Calculer avec des fractions : additionner, multiplier, diviser

Une fraction s'écrit $\dfrac{a}{b}$, avec $b \neq 0$. Le nombre du haut est le numérateur, celui du bas le dénominateur. Ce n'est pas « deux nombres l'un sur l'autre » : c'est un seul nombre, le résultat de la division de $a$ par $b$. Écrire $\dfrac{3}{4}$, c'est écrire $0{,}75$ autrement — en gardant la division en attente au lieu de la faire.

Le dénominateur dit en combien de parts égales on a coupé l'unité ; le numérateur dit combien de ces parts on prend. Dans $\dfrac{3}{4}$, l'unité est coupée en quatre parts et on en prend trois.

Pourquoi additionner n'est pas immédiat. Additionner, c'est réunir. Mais on ne peut réunir que des parts de même taille. Un quart et un tiers ne sont pas des parts de même taille : leur réunion ne s'écrit pas directement.

Tu peux le vérifier sans rien savoir : $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ et $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$. Une somme de deux nombres positifs serait donc plus petite que l'un d'eux : impossible. La bonne réponse est $\dfrac{5}{6}$, c'est-à-dire environ $0{,}83$.

Le mécanisme : refaire le découpage. Pour additionner, on recoupe les deux fractions avec le même dénominateur. On cherche un multiple commun aux deux dénominateurs — le plus petit possible, pour éviter de gros nombres. Pour $2$ et $3$, c'est $6$ :

Les parts ont maintenant la même taille, les sixièmes. On peut les réunir :

Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas la valeur de la fraction : on coupe chaque part en morceaux plus petits, mais on en prend proportionnellement plus. La quantité de gâteau, elle, est la même.

Multiplier, c'est plus simple qu'additionner. Pour un produit, aucun dénominateur commun n'est nécessaire : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Diviser, c'est multiplier par l'inverse. L'inverse de $\dfrac{c}{d}$ (avec $c \neq 0$) est $\dfrac{d}{c}$ : la fraction retournée. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Pourquoi diviser revient à multiplier par l'inverse. Diviser par $\dfrac{c}{d}$, c'est chercher le nombre qui, multiplié par $\dfrac{c}{d}$, redonne $\dfrac{a}{b}$. Or

Le candidat convient donc. Ce n'est pas une astuce à retenir bêtement : c'est la seule écriture qui fonctionne.

Les fractions négatives. Un signe moins peut se placer à trois endroits sans changer la valeur :

En pratique, on écrit le signe devant la barre ou au numérateur, jamais au dénominateur. Quand une fraction négative est le deuxième terme d'une somme, on la met entre parenthèses : $\dfrac{5}{6} + \left(-\dfrac{3}{4}\right)$, pour ne pas accoler deux signes.

Réduire au même dénominateur : le plus petit multiple commun. Prends $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{3}{8}$. Le produit $6 \times 8 = 48$ marche toujours, mais $24$ est plus petit et suffit : $24 = 6 \times 4 = 8 \times 3$. Travailler avec $24$ évite d'avoir ensuite à simplifier de gros nombres. Si l'un des dénominateurs est un multiple de l'autre (par exemple $3$ et $12$), le plus grand des deux fait l'affaire.

Simplifier avant de multiplier. Dans un produit, on peut simplifier avant de calculer, en croisant numérateurs et dénominateurs :

$7$ et $14$ se simplifient par $7$ ; $15$ et $10$ se simplifient par $5$. Il reste $\dfrac{1 \times 3}{2 \times 2} = \dfrac{3}{4}$. C'est la méthode à travailler : elle évite le passage par $\dfrac{105}{140}$, qu'il faudrait ensuite simplifier par $35$.

Ce qu'on appelle une fraction irréductible. Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$. C'est la forme attendue dans les réponses, parce qu'elle est unique : $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{6}{8}$ et $\dfrac{105}{140}$ sont le même nombre, mais une seule de ces écritures est irréductible. Pour l'obtenir en 4e, on simplifie par étapes : on cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur à l'aide des critères de divisibilité (par $2$, par $3$, par $5$, par $9$), on divise le haut et le bas par ce diviseur, puis on recommence. La fraction est irréductible quand plus aucun diviseur commun n'apparaît. Sur $\dfrac{105}{140}$ : les deux nombres se terminent par $5$ ou $0$, donc se divisent par $5$, ce qui donne $\dfrac{21}{28}$ ; puis $21 = 3 \times 7$ et $28 = 4 \times 7$ se divisent par $7$, ce qui donne $\dfrac{3}{4}$, irréductible. Une méthode systématique, par décomposition en produit de facteurs premiers, sera vue en 3e.

Simplifier n'est pas soustraire. On simplifie une fraction en divisant le haut et le bas par un même nombre, jamais en leur retirant le même nombre. $\dfrac{6}{8}$ vaut $\dfrac{3}{4}$, pas $\dfrac{4}{6}$.

Comparer deux fractions. Avec le même dénominateur, on compare les numérateurs. Sinon, on réduit d'abord au même dénominateur — ou l'on compare les écritures décimales. Attention : plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites. Ainsi $\dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{4}$, alors que $3 < 4$.

Une fraction de quelque chose. « Les $\dfrac{2}{3}$ de $12$ » se calcule $\dfrac{2}{3} \times 12 = \dfrac{24}{3} = 8$. Le résultat, $8$, est un nombre d'objets ; la fraction $\dfrac{2}{3}$, elle, est une proportion. Les deux ne se confondent pas : $\dfrac{2}{3}$ n'est jamais égal à $8$.

Énoncé. Calculer et donner chaque résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Calcul de $A$.

1. Repérer l'opération. C'est une différence : il faut un dénominateur commun.

2. Chercher le plus petit multiple commun à $6$ et $8$. Les multiples de $8$ sont $8$, $16$, $24$… ; $24$ est un multiple de $6$ ($24 = 6 \times 4$). On prend donc $24$.

3. Recouper les deux fractions.

Chaque fraction a été multipliée en haut et en bas par le même nombre : sa valeur n'a pas changé.

4. Soustraire les numérateurs, le dénominateur ne bouge plus :

5. Vérifier l'irréductibilité. $11$ est premier et ne divise pas $24$ : les deux nombres n'ont aucun diviseur commun autre que $1$. La fraction est irréductible.

6. Contrôler l'ordre de grandeur. $\dfrac{5}{6} \approx 0{,}83$ et $\dfrac{3}{8} = 0{,}375$ ; leur différence doit valoir environ $0{,}46$. Or $\dfrac{11}{24} \approx 0{,}458$. C'est cohérent.

Calcul de $B$.

1. Repérer l'opération. C'est une division par une fraction : on multiplie par l'inverse du diviseur. L'inverse de $\dfrac{14}{15}$ est $\dfrac{15}{14}$.

2. Ne pas chercher de dénominateur commun. Il n'en faut aucun pour un produit : ce serait du travail inutile et une source d'erreurs.

3. Simplifier avant de multiplier.

$7$ et $14$ se simplifient par $7$ : il reste $1$ en haut et $2$ en bas. $15$ et $10$ se simplifient par $5$ : il reste $3$ en haut et $2$ en bas.

4. Vérifier. $3$ et $4$ n'ont pas de diviseur commun autre que $1$ : la fraction est irréductible. En décimal, $\dfrac{7}{10} = 0{,}7$ et $\dfrac{14}{15} \approx 0{,}933$ ; le quotient vaut environ $0{,}75$, ce qui est bien $\dfrac{3}{4}$.

5. Voir l'erreur qu'on a évitée. Diviser « sans inverser » donnerait $\dfrac{7 \times 14}{10 \times 15} = \dfrac{98}{150} = \dfrac{49}{75} \approx 0{,}653$. C'est une autre valeur : l'erreur est bien réelle, et détectable au contrôle d'ordre de grandeur.

Figure (fig.math.fraction-common-denominator, SVG programmatique à produire) : trois bandes rectangulaires de même longueur totale, empilées, qui montrent qu'un dénominateur commun ne change pas la quantité, seulement le découpage.

• Bande 1, en haut, coupée en deux parts égales. La part de gauche est remplie et porte l'étiquette $\dfrac{1}{2}$ ; la part de droite est vide.
• Bande 2, au milieu, coupée en trois parts égales. La part de gauche est remplie, hachurée dans une autre direction que la bande 1, et porte l'étiquette $\dfrac{1}{3}$.
• Bande 3, en bas, coupée en six parts égales, avec les traits de coupe des bandes 1 et 2 prolongés en pointillés vers elle, pour montrer d'où viennent les sixièmes. Les trois premières parts sont remplies comme la bande 1 (étiquette $\dfrac{3}{6}$), les deux suivantes hachurées comme la bande 2 (étiquette $\dfrac{2}{6}$), la dernière reste vide. Sous la bande, une accolade couvre les cinq parts remplies et porte $\dfrac{5}{6}$.
• À droite des trois bandes, une colonne de calcul alignée sur chaque bande : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$, puis $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$, puis $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$.
• Encart d'avertissement, en bas, séparé par un filet : la fraction $\dfrac{2}{5}$ représentée sur une quatrième bande de même longueur coupée en cinq, deux parts remplies, avec la mention barrée « additionner les numérateurs et les dénominateurs ». La zone remplie y est visiblement plus courte que celle de la bande 1 seule : une somme de deux nombres positifs ne peut pas être plus petite que l'un d'eux.

Ce qu'il faut lire. Les traits de coupe des sixièmes tombent exactement sur ceux des demis et des tiers : c'est ce qui rend l'addition possible. Le remplissage total ne change pas d'une bande à l'autre — seule la manière de le découper change. Et l'encart montre du regard, sans calcul, pourquoi $\dfrac{2}{5}$ ne peut pas être la réponse.

La figure en détail : trois bandes rectangulaires de même longueur, empilées. La première est partagée en deux parts égales dont une est remplie, étiquetée un demi. La deuxième est partagée en trois parts égales dont une est remplie d'une autre texture, étiquetée un tiers. La troisième est partagée en six parts égales : les trois premières sont remplies comme la première bande, les deux suivantes comme la deuxième, la sixième reste vide ; une accolade réunit les cinq parts remplies et porte cinq sixièmes. Les traits de coupe des deux premières bandes se prolongent en pointillés jusqu'à la troisième. À droite, la suite de calculs un demi égale trois sixièmes, un tiers égale deux sixièmes, trois sixièmes plus deux sixièmes égale cinq sixièmes. En bas, séparée par un filet, une quatrième bande de même longueur partagée en cinq parts dont deux sont remplies illustre l'écriture fausse deux cinquièmes, dont la zone remplie est plus courte que celle d'un demi.

Domaine de validité. Un dénominateur n'est jamais nul : $\dfrac{a}{0}$ n'existe pas. Pour une division, le diviseur ne doit pas être nul non plus : $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d}$ n'a de sens que si $c \neq 0$ (sinon l'inverse $\dfrac{d}{c}$ n'existe pas).

Pas d'unité. Une fraction est un nombre sans unité. Quand elle vient d'un partage de grandeurs (par exemple $\dfrac{3}{4}$ de litre), c'est la grandeur qui porte l'unité, pas la fraction.

Forme de la réponse. Sauf mention contraire, une réponse fractionnaire se donne sous forme irréductible, avec le dénominateur positif et le signe devant la barre ou au numérateur. Une valeur décimale approchée ne remplace pas une fraction exacte : $\dfrac{1}{3}$ n'est pas $0{,}33$.

1. Additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Écrire $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}$ est l'erreur la plus répandue. Elle est fausse parce qu'on additionne des parts de tailles différentes. Le contrôle est immédiat : $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ est plus petit que $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$, alors qu'on a ajouté un nombre positif. Une somme de deux nombres positifs est toujours plus grande que chacun d'eux.
2. Réduire au même dénominateur avant une multiplication. Ce n'est pas faux au sens où le résultat reste juste, mais c'est du travail inutile qui gonfle les nombres et multiplie les occasions de se tromper. Le dénominateur commun ne sert qu'à l'addition et à la soustraction.
3. Diviser sans inverser. Écrire $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$ confond division et multiplication. Avec $\dfrac{7}{10} \div \dfrac{14}{15}$, cela donnerait $\dfrac{49}{75} \approx 0{,}65$ au lieu de $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$. Retourne le diviseur, celui qui est après le signe de division, et lui seul.
4. Simplifier en soustrayant. Passer de $\dfrac{6}{8}$ à $\dfrac{4}{6}$ en retirant $2$ en haut et en bas change complètement le nombre : $0{,}75$ devient environ $0{,}67$. On simplifie en divisant, jamais en soustrayant.
5. Croire que $\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{4}$ parce que $3 < 4$. Le dénominateur compte les parts : plus il est grand, plus chaque part est petite. Un tiers de gâteau est plus gros qu'un quart de gâteau.
6. Confondre la fraction d'une quantité et la fraction nombre. « Les $\dfrac{2}{3}$ de $12$ » valent $8$, mais $\dfrac{2}{3}$ ne vaut pas $8$ : c'est environ $0{,}67$. Le calcul $\dfrac{2}{3} \times 12$ transforme une proportion en un nombre d'objets.
7. Perdre le signe en cours de route. Dans $\dfrac{5}{6} + \left(-\dfrac{3}{4}\right)$, le signe moins porte sur toute la fraction. Après réduction au même dénominateur, il porte sur le numérateur : $\dfrac{10}{12} + \dfrac{-9}{12} = \dfrac{1}{12}$. Mets les parenthèses tant que tu n'es pas sûr.
8. Rendre une fraction non simplifiée. $\dfrac{105}{140}$ est numériquement juste, mais ce n'est pas la réponse attendue quand la consigne dit « irréductible ». Prends l'habitude de chercher un diviseur commun avant de conclure.

À quoi t'attendre. L'exercice tire une somme ou une différence $\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d}$ avec des dénominateurs différents (le même dénominateur est un attendu de 5e) et des numérateurs éventuellement négatifs. La réponse est attendue sous forme de fraction irréductible : une fraction non simplifiée est refusée. Un exercice voisin travaille le produit et le quotient, avec la simplification croisée.

Énoncé type. Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :

Corrigé complet.

1. Lire l'opération. Ajouter $-\dfrac{3}{4}$ revient à soustraire $\dfrac{3}{4}$ :

2. Trouver un dénominateur commun. Les multiples de $6$ sont $6$, $12$, $18$… ; $12$ est aussi un multiple de $4$. On prend $12$.

3. Recouper les deux fractions.

4. Calculer sur les numérateurs.

5. Vérifier l'irréductibilité. $1$ et $12$ n'ont pas d'autre diviseur commun que $1$ : c'est terminé.

6. Contrôler. $\dfrac{5}{6} \approx 0{,}833$ et $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ ; la différence vaut environ $0{,}083$, et $\dfrac{1}{12} \approx 0{,}083$. Cohérent.

Auto-contrôle : convertis toujours ta réponse en décimal et compare-la aux deux fractions de départ. Si tu ajoutes un nombre négatif, le résultat doit diminuer ; si tu ajoutes un nombre positif, il doit augmenter. Une réponse qui va dans le mauvais sens signale un signe perdu ou des numérateurs additionnés à tort.