Mathématiques · Troisième · 2 leçons

Fiche de révision : Espace et géométrie

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Théorème de Thalès — Configurations de Thalès (triangle et papillon), égalité des rapports, réciproque, agrandissement-réduction.
Trigonométrie du triangle rectangle — Cosinus, sinus, tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle ; calcul d'un angle ou d'une longueur.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Proportionnalité — Reconnaître une situation de proportionnalité, coefficient de proportionnalité, passage à l'unité, produit en croix, tableau et représentation graphique.
Triangles et angles — Somme des angles d'un triangle, inégalité triangulaire, triangles particuliers, construction au compas et au rapporteur.
Théorème de Pythagore — Énoncé, réciproque et contraposée ; calcul d'une longueur dans un triangle rectangle ; démontrer qu'un triangle est ou n'est pas rectangle.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Le théorème de Thalès : quand deux triangles se ressemblent », tel qu’il figure sur la fiche.

Les relations à retenir

$(MN) \parallel (BC) \;\Longrightarrow\; \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} = k$
$MN = \frac{AM \times BC}{AB} \qquad AN = \frac{AM \times AC}{AB} \qquad AB = \frac{AM \times AC}{AN}$
$\text{Réciproque : } A,M,B \text{ et } A,N,C \text{ alignés dans le même ordre et } \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \;\Longrightarrow\; (MN) \parallel (BC)$
$\text{Contraposée : } \frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC} \;\Longrightarrow\; (MN) \nparallel (BC)$
$\text{longueurs} \times k \;\Longrightarrow\; \text{aires} \times k^{2} \;\Longrightarrow\; \text{volumes} \times k^{3}$

Tableau : Ce que tu veux faire, Quel outil, Ce qu'il faut avoir
Ce que tu veux faire	Quel outil	Ce qu'il faut avoir
Calculer une longueur	théorème de Thalès	configuration de deux sécantes ci-dessous, parallélisme donné ou démontré
Démontrer que deux droites sont parallèles	réciproque	l'égalité des deux rapports et l'alignement dans le même ordre
Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles	contraposée	configuration de deux sécantes ci-dessous, deux rapports différents
Passer d'une aire à l'autre	coefficient $k^{2}$	le coefficient $k$ des longueurs

Unités. Un rapport de longueurs est sans dimension. Pour calculer avec leurs valeurs numériques seules, utilise la même unité. Si tu gardes les unités dans les opérations, effectue les conversions nécessaires avant de donner le résultat. Une longueur calculée doit porter une unité explicite.

Précision. Respecte la consigne : si elle demande trois chiffres significatifs, écris par exemple $5{,}70$ cm. Cette règle d’écriture n’est pas une obligation universelle pour toute donnée géométrique exacte. N'arrondis qu'à la fin : arrondir le coefficient $k$ en cours de route peut décaler le dernier chiffre du résultat.

Domaine de validité des relations ci-dessus. Les points $B,M$ sont différents de $A$ sur une première sécante, et $C,N$ différents de $A$ sur une seconde sécante distincte : les dénominateurs et les droites sont ainsi définis. Le théorème direct exige le parallélisme ; la contraposée utilise les mêmes alignements pour conclure à son absence. La réciproque exige en plus le même ordre des points. Deux triangles seulement semblables ne garantissent pas cette configuration.

La suite de la fiche (1 autre notion, les pièges à éviter et la version imprimable) est réservée à votre compte.

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