Mathématiques · Prépa 2e année · 1 exercice vérifié
S’entraîner : Espaces euclidiens, orthogonalité et projection orthogonale
Chapitre : Espaces euclidiens
Ce que vous travaillez
Produit scalaire sur un espace vectoriel réel, norme associée, inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité, familles orthogonales et orthonormées, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, supplémentaire orthogonal d'un sous-espace, projection orthogonale et son expression dans une base orthonormée, distance d'un vecteur à un sous-espace, matrices orthogonales et groupe orthogonal.
À maîtriser avant de commencer
Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.
- Produit scalaire — Définitions (norme-angle, coordonnées, projection), propriétés, orthogonalité, formule d'Al-Kashi.
- Matrices et systèmes linéaires — Opérations sur les matrices, produit, inverse d'une matrice 2 × 2, écriture matricielle d'un système, puissances de matrices.
- Espaces vectoriels et sous-espaces de dimension finie — Espace vectoriel sur ℝ ou ℂ, sous-espace vectoriel, sous-espace engendré, somme et somme directe, familles libres, génératrices et bases, dimension, rang d'une famille de vecteurs, dimension d'une somme (formule de Grassmann), supplémentaires.
- Applications linéaires et théorème du rang — Application linéaire, noyau et image, caractérisation de l'injectivité par le noyau, rang, théorème du rang, isomorphismes, matrice d'une application linéaire dans des bases données, matrice de passage et changement de base.
Comment se déroule la séance
Cette séance s’appuie sur 1 exercice vérifié. Chacun produit un nouvel énoncé à chaque ouverture, avec une solution calculée.
Formats de réponse : Réponse numérique (1). Difficulté 4 sur 5. Environ 5 minutes pour un premier passage.
Dans votre compte : aide graduée (indice, rappel de cours, aide au démarrage), corrigé pas à pas après chaque tentative, suivi de vos progrès.
Essayez un exercice, sans compte
Un exercice réel de cette séance, le même pour chaque visiteur. Répondez, puis vérifiez : la correction est calculée, et le corrigé s’affiche après votre tentative.
Difficulté 4 sur 5 · ≈ 5 minutes
Énoncé
Dans l’espace euclidien usuel, projetez sur la droite de vecteur directeur . Quelle est la première coordonnée de la projection ?
Donnez la valeur numérique demandée, avec au moins six chiffres significatifs si nécessaire.
Votre réponse
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