Les expressions littérales : calculer avec une lettre

Un carnet de tickets de cinéma coûte $9$ € l'unité, plus $4$ € de frais d'envoi, quel que soit le nombre de tickets.

Pour $2$ tickets, on paie $9 \times 2 + 4 = 22$ €. Pour $5$ tickets, on paie $9 \times 5 + 4 = 49$ €. Pour $12$ tickets, $9 \times 12 + 4 = 112$ €.

À chaque fois, on refait le même calcul. Seul le nombre de tickets change.

L'idée du calcul littéral. Plutôt que de recommencer, on écrit le calcul une seule fois, en remplaçant le nombre qui change par une lettre. Si $x$ désigne le nombre de tickets, le prix payé s'écrit :

Cette écriture s'appelle une expression littérale : une expression de calcul dans laquelle une ou plusieurs lettres désignent des nombres.

La lettre est un nombre. C'est le point à retenir avant tout le reste. La lettre $x$ n'est pas un objet, ni une abréviation de « tickets ». C'est un nombre, dont on ne dit pas encore la valeur. Toutes les règles de calcul que tu connais s'appliquent donc à elle sans changement.

Le signe $\times$ disparaît devant une lettre. Pour alléger l'écriture, on convient d'omettre le signe de multiplication devant une lettre ou devant une parenthèse :

• $9 \times x$ s'écrit $9x$ ;
• $5 \times (x + 3)$ s'écrit $5(x + 3)$ ;
• $a \times b$ s'écrit $ab$.

Attention : le signe n'a pas disparu du calcul, seulement de l'écriture. $9x$ veut toujours dire « neuf fois $x$ ». Ce n'est jamais « neuf plus $x$ ».

Une lettre écrite seule porte un coefficient $1$. L'expression $x$ signifie $1 \times x$. C'est utile quand on additionne : $4x + x$ vaut $5x$, et non $4x$.

Substituer, c'est remplacer la lettre par un nombre. Une fois l'expression écrite, on peut la calculer pour n'importe quelle valeur. Pour $x = 5$ :

Le mot substituer désigne exactement ce geste : remplacer la lettre par le nombre choisi, partout où elle apparaît, puis effectuer le calcul.

À quoi cela sert. Une expression littérale décrit une situation entière au lieu d'un seul cas. Elle sert à écrire un programme de calcul, une formule de périmètre, un tarif, une consigne de recette — et à obtenir la réponse pour n'importe quelle valeur sans jamais réécrire le raisonnement.

Substituer sans se tromper : trois précautions.

1. Remplacer la lettre partout où elle apparaît. Dans $3x + x$, il y a deux $x$, et tous deux prennent la valeur choisie.
2. Rétablir mentalement les signes $\times$ effacés. $3x$ devient $3 \times$ la valeur, jamais $3$ suivi de la valeur : pour $x = 4$, $3x$ vaut $12$, et non $34$.
3. Respecter les priorités opératoires. La multiplication se fait avant l'addition, et ce qui est entre parenthèses se calcule en premier.

Le cas des parenthèses. L'expression $5(x + 3)$ signifie $5 \times (x + 3)$. Pour la calculer avec $x = 4$, on procède dans l'ordre : d'abord la parenthèse, ensuite la multiplication.

Une erreur très répandue consiste à lire $5(x+3)$ comme $5 + x + 3$, ce qui donnerait $12$. La multiplication n'a pas disparu : elle est seulement sous-entendue.

Nota : il existe une autre manière de traiter cette parenthèse, appelée développement, qui consiste à multiplier $5$ par chaque terme. Elle s'apprend en 4e. Cette année, on calcule la parenthèse, puis on multiplie.

Réduire une expression. Réduire, c'est réécrire une expression sous la forme la plus courte possible, sans changer sa valeur. On y parvient en regroupant les termes semblables.

Deux termes sont semblables quand ils contiennent exactement la même partie littérale : $3x$ et $7x$ le sont ; $3x$ et $7$ ne le sont pas.

On additionne les coefficients des termes en $x$ entre eux, et les nombres entre eux. Chaque terme emporte avec lui le signe qui le précède : dans l'exemple ci-dessus, le $2$ est retranché, pas ajouté.

On ne peut pas additionner ce qui n'est pas semblable. Écrire $3x + 2 = 5x$ est faux. Voici la preuve, en une ligne : prends $x = 4$. À gauche, $3 \times 4 + 2 = 14$. À droite, $5 \times 4 = 20$. Les deux membres n'ont pas la même valeur, donc l'égalité est fausse.

Cette manière de faire est précieuse. Pour prouver qu'une égalité annoncée « pour tout nombre » est fausse, il suffit d'une seule valeur qui ne marche pas. On appelle cela un contre-exemple.

Attention à la réciproque. Trouver une valeur qui marche ne prouve rien. Avec $x = 1$, $3x + 2$ et $5x$ valent tous deux $5$ : le hasard d'une coïncidence ne rend pas l'égalité vraie pour autant. Un contre-exemple suffit pour réfuter ; un exemple ne suffit jamais pour démontrer.

Choisir sa lettre. On utilise souvent $x$, mais rien ne l'impose. Pour un périmètre, on écrira plutôt $c$ pour un côté, $L$ pour une longueur, $\ell$ pour une largeur. La lettre choisie ne change rien au calcul ; elle rend l'expression plus lisible.

Un exemple de géométrie. Le périmètre d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ s'écrit $L + \ell + L + \ell$, ce qui se réduit en $2L + 2\ell$. Deux écritures, une seule valeur — et la seconde est plus courte à calculer.

Énoncé.

1. Calculer la valeur de $E = 7x + 6$ pour $x = 8$.

2. Réduire l'expression $F = 4x + 9 - x + 3x - 5$.

3. Un élève affirme que, pour tout nombre $x$, $6x + 5 = 11x$. A-t-il raison ?

Question 1.

1. Repérer l'écriture abrégée. $7x$ signifie $7 \times x$. Le signe de multiplication est sous-entendu.

2. Remplacer la lettre par sa valeur.

3. Respecter les priorités. La multiplication d'abord :

Donc $E = 62$.

4. Contrôler. Si l'on avait lu $7x$ comme « $7$ à côté de $8$ », on aurait écrit $78$, puis $84$. L'écart est énorme : c'est le signe qu'on a oublié la multiplication.

Question 2.

1. Repérer les termes et leurs signes. L'expression contient cinq termes : $+4x$, $+9$, $-x$, $+3x$, $-5$. Chaque signe appartient au terme qui le suit.

2. Repérer le coefficient sous-entendu. Le terme $-x$ signifie $-1 \times x$ : son coefficient est $-1$, et non $0$.

3. Regrouper les termes en $x$.

4. Regrouper les nombres.

5. Écrire l'expression réduite.

6. Contrôler avec une valeur au hasard. Prends $x = 2$. L'expression de départ vaut $4 \times 2 + 9 - 2 + 3 \times 2 - 5 = 8 + 9 - 2 + 6 - 5 = 16$. L'expression réduite vaut $6 \times 2 + 4 = 16$. Les deux coïncident : la réduction est plausible.

Question 3.

1. Comprendre l'affirmation. L'élève annonce une égalité valable pour tout nombre $x$. Pour la réfuter, une seule valeur qui ne convient pas suffit.

2. Choisir une valeur simple. Prenons $x = 3$.

3. Calculer le membre de gauche.

4. Calculer le membre de droite.

5. Comparer et conclure. $23 \neq 33$ : l'élève a tort. On ne peut pas additionner $6x$ et $5$, qui ne sont pas des termes semblables.

6. Nommer l'erreur. L'élève a ajouté $6$ et $5$ comme s'il s'agissait de deux nombres. Or $6x$ est un produit, pas un nombre seul : il ne se laisse pas additionner avec $5$.

Figure (fig.math.literal-expression-machine, SVG programmatique à produire) : deux panneaux, l'un montrant la substitution comme une machine, l'autre la réduction comme un tri de paquets.

• Panneau de gauche, la machine. Un rectangle arrondi central portant en grand l'expression $9x + 4$. À gauche, une flèche d'entrée étiquetée « $x$ » avec trois valeurs empilées à son départ : $2$, $5$, $12$. À droite, une flèche de sortie avec les trois résultats correspondants alignés en face : $22$, $49$, $112$. Sous la machine, la ligne de calcul détaillée pour la valeur du milieu : $9 \times 5 + 4 = 45 + 4 = 49$, avec le signe $\times$ écrit en évidence et une légende « le signe $\times$ effacé dans $9x$ est rétabli ici ».
• Sous ce panneau, un encart barré : la même machine alimentée par $5$, avec la lecture fautive « $95 + 4 = 99$ », traversée d'une croix et légendée « $9x$ n'est pas le chiffre $9$ suivi de la valeur ».
• Panneau de droite, les paquets. L'expression $4x + 9 - x + 3x - 5$ écrite en haut, chaque terme dans une petite étiquette portant son signe. Deux zones délimitées en dessous : la zone « termes en $x$ » qui reçoit les étiquettes $+4x$, $-x$, $+3x$, et la zone « nombres » qui reçoit $+9$ et $-5$. Des flèches courbes mènent chaque étiquette vers sa zone. Sous chaque zone, le total : $6x$ d'un côté, $4$ de l'autre. Une accolade finale réunit les deux totaux et porte $6x + 4$.
• Détail du coefficient sous-entendu : l'étiquette $-x$ est doublée d'une petite bulle indiquant « $-1 \times x$ », reliée par un trait fin.
• Encart du contre-exemple, en bas à droite, séparé par un filet : deux colonnes intitulées « $6x + 5$ » et « $11x$ », une ligne pour $x = 3$ avec les valeurs $23$ et $33$, et sous les deux valeurs le symbole $\neq$ en grand, légendé « une seule valeur qui diffère suffit à prouver que l'égalité est fausse ».

Ce qu'il faut lire. À gauche, la machine montre qu'une expression littérale n'est pas un résultat mais une recette : elle fabrique une valeur différente pour chaque nombre qu'on lui donne. À droite, le tri en deux zones montre pourquoi les nombres ne peuvent pas rejoindre les termes en $x$ : ce sont deux paquets qui ne se mélangent pas.

La figure en détail : deux panneaux côte à côte. À gauche, une machine représentée par un rectangle portant l'expression neuf x plus quatre ; trois valeurs d'entrée, deux, cinq et douze, produisent trois valeurs de sortie, vingt-deux, quarante-neuf et cent douze. Le calcul détaillé pour cinq est écrit dessous avec le signe multiplié rétabli. Un encart barré montre la lecture fautive quatre-vingt-quinze plus quatre égale quatre-vingt-dix-neuf. À droite, l'expression quatre x plus neuf moins x plus trois x moins cinq, chaque terme dans une étiquette portant son signe ; des flèches trient les étiquettes en deux zones, celle des termes en x qui totalise six x, et celle des nombres qui totalise quatre ; une accolade réunit les deux totaux en six x plus quatre. Une bulle rappelle que moins x signifie moins un fois x. En bas à droite, un encart compare six x plus cinq et onze x pour x égal trois, valant respectivement vingt-trois et trente-trois, séparés par un symbole différent de.

Le signe $\times$ ne s'efface que devant une lettre ou une parenthèse. Entre deux nombres, il reste obligatoire : $7 \times 8$ ne peut pas s'écrire $78$.

Ordre des opérations dans une expression littérale. Parenthèses d'abord, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions. La substitution ne change pas cet ordre : elle ne fait que remplacer la lettre par un nombre.

Termes semblables. Deux termes sont semblables quand ils ont la même partie littérale. Seuls des termes semblables se regroupent. $3x$ et $7x$ se regroupent en $10x$ ; $3x$ et $7$ restent côte à côte.

Domaine de validité. Une expression littérale se calcule pour n'importe quelle valeur de la lettre, sauf si une division par cette lettre y figure — auquel cas la valeur $0$ est exclue. Les expressions de cette leçon ne contiennent aucune division par la lettre.

Ce qui n'est pas au programme cette année. Le développement d'un produit du type $a(x+b)$, les puissances d'une lettre comme $x^2$, et la résolution d'équations relèvent de la 4e. Ici, on écrit, on substitue et on réduit : on ne cherche jamais la valeur de $x$.

1. Écrire $3x + 2 = 5x$. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre : additionner un terme en $x$ et un nombre. Le contre-exemple règle la question. Pour $x = 4$, le membre de gauche vaut $14$ et le membre de droite $20$. Un terme en $x$ et un nombre ne sont pas semblables et ne se regroupent jamais.
2. Lire $9x$ comme « $9$ à côté de $x$ ». Pour $x = 5$, cette lecture donnerait $95$ au lieu de $45$. Le coefficient collé à la lettre cache une multiplication, jamais une juxtaposition de chiffres ni une addition.
3. Oublier la multiplication devant une parenthèse. $5(x + 3)$ n'est pas $5 + x + 3$. Pour $x = 4$, la vraie valeur est $35$, tandis que la lecture fautive donnerait $12$. Rétablis le signe $\times$ tant que l'écriture abrégée te gêne.
4. Oublier le coefficient $1$ d'une lettre seule. Dans $4x + x$, le second terme vaut $1x$. La somme fait $5x$, et non $4x$. De même, $-x$ vaut $-1x$.
5. Détacher un terme de son signe. Dans $9 - 5x + 2$, le terme est $-5x$, avec son signe. Le regrouper comme $+5x$ change le résultat du tout au tout.
6. Croire qu'un exemple qui marche démontre une égalité. Pour $x = 1$, $3x + 2$ et $5x$ valent tous deux $5$. Cela ne rend pas l'égalité vraie pour les autres valeurs. Un contre-exemple réfute ; un exemple ne démontre pas.
7. Substituer une seule des occurrences de la lettre. Dans $3x + x$, il y a deux $x$ : les deux prennent la même valeur, en même temps.
8. Confondre réduire et résoudre. Réduire, c'est réécrire l'expression plus court : $6x + 4$ reste une expression. Résoudre, ce serait chercher la valeur de $x$ — ce n'est pas ce qu'on demande cette année.

À quoi t'attendre. L'exercice tire au sort l'une de cinq formes : $ax + b$, $ax - b$, $ax + x$ (le coefficient $1$ sous-entendu), $a(x + b)$ (la multiplication sous-entendue devant la parenthèse), ou une égalité annoncée par un élève qu'il faut mettre à l'épreuve. La valeur substituée est toujours un entier positif, car substituer un nombre négatif exigerait de multiplier des relatifs, ce qui s'apprend en 4e. La réponse est un nombre exact, sans unité. Un exercice voisin fait réduire une somme de termes semblables et attend une expression, non un nombre.

Énoncé type. On considère l'expression $E = 5(x + 3)$. Calculer la valeur de $E$ pour $x = 4$.

Corrigé complet.

1. Lire l'écriture abrégée. $5(x + 3)$ signifie $5 \times (x + 3)$. La multiplication est sous-entendue : elle n'a pas disparu du calcul.

2. Remplacer la lettre par sa valeur.

3. Calculer d'abord la parenthèse. C'est la priorité la plus haute :

4. Multiplier ensuite.

Donc $E = 35$.

5. Contrôler par un autre chemin. Pour $x = 4$, l'expression compte $5$ paquets de $7$. On peut les compter deux par deux : $7 + 7 = 14$, puis $14 + 14 = 28$, puis $28 + 7 = 35$. Même résultat.

6. Voir l'erreur qu'on a évitée. Lire $5(x+3)$ comme $5 + x + 3$ donnerait $5 + 4 + 3 = 12$. L'écart avec $35$ est considérable : c'est le signe qu'une multiplication a été lue comme une addition.

Auto-contrôle : avant de calculer, réécris toujours l'expression en rétablissant les signes $\times$ effacés. Puis pose-toi une question d'ordre de grandeur : ici, l'expression multiplie par $5$ un nombre voisin de $7$, donc le résultat doit avoisiner $35$. Une réponse à un chiffre, ou à trois chiffres, signalerait immédiatement une lecture fautive de l'écriture abrégée.