Mathématiques · Troisième · 2 leçons

Fiche de révision : Nombres et calculs

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Divisibilité et nombres premiers — Critères de divisibilité, diviseurs et multiples, décomposition en produit de facteurs premiers, fractions irréductibles.
Développement et factorisation — Distributivité simple et double, identités remarquables (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), factorisation par un facteur commun.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Opérations sur les entiers — Additionner, soustraire, multiplier et diviser des entiers naturels ; priorités opératoires ; division euclidienne.
Expressions littérales — Utiliser une lettre pour désigner un nombre, produire et réduire une expression littérale, tester une égalité, substituer une valeur.
Opérations sur les fractions — Additionner, soustraire (réduction au même dénominateur), multiplier et diviser des fractions, y compris avec des relatifs.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Divisibilité et nombres premiers : les briques des entiers », tel qu’il figure sur la fiche.

Ce qu'il faut retenir

$b \mid a \iff \exists k\in\mathbb{N},\ a=bk\qquad(a\in\mathbb{N},\ b\in\mathbb{N}^{*})$
$n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_r^{a_r} \quad (p_1 < p_2 < \cdots < p_r \text{ premiers})$
$252 = 2^{2} \times 3^{2} \times 7 \qquad 180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5$
$\text{plus grand diviseur commun} = \text{facteurs communs, chacun au plus petit exposant}$
$\text{plus petit multiple commun} = \text{tous les facteurs, chacun au plus grand exposant}$
$\frac{252}{180} = \frac{36 \times 7}{36 \times 5} = \frac{7}{5} \quad (\text{fraction irréductible})$

Tableau : Objet, Règle, Domaine de validité
Objet	Règle	Domaine de validité
Diviseur	$b$ divise $a$ si $a = b \times k$ avec $k$ naturel	$a$ naturel, $b > 0$
Nombre premier	exactement deux diviseurs positifs distincts	entiers naturels ; $0$ et $1$ exclus
Décomposition	existe et est unique à l'ordre près	entiers naturels $\geq 2$
Test de primalité	s'arrêter quand le carré du candidat dépasse $n$	tout entier $n \geq 2$
Fraction irréductible	plus aucun facteur premier commun	numérateur et dénominateur entiers, dénominateur non nul
Plus petit multiple commun	tous les facteurs premiers, chacun au plus grand exposant	deux entiers naturels non nuls (engrenages, clignotants)

Unités. Aucune : on travaille sur des entiers naturels, des nombres purs. Attention en revanche à l'écriture des grands nombres, qui se séparent par un espace fin tous les trois chiffres ( $4\,383$ ) et jamais par un point.

Chiffres significatifs. La question ne se pose pas non plus : une décomposition, un nombre de diviseurs ou un plus grand diviseur commun sont des résultats exacts. Si tu obtiens un nombre à virgule, c'est qu'il y a une erreur.

La suite de la fiche (1 autre notion, les pièges à éviter et la version imprimable) est réservée à votre compte.

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