Les expressions littérales : calculer avec une lettre

Un ticket de cinéma coûte $9$ €, plus $4$ € de frais d’envoi pour la commande, quel que soit le nombre de tickets.

Pour $2$ tickets, on paie $9 \times 2 + 4 = 22$ €. Pour $5$ tickets, on paie $9 \times 5 + 4 = 49$ €. Pour $12$ tickets, $9 \times 12 + 4 = 112$ €.

À chaque fois, on refait le même calcul. Seul le nombre de tickets change.

L'idée du calcul littéral. Plutôt que de recommencer, on écrit le calcul une seule fois, en remplaçant le nombre qui change par une lettre. Si $x$ désigne le nombre de tickets, le prix payé s'écrit :

Cette écriture s'appelle une expression littérale : une expression de calcul dans laquelle une ou plusieurs lettres désignent des nombres.

La lettre est un nombre. C'est le point à retenir avant tout le reste. La lettre $x$ n'est pas un objet, ni une abréviation de « tickets ». C'est un nombre, dont on ne dit pas encore la valeur. Toutes les règles de calcul que tu connais s'appliquent donc à elle sans changement.

Le signe $\times$ disparaît devant une lettre. Pour alléger l'écriture, on convient d'omettre le signe de multiplication devant une lettre ou devant une parenthèse :

• $9 \times x$ s'écrit $9x$ ;
• $5 \times (x + 3)$ s'écrit $5(x + 3)$ ;
• $a \times b$ s'écrit $ab$.

Attention : le signe n'a pas disparu du calcul, seulement de l'écriture. $9x$ veut toujours dire « neuf fois $x$ ». Ce n'est jamais « neuf plus $x$ ».

Une lettre écrite seule porte un coefficient $1$. L'expression $x$ signifie $1 \times x$. C'est utile quand on additionne : $4x + x$ vaut $5x$, et non $4x$.

Substituer, c'est remplacer la lettre par un nombre. On peut calculer les expressions sans dénominateur variable de cette leçon pour toute valeur réelle ; le contexte peut cependant limiter les valeurs possibles, comme un nombre entier positif ou nul de tickets. Pour $x = 5$ :

Le mot substituer désigne exactement ce geste : remplacer la lettre par le nombre choisi, partout où elle apparaît, puis effectuer le calcul.

À quoi cela sert. Une expression littérale décrit une situation entière au lieu d'un seul cas. Elle sert à écrire un programme de calcul, une formule de périmètre, un tarif, une consigne de recette — et à obtenir la réponse pour n'importe quelle valeur dans le domaine où le modèle reste valable, sans reconstruire à chaque fois la formule.

Substituer sans se tromper : trois précautions.

1. Remplacer la lettre partout où elle apparaît. Dans $3x + x$, il y a deux $x$, et tous deux prennent la valeur choisie.
2. Rétablir mentalement les signes $\times$ effacés. $3x$ devient $3 \times$ la valeur, jamais $3$ suivi de la valeur : pour $x = 4$, $3x$ vaut $12$, et non $34$.
3. Respecter les priorités opératoires. La multiplication se fait avant l'addition, et ce qui est entre parenthèses se calcule en premier.

Le cas des parenthèses. L'expression $5(x + 3)$ signifie $5 \times (x + 3)$. Pour la calculer avec $x = 4$, on procède dans l'ordre : d'abord la parenthèse, ensuite la multiplication.

Une erreur très répandue consiste à lire $5(x+3)$ comme $5 + x + 3$, ce qui donnerait $12$. La multiplication n'a pas disparu : elle est seulement sous-entendue.

Nota : il existe une autre manière de traiter cette parenthèse, appelée développement, qui consiste à multiplier $5$ par chaque terme. Le parcours présent privilégie le calcul de la parenthèse avant la multiplication ; cette méthode n’exclut pas le développement dans un autre travail.

Réduire une expression. Réduire une somme, c’est regrouper ses termes semblables sans changer sa valeur pour les valeurs autorisées des lettres. On y parvient en regroupant les termes semblables.

Deux termes sont semblables quand ils contiennent exactement la même partie littérale : $3x$ et $7x$ le sont ; $3x$ et $7$ ne le sont pas.

On additionne les coefficients des termes en $x$ entre eux, et les nombres entre eux. Chaque terme emporte avec lui le signe qui le précède : dans l'exemple ci-dessus, le $2$ est retranché, pas ajouté.

On ne peut pas additionner ce qui n'est pas semblable. Écrire $3x + 2 = 5x$ est faux. Voici la preuve, en une ligne : prends $x = 4$. À gauche, $3 \times 4 + 2 = 14$. À droite, $5 \times 4 = 20$. Les deux membres n'ont pas la même valeur, donc l'égalité est fausse.

Cette manière de faire est précieuse. Pour prouver qu'une égalité annoncée « pour tout nombre » est fausse, il suffit d'une seule valeur qui ne marche pas. On appelle cela un contre-exemple.

Attention à la réciproque. Trouver une valeur qui marche prouve l’égalité pour cette valeur, mais ne démontre pas qu’elle vaut pour toutes les valeurs. Avec $x = 1$, $3x + 2$ et $5x$ valent tous deux $5$ : cette égalité particulière ne démontre pas une identité valable pour tout réel. Un contre-exemple suffit pour réfuter ; un seul exemple ne démontre pas ici une identité sur tous les réels.

Choisir sa lettre. On utilise souvent $x$, mais rien ne l'impose. Pour un périmètre, on écrira plutôt $c$ pour un côté, $L$ pour une longueur, $\ell$ pour une largeur. La lettre choisie ne change rien au calcul ; elle rend l'expression plus lisible.

Un exemple de géométrie. Le périmètre d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ s'écrit $L + \ell + L + \ell$, ce qui se réduit en $2L + 2\ell$. Deux écritures, une seule valeur — et la seconde est plus courte à calculer.

Énoncé. Un atelier possède trois lots de $n$ pièces chacun et $6$ pièces isolées. Il reçoit ensuite deux lots de $n$ pièces, puis écarte un lot de $n$ pièces pour contrôle. Écris le nombre de pièces disponibles, réduis l’expression et calcule-le pour $n=5$. Un élève propose $4(n+6)$ : cette formule décrit-elle toujours le même stock ?

Traduire chaque action. Le nombre $n$ est un entier positif ou nul. Les trois lots donnent $3n$ pièces ; les pièces isolées ajoutent $6$, l’arrivée ajoute $2n$, le retrait enlève $n$ :

Réduire les termes semblables. Les coefficients des termes en $n$ donnent $3+2-1=4$. La constante $6$ reste séparée :

On n’a pas cherché une valeur inconnue de $n$ : on a décrit le stock pour chaque taille de lot admise.

Substituer puis vérifier. Pour $n=5$, $E=4\times5+6=26$ pièces. En suivant les mouvements initiaux : $15+6+10-5=26$, ce qui confirme ce cas particulier ; le regroupement algébrique justifie l’expression réduite pour tous les $n$ autorisés.

Tester la proposition. Pour ce même $n=5$, $4(n+6)=4\times11=44$, différent de $26$. Ce contre-exemple réfute la formule proposée comme description valable pour tout $n$. Les $6$ pièces isolées ont été comptées une fois, pas quatre.

Figure (fig.math.literal-expression-machine, SVG programmatique existant) : deux panneaux, l'un montrant la substitution comme une machine, l'autre la réduction comme un tri de paquets.

• Panneau de gauche, la machine. Un rectangle arrondi central portant en grand l'expression $9x + 4$. À gauche, une flèche d'entrée étiquetée « $x$ » avec trois valeurs empilées à son départ : $2$, $5$, $12$. À droite, une flèche de sortie avec les trois résultats correspondants alignés en face : $22$, $49$, $112$. Sous la machine, la ligne de calcul détaillée pour la valeur du milieu : $9 \times 5 + 4 = 45 + 4 = 49$, avec le signe $\times$ écrit en évidence et une légende « le signe $\times$ effacé dans $9x$ est rétabli ici ».
• Sous ce panneau, un encart barré : la même machine alimentée par $5$, avec la lecture fautive « $95 + 4 = 99$ », traversée d'une croix et légendée « $9x$ n'est pas le chiffre $9$ suivi de la valeur ».
• Panneau de droite, les paquets. L'expression $4x + 9 - x + 3x - 5$ écrite en haut, chaque terme dans une petite étiquette portant son signe. Deux zones délimitées en dessous : la zone « termes en $x$ » qui reçoit les étiquettes $+4x$, $-x$, $+3x$, et la zone « nombres » qui reçoit $+9$ et $-5$. Des flèches courbes mènent chaque étiquette vers sa zone. Sous chaque zone, le total : $6x$ d'un côté, $4$ de l'autre. Une accolade finale réunit les deux totaux et porte $6x + 4$.
• Détail du coefficient sous-entendu : l'étiquette $-x$ est doublée d'une petite bulle indiquant « $-1 \times x$ », reliée par un trait fin.
• Encart du contre-exemple, en bas à droite, séparé par un filet : deux colonnes intitulées « $6x + 5$ » et « $11x$ », une ligne pour $x = 3$ avec les valeurs $23$ et $33$, et sous les deux valeurs le symbole $\neq$ en grand, légendé « une seule valeur qui diffère suffit à prouver que l'égalité est fausse ».

Ce qu'il faut lire. À gauche, la machine montre qu'une expression littérale n'est pas un résultat mais une recette : la machine représentée, $9x+4$, fournit ici des sorties différentes pour les trois entrées choisies ; ce n’est pas une propriété de toute expression littérale. À droite, le tri en deux zones montre pourquoi les nombres ne peuvent pas rejoindre les termes en $x$ : ce sont deux paquets qui ne se mélangent pas.

La figure en détail : deux panneaux côte à côte. À gauche, une machine représentée par un rectangle portant l'expression neuf x plus quatre ; trois valeurs d'entrée, deux, cinq et douze, produisent trois valeurs de sortie, vingt-deux, quarante-neuf et cent douze. Le calcul détaillé pour cinq est écrit dessous avec le signe multiplié rétabli. Un encart barré montre la lecture fautive quatre-vingt-quinze plus quatre égale quatre-vingt-dix-neuf. À droite, l'expression quatre x plus neuf moins x plus trois x moins cinq, chaque terme dans une étiquette portant son signe ; des flèches trient les étiquettes en deux zones, celle des termes en x qui totalise six x, et celle des nombres qui totalise quatre ; une accolade réunit les deux totaux en six x plus quatre. Une bulle rappelle que moins x signifie moins un fois x. En bas à droite, un encart compare six x plus cinq et onze x pour x égal trois, valant respectivement vingt-trois et trente-trois, séparés par un symbole différent de.