
6. Se tromper de signe dans le déterminant. $\det(\vec{u},\ \vec{v}) = xy' - yx'$ comporte deux produits croisés, souvent avec des nombres négatifs : $(-3) \times (-8) = +24$. Une erreur de signe change le verdict de colinéarité du tout au tout. Écris les parenthèses, calcule les deux produits séparément, puis soustrais.
7. Croire que colinéaires signifie « de même sens ». $\vec{w} = -2\,\vec{u}$ est colinéaire à $\vec{u}$ : même direction, sens contraire. La colinéarité ne parle que de direction. De même, elle ne dit rien des longueurs : $\vec{u}$ et $5\vec{u}$ sont colinéaires.
8. Conclure à l'alignement avec des vecteurs mal choisis. Pour montrer que $A$, $B$, $C$ sont alignés, on teste la colinéarité de deux vecteurs issus du même point, par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Tester $\vec{AB}$ et $\vec{CB}$ fonctionne aussi (ils partagent $B$), mais mélanger trois vecteurs quelconques entre les trois points ne prouve rien de propre.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon tire l'une de quatre situations : la coordonnée d'un vecteur $\vec{AB}$ à partir des deux points, la coordonnée d'une somme $\vec{u} + \vec{v}$ ou d'un produit $k\vec{u}$, la coordonnée manquante d'un point $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, ou la coordonnée de $\vec{AC}$ connaissant $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ — la relation de Chasles à l'état pur. La coordonnée demandée (abscisse ou ordonnée) est elle-même tirée au sort. Un second modèle, voisin, fait décider par le déterminant si deux vecteurs sont colinéaires, et confronte la norme d'une somme à la somme des normes.

Énoncé type. Dans un repère du plan, on considère les points $M(-2\ ;\ 4)$ et $N(3\ ;\ -5)$. Calculer l'abscisse du vecteur $\vec{MN}$.

Corrigé complet.

1. Identifier départ et arrivée. Le vecteur est $\vec{MN}$ : départ $M$, arrivée $N$. C'est l'ordre des lettres dans la notation qui le dit — et rien d'autre.

2. Appliquer « arrivée moins départ » sur la ligne demandée. On demande l'abscisse, donc seuls $x_M$ et $x_N$ interviennent :

L'abscisse de $\vec{MN}$ vaut $5$.

3. Interpréter. Pour aller de $M$ à $N$, on se déplace de $5$ dans le sens de l'axe des abscisses. L'ordonnée du vecteur, non demandée, vaudrait $-5 - 4 = -9$ : un déplacement de $9$ vers le bas.

4. Contrôler. La soustraction dans l'autre sens donnerait $x_M - x_N = -2 - 3 = -5$ : c'est l'abscisse de $\vec{NM}$, le vecteur opposé — le déplacement de retour. Si ta réponse est l'opposée de la bonne, c'est presque toujours cette inversion-là.

Auto-contrôle : vérifie que tu n'as utilisé que les abscisses (la ligne demandée), que la soustraction est bien « arrivée moins départ », et que les parenthèses autour des nombres négatifs ont été écrites avant de calculer. Ces trois gestes couvrent l'essentiel des erreurs sur ce modèle.