Mathématiques · Terminale · 8 leçons

Fiche de révision : Analyse

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Dérivée d'une fonction composée — (g∘u)' = u' × g'∘u ; cas e^u, ln u, u^n, √u, cos u, sin u.
Fonctions sinus et cosinus — Fonctions trigonométriques : périodicité, parité, dérivées, courbes, résolution d'équations trigonométriques simples.
Fonction logarithme népérien — Réciproque de l'exponentielle, ln(ab) = ln a + ln b, ln(a^n) = n ln a, variations, dérivée 1/x, résolution d'équations e^x = k.
Primitives — Définition, primitives des fonctions usuelles, linéarité, primitives de u'e^u, u'/u, u'u^n ; unicité à une constante près.
Limites de suites — Limite finie ou infinie, opérations sur les limites, théorèmes de comparaison et des gendarmes, suites monotones bornées, raisonnement par récurrence.
Limites et continuité de fonctions — Limites en l'infini et en un point, asymptotes, croissances comparées, continuité, théorème des valeurs intermédiaires.
Équations différentielles y' = ay + b — Solutions de y' = ay, de y' = ay + b, solution vérifiant une condition initiale, interprétation (décroissance radioactive, charge d'un condensateur).
Intégrale et calcul d'aires — Intégrale d'une fonction continue, aire sous la courbe, théorème fondamental, propriétés (linéarité, Chasles, positivité), valeur moyenne, intégration par parties.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Dérivée d'un produit, d'un quotient — Formules (uv)' = u'v + uv', (1/v)' = −v'/v², (u/v)' = (u'v − uv')/v², dérivée de √x et de 1/x.
Fonction exponentielle — Définition (exp' = exp, exp(0) = 1), relation fonctionnelle, variations, courbe, e^(a+b) = e^a e^b ; croissance exponentielle.
Cercle trigonométrique et radians — Enroulement de la droite des réels, radian, cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables, angles associés.
Fonctions de référence — Carré, inverse, racine carrée, cube : courbes, sens de variation, parité ; variations et extremums d'une fonction sur un intervalle.
Suites arithmétiques et géométriques — Définition par récurrence et forme explicite, raison, sens de variation, somme des termes, modélisation d'évolutions.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Dériver une fonction composée », tel qu’il figure sur la fiche.

Méthode : intérieur, extérieur, domaine, produit

$(g\circ u)'(x)=u'(x)\,g'(u(x))$
$(e^u)'=u'e^u\qquad(\ln u)'=\frac{u'}u\quad(u>0)$

Commencez par écrire la fonction intérieure $u$ et la fonction extérieure $g$ , en utilisant une autre lettre pour l’entrée de $g$ . Déterminez ensuite le domaine et vérifiez la dérivabilité nécessaire. Calculez $u'$ et $g'$ séparément. Écrivez $g'(u(x))$ avant de multiplier par $u'(x)$ . Simplifiez à la fin.

Pour $p(x)=\ln(5x+2)$ , le domaine est $]-2/5;+\infty[$ . On pose $u(x)=5x+2$ et $g(t)=\ln t$ . On a $u'(x)=5$ et $g'(t)=1/t$ , donc $p'(x)=5/(5x+2)$ sur cet intervalle.

Si une valeur de la dérivée est demandée, remplacez $x$ seulement dans l’expression finale. Cette méthode conserve les deux facteurs et évite de confondre une fonction dérivée avec un nombre dérivé.

La suite de la fiche (7 autres notions, les pièges à éviter et la version imprimable) est réservée à votre compte.

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