Mathématiques · Terminale · 1 leçon

Fiche de révision : Probabilités

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Loi binomiale — Épreuve et schéma de Bernoulli, coefficients binomiaux, loi B(n, p), espérance np, variance np(1 − p), calculs avec la calculatrice.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Variables aléatoires — Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète, espérance, variance, écart-type, interprétation en moyenne sur un grand nombre de répétitions.
Probabilités conditionnelles et indépendance — P_A(B), arbre pondéré, formule des probabilités totales, indépendance de deux événements.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « La loi binomiale : compter les succès », tel qu’il figure sur la fiche.

Ce qu’il faut retenir

$X \text{ compte les succès de } n \text{ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre }p \Rightarrow X\sim\mathcal{B}(n;p)$
$P(X = k) = \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}\,p^{k}\,(1 - p)^{n - k}, \quad k\in\{0,\ldots,n\},\quad 0<p<1$
$\dfrac{n!}{k!\,(n - k)!} = \dfrac{(n - 1)!}{(k - 1)!\,(n - k)!} + \dfrac{(n - 1)!}{k!\,(n - k - 1)!}, \quad 1 \le k \le n - 1$
$P(X \ge 1) = 1 - (1 - p)^{n}, \qquad P(X \ge k) = 1 - P(X \le k - 1)$
$E(X) = n\,p, \qquad V(X) = n\,p\,(1 - p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{n\,p\,(1 - p)}$

Tableau : Objet, Énoncé, Domaine de validité
Objet	Énoncé	Domaine de validité
Épreuve de Bernoulli	expérience à deux issues, succès de probabilité $p$	—
Schéma de Bernoulli	$n$ fixé, deux issues, même $p$ , indépendance	les quatre conditions, sans exception
Loi de $X$	$P(X = k) = \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}$	$X$ compte les succès du schéma
Coefficient binomial	nombre de façons de placer $k$ succès parmi $n$ rangs	entier, jamais négatif
Cumulée	$P(X \le k)$ inclut la valeur $k$	$P(X < k) = P(X \le k) - P(X = k)$
Espérance	$E(X) = np$	moyenne théorique ; peut être ou non une valeur prise
Variance	$V(X) = np(1-p)$	maximale en $p = 0{,}5$ , nulle en $p = 0$ ou $1$

Conditions. $n$ et les seuils $k$ sont entiers, $n\geqslant1$ et $0\leqslant p\leqslant1$ . La formule factorielle est utilisée directement pour $0<p<1$  ; les cas $p=0$ et $p=1$ sont déterministes. Le fait qu’une variable ait une loi binomiale ne prouve pas à lui seul le protocole physique qui a produit cette loi.

La calculatrice. Deux fonctions suffisent et portent des noms voisins d'une machine à l'autre : la densité donne $P(X = k)$ à partir de $n$ , $p$ et $k$  ; la répartition donne $P(X \le k)$ à partir des mêmes données. Tout le reste s'en déduit par passage au complémentaire. Vérifiez une fois pour toutes, sur un cas que vous savez calculer à la main, laquelle des deux fonctions votre machine appelle laquelle.

Les unités. Il n'y en a pas : $k$ , $n$ et les coefficients binomiaux sont des entiers, $p$ et les probabilités sont des nombres sans dimension compris entre $0$ et $1$ , l'espérance et l'écart-type s'expriment en « nombre de succès ».

Périmètre choisi. On ne développe ici ni concentration, ni approximation normale, ni théorie de convergence. Ces outils ne sont pas nécessaires aux calculs exacts présentés.

Les pièges à éviter et la version imprimable sont réservés à votre compte.

S’entraîner sur ces notions

S’entraîner : La loi binomiale : compter les succès

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