Vecteurs du plan : translation, coordonnées, colinéarité

Jusqu'ici, les mathématiques vous ont donné deux grandes familles d'objets : des nombres (qu'on additionne, compare, range) et des points (qu'on place, relie, mesure). Le vecteur n'est ni l'un ni l'autre. C'est un troisième type d'objet, et le plus sûr moyen de le rater est de vouloir le ramener aux deux premiers. Prenons donc le temps de l'installer.

D'abord, la translation. Imaginez que l'on fasse glisser tout le plan, sans le tourner ni le déformer : chaque point est déplacé de la même façon — par exemple, « $4$ carreaux vers la droite et $3$ carreaux vers le bas ». Cette transformation s'appelle une translation. Ce qui la définit entièrement, c'est le déplacement commun à tous les points : sa direction (l'inclinaison de la droite le long de laquelle on glisse), son sens (l'un des deux sens possibles sur cette droite — vers la droite ou vers la gauche, vers le haut ou vers le bas), et sa longueur (de combien on glisse).

Le vecteur, c'est ce déplacement lui-même, détaché de tout point de départ. Si la translation envoie le point $A$ sur le point $B$, on note $\vec{AB}$ le vecteur correspondant, et on dit que la translation est « de vecteur $\vec{AB}$ ». On le dessine comme une flèche de $A$ vers $B$ — mais la flèche n'est qu'un représentant du vecteur : la même flèche tracée ailleurs dans le plan, avec la même direction, le même sens et la même longueur, représente le même vecteur.

Deux vecteurs non nuls $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur — autrement dit, lorsque la translation qui envoie $A$ sur $B$ envoie aussi $C$ sur $D$.

C'est le point le plus déroutant du chapitre : un vecteur n'habite nulle part. $\vec{AB}$ n'est pas « accroché » à $A$ — il dit seulement comment on se déplace, pas d'où l'on part.

Distinguer $\vec{AB}$ et $AB$. La notation $AB$ (sans flèche) désigne un nombre : la longueur du segment $[AB]$. La notation $\vec{AB}$ (avec flèche) désigne un vecteur : un déplacement, avec sa direction et son sens. Écrire « $\vec{AB} = 5$ » est une faute de nature, au même titre qu'écrire « un rectangle $= 12$ » : on ne compare pas un déplacement à un nombre. La longueur du vecteur $\vec{AB}$ s'appelle sa norme et se note $\|\vec{AB}\|$ ; c'est elle qui est égale au nombre $AB$.

Deux vecteurs particuliers. Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, n’a ni direction ni sens déterminés ; tous les vecteurs nuls sont égaux. C’est le déplacement qui ne bouge rien : $\vec{AA} = \vec{0}$ pour tout point $A$. L'opposé de $\vec{AB}$ est le vecteur $\vec{BA}$ : même direction et longueur mais sens contraire si le vecteur est non nul ; l’opposé du vecteur nul est lui-même. On le note aussi $-\vec{AB}$.

Additionner des déplacements : la relation de Chasles. Se déplacer de $A$ à $B$, puis de $B$ à $C$, revient à se déplacer de $A$ à $C$. C'est tout le contenu de la relation de Chasles :

La somme de deux vecteurs est donc définie de façon naturelle : on enchaîne les deux déplacements, en faisant partir le second de là où le premier arrive. Remarquez la lettre commune $B$, en position d'arrivée du premier et de départ du second : c'est elle qui « s'efface » dans la somme.

Les coordonnées d'un vecteur. Dans tout repère du plan, un déplacement se décompose selon les deux directions des axes ; elles ne sont horizontale et verticale que dans la représentation orthogonale usuelle. Les coordonnées d'un vecteur sont ces deux nombres : $\vec{u}\,(x\ ;\ y)$ signifie « $x$ dans le sens de l'axe des abscisses, $y$ dans le sens de l'axe des ordonnées » — avec des nombres négatifs pour les sens contraires. Pour le vecteur $\vec{AB}$, elles se calculent en soustrayant les coordonnées du point de départ à celles du point d'arrivée :

L'ordre de la soustraction compte : la soustraction inverse donne $\vec{BA}$, le vecteur opposé. C'est une différence essentielle avec la distance du chapitre précédent, où le carré effaçait le signe. Et deux vecteurs sont égaux exactement quand ils ont les mêmes coordonnées : l'égalité de deux objets géométriques se vérifie en comparant quatre nombres.

Les opérations, en coordonnées. Elles se font ligne par ligne, sans jamais croiser abscisses et ordonnées :

• somme : si $\vec{u}\,(x\ ;\ y)$ et $\vec{v}\,(x'\ ;\ y')$, alors $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x + x'\ ;\ y + y')$ ;
• produit par un réel $k$ : $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(kx\ ;\ ky)$. Pour un vecteur non nul, si $k>0$ la direction et le sens sont conservés ; si $k<0$ le sens est retourné. La norme est multipliée par $|k|$. Si $k=0$ ou si le vecteur de départ est nul, le résultat est le vecteur nul, sans direction ni sens déterminés.

Le parallélogramme, en vecteurs. Pour un quadrilatère non dégénéré $ABCD$, dont les sommets sont nommés dans l’ordre du contour, dire que c’est un parallélogramme, c'est dire que le côté $[AB]$ et le côté $[DC]$ portent le même déplacement :

Attention à l'ordre des lettres : c'est $\vec{DC}$, pas $\vec{CD}$ — les deux côtés doivent être parcourus dans le même sens. Cette caractérisation est équivalente à celle de la leçon de géométrie repérée (les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu) : deux outils pour la même propriété, et le calcul choisit le plus commode.

La colinéarité : quand deux vecteurs « tirent » dans la même direction. Deux vecteurs non nuls sont dits colinéaires lorsqu'ils ont la même direction — c'est-à-dire lorsque l'un est le produit de l'autre par un réel : $\vec{v} = k\vec{u}$. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Le critère de calcul est le déterminant : pour $\vec{u}\,(x\ ;\ y)$ et $\vec{v}\,(x'\ ;\ y')$, on pose

et les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce nombre est nul. Le calcul croise l'abscisse de l'un avec l'ordonnée de l'autre, dans les deux sens, et soustrait : deux multiplications et une soustraction ; avec des coordonnées exactes, le verdict est exact.

La colinéarité est l'outil qui traduit deux propriétés géométriques majeures. Alignement : trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Parallélisme : si $A\neq B$ et $C\neq D$, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, éventuellement confondues, si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.

La norme, dans un repère orthonormé. Si le repère est orthonormé, la norme d'un vecteur $\vec{u}\,(x\ ;\ y)$ se calcule comme une distance — c'est le même triangle rectangle et le même théorème de Pythagore :

Gardez-vous d'une fausse évidence : la norme d'une somme n'est pas la somme des normes. Enchaîner un déplacement de $3$ vers la droite puis un déplacement de $3$ vers la gauche donne le vecteur nul : les normes valent $3$ et $3$, leur somme $6$, et la norme de la somme $0$. L'égalité $\|\vec{u} + \vec{v}\| = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$ est vraie si l’un des vecteurs est nul, ou si les deux vecteurs non nuls ont même direction et même sens. Sinon l’inégalité triangulaire est stricte : la norme de la somme est inférieure à la somme des normes.

Énoncé. Un robot part de l’origine d’un repère orthonormé. Il effectue le déplacement $\vec u=(2;-3)$, puis deux fois le déplacement $\vec v=(4;1)$. Quel déplacement $\vec w$ le ramènerait directement au départ ? Donnez sa norme exacte et vérifiez si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

Composer les déplacements. Deux déplacements $\vec v$ donnent $(8;2)$. La position atteinte correspond donc à

Le retour doit annuler ce bilan :

Contrôler le retour. $(2;-3)+(8;2)+(-10;1)=(0;0)$ : la somme est le vecteur nul. Cela signifie retour au même point, pas absence de trajet parcouru.

Calculer une longueur. Le repère étant orthonormé,

On ne trouve pas cette longueur en additionnant les normes de tous les déplacements : une norme mesure le déplacement résultant, pas la somme des chemins effectués.

Tester les directions.

Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Le trajet comporte donc deux directions, même si l’on peut calculer directement son bilan en coordonnées.

Figure (SVG programmatique existant) : quatre panneaux qui suivent l'ordre de la leçon — le vecteur comme déplacement, l'égalité de vecteurs, la relation de Chasles, puis la lecture en coordonnées.

• Panneau 1 — la translation. Un triangle quelconque et son image par la translation « $4$ à droite, $3$ en bas », dessinés tous deux en trait plein, l'image légèrement plus claire. Trois flèches strictement identiques (même longueur, même inclinaison, même sens) relient chaque sommet à son image ; une accolade les regroupe avec la mention « un seul et même vecteur ». Aucun repère sur ce panneau : le vecteur existe avant les coordonnées.
• Panneau 2 — égaux ou non. Quatre flèches sur un fond quadrillé léger : deux flèches identiques placées à des endroits différents, cochées « égaux » ; une troisième de même direction et même longueur mais de sens contraire, marquée « opposé » ; une quatrième de même direction et même sens mais deux fois plus courte, marquée « non : longueurs différentes ». Sous le panneau, la légende « même direction ET même sens ET même longueur ».
• Panneau 3 — Chasles. Trois points $A$, $B$, $C$ en triangle. La flèche $\vec{AB}$ puis la flèche $\vec{BC}$ dessinées bout à bout en traits pleins, et la flèche $\vec{AC}$ en trait épais direct, avec l'égalité $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ en cartouche. Le point $B$ est entouré d'un cercle en pointillés avec la mention « l'étape s'efface ».
• Panneau 4 — les coordonnées. Un repère orthonormé avec les points $A(-1\ ;\ 2)$ et $B(3\ ;\ -1)$ de l’exemple indépendant représenté et la flèche $\vec{AB}$ en trait épais. Le chemin en équerre est tracé en tirets : $4$ carreaux vers la droite (coté « $+4$ »), puis $3$ carreaux vers le bas (coté « $-3$ »), et le cartouche $\vec{AB}\,(4\ ;\ -3)$. Une seconde flèche identique, tracée ailleurs dans le repère à partir d'un point quelconque, porte le même cartouche : les coordonnées ne dépendent pas du point de départ. Dans un coin, la longueur de la flèche est cotée $\|\vec{AB}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5$, avec le petit carré de l'angle droit au coin de l'équerre.

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 est le geste fondateur : le vecteur n'est pas une flèche posée quelque part, c'est le déplacement commun aux trois flèches — d'où le panneau 2, qui trie les prétendants à l'égalité sur les trois critères, et jamais sur la position. Le panneau 3 montre l'addition comme un enchaînement de trajets, avec l'étape intermédiaire qui disparaît du bilan. Le panneau 4 relie enfin l'objet géométrique au calcul : les coordonnées comptent des carreaux signés, la norme est la longueur de l'hypoténuse — et la flèche déplacée qui garde le même cartouche redit, en coordonnées, ce que le panneau 1 disait en flèches.