La loi binomiale : compter les succès

Tu sais déjà ce qu'est une variable aléatoire : un nombre attaché au résultat d'une expérience, avec une loi donnée par un tableau. Jusqu'ici, ce tableau tombait de l'énoncé. La loi binomiale est le premier cas où l'on calcule la loi, parce que l'expérience a une structure reconnaissable.

L'épreuve de Bernoulli. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues, que l'on nomme conventionnellement succès et échec. La probabilité du succès est notée $p$, celle de l'échec $1 - p$. Lancer une pièce, tirer un jeton dans une urne qui n'a que deux couleurs, vérifier si une pièce mécanique est conforme : autant d'épreuves de Bernoulli. Le mot « succès » n'a rien de valorisant — c'est simplement l'issue que l'on a décidé de compter.

Le schéma de Bernoulli. Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Quatre conditions, et elles se vérifient une à une :

1. le nombre $n$ de répétitions est fixé à l'avance — on ne s'arrête pas quand le résultat plaît ;
2. chaque répétition est une épreuve à deux issues ;
3. la probabilité de succès $p$ est la même à chaque répétition ;
4. les répétitions sont indépendantes — ce qui s'est produit ne change pas ce qui va se produire.

La loi binomiale. Dans un schéma de Bernoulli, on note $X$ le nombre de succès obtenus sur les $n$ répétitions. Cette variable aléatoire prend ses valeurs dans $\{0 ; 1 ; \ldots ; n\}$, et sa loi porte un nom :

$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$.

Deux paramètres, et deux seulement : le nombre de répétitions et la probabilité de succès d'une répétition. Tout le reste s'en déduit.

Où la modélisation se joue. L'erreur la plus coûteuse de ce chapitre n'est pas un calcul : c'est d'appliquer la formule à une situation qui n'est pas un schéma de Bernoulli. Un tirage sans remise change la composition de l'urne, donc $p$ change et les tirages ne sont plus indépendants. Un protocole qui s'arrête « au premier succès » n'a pas de $n$ fixé. Une variable qui additionne des numéros ne compte pas des succès. Avant d'écrire quoi que ce soit, on passe les quatre conditions en revue.

D'où vient la formule. Représente les $n$ répétitions par un arbre : à chaque niveau, deux branches, l'une de probabilité $p$ (succès), l'autre de probabilité $1 - p$. Un chemin de la racine aux feuilles est une suite précise de succès et d'échecs.

Un chemin qui contient exactement $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité, par indépendance,

et cette valeur ne dépend pas de l'ordre dans lequel les succès sont placés. Il reste donc à compter combien de chemins contiennent exactement $k$ succès : c'est le nombre de façons de choisir les $k$ rangs des succès parmi les $n$ rangs disponibles, noté $\binom{n}{k}$ et appelé coefficient binomial. D'où la formule, qui est une addition de chemins tous équiprobables entre eux :

Trois facteurs, trois rôles distincts : $p^{k}$ pour les succès d'un chemin, $(1 - p)^{n - k}$ pour ses échecs, $\binom{n}{k}$ pour le nombre de chemins. Oublier le coefficient revient à ne compter qu'un seul chemin sur des dizaines.

Les coefficients binomiaux. $\binom{n}{k}$ se lit « $k$ parmi $n$ ». On retient $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ (un seul chemin sans aucun succès, un seul avec que des succès), $\binom{n}{1} = n$, et la symétrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ — choisir les rangs des succès ou ceux des échecs revient au même. La relation de Pascal

permet de les construire de proche en proche, ligne après ligne, sans aucune division : c'est le triangle de Pascal. La calculatrice les donne aussi directement.

Probabilités cumulées. Les événements $\{X = 0\}, \{X = 1\}, \ldots$ sont deux à deux incompatibles, donc leurs probabilités s'ajoutent :

Attention au symbole : $P(X \le k)$ contient la valeur $k$, $P(X < k)$ ne la contient pas, et l'écart entre les deux vaut exactement $P(X = k)$. De même, $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k - 1)$ : on passe par l'événement contraire, jamais par une soustraction improvisée. Le cas le plus fréquent est « au moins un succès » :

un seul terme à calculer au lieu de $n$.

Espérance et variance. Elles ont une expression remarquablement simple :

L'espérance se comprend sans calcul : chaque répétition apporte en moyenne $p$ succès, et il y en a $n$. La variance, elle, fait intervenir les deux issues, et elle est maximale quand $p = 0{,}5$ — c'est là que le résultat est le moins prévisible ; elle s'annule quand $p$ vaut $0$ ou $1$, c'est-à-dire quand il n'y a plus de hasard du tout.

Ce que l'espérance n'est pas. $E(X)$ est une moyenne sur un très grand nombre de répétitions de l'expérience entière, pas une valeur que $X$ doit prendre : pour $\mathcal{B}(9\,;\,0{,}5)$, l'espérance vaut $4{,}5$, et $X$ ne prend jamais cette valeur.

Énoncé. Un basketteur tente $10$ lancers francs, dans des conditions identiques et indépendantes les unes des autres. On admet que la probabilité de marquer à chaque tentative vaut $p = 0{,}4$. On note $X$ le nombre de paniers marqués.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et en donner les paramètres.
2. Calculer $P(X = 4)$, arrondie au millième.
3. Calculer la probabilité qu'il marque au moins un panier, arrondie au millième.
4. Calculer $P(X \le 3)$, puis en déduire $P(X \ge 4)$, arrondies au millième.
5. Donner l'espérance et l'écart-type de $X$.

---

1. Le modèle. On vérifie les quatre conditions. Le nombre de tentatives est fixé à l'avance ($10$) ; chaque tentative a deux issues, « marqué » ou « manqué » ; la probabilité de marquer est la même à chaque fois ($0{,}4$, l'énoncé le pose) ; les tentatives sont indépendantes, l'énoncé le dit également. Et $X$ compte les succès. Donc

2. Une probabilité ponctuelle. On applique la formule avec $k = 4$ :

Le coefficient vaut $\binom{10}{4} = 210$ : il existe $210$ façons de placer les quatre paniers réussis dans la suite des dix tentatives. Puis $0{,}4^{4} = 0{,}0256$ et $0{,}6^{6} = 0{,}046656$, d'où

Sans le coefficient, on aurait trouvé $0{,}0011943936$, soit $210$ fois moins : c'est l'ordre de grandeur qui trahit l'oubli.

3. « Au moins un ». L'événement contraire de $\{X \ge 1\}$ est $\{X = 0\}$, qui ne demande qu'un terme :

Le tireur a donc plus de $99$ chances sur $100$ de marquer au moins une fois : c'est cohérent, dix tentatives à $40\ \%$ chacune.

4. Une cumulée, et son complémentaire. L'événement $X \le 3$ réunit les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$ — la borne $3$ comprise :

Les quatre termes valent respectivement, arrondis au millième, $0{,}006$, $0{,}040$, $0{,}121$ et $0{,}215$, et la somme exacte donne

On en déduit, sans nouvelle somme,

Note le passage : « au moins $4$ » est le contraire de « au plus $3$ », pas de « au plus $4$ ». C'est là que se perdent la plupart des points.

5. Espérance et écart-type.

Le nombre moyen de paniers par série de dix est donc $4$, avec une dispersion d'environ $1{,}5$ panier — et l'on retrouve bien que $P(X = 4) \approx 0{,}251$ est la plus grande des onze probabilités de la loi.

Contrôle. Additionne les onze probabilités $P(X = k)$ : tu dois trouver $1$. Et vérifie que chaque probabilité est comprise entre $0$ et $1$ : une « probabilité » de $1{,}3$ ou de $-0{,}2$ signale une formule mal recopiée, souvent un exposant échangé entre $p$ et $1 - p$.

Figure (fig.math.binomial-tree-and-bars, SVG programmatique à produire) : deux panneaux, l'origine de la formule à gauche, la loi complète à droite.

• Panneau gauche — l'arbre à trois répétitions. Un arbre binaire de profondeur $3$ pour $\mathcal{B}(3\,;\,0{,}4)$. Chaque nœud porte deux branches, l'une étiquetée $S$ avec la probabilité $0{,}4$, l'autre $E$ avec $0{,}6$. Les huit chemins sont dessinés jusqu'aux feuilles. Les trois chemins qui contiennent exactement deux succès ($SSE$, $SES$, $ESS$) sont tracés en trait épais, les cinq autres en trait fin. Sous les feuilles, une accolade regroupe ces trois chemins avec la mention « trois chemins, même probabilité $0{,}4^{2} \times 0{,}6 = 0{,}096$ », et un cartouche conclut : « $P(X = 2) = 3 \times 0{,}096 = 0{,}288$, et $3 = \binom{3}{2}$ ».
• Panneau droit — le diagramme en bâtons de $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}4)$. Axe horizontal : les valeurs $k$ de $0$ à $10$, graduées une à une. Axe vertical : $P(X = k)$, de $0$ à $0{,}30$, à partir de zéro. Onze bâtons verticaux dont les hauteurs sont les probabilités calculées dans l'exemple, le plus haut en $k = 4$. Les bâtons $k = 0$ à $k = 3$ sont hachurés différemment des autres, avec la légende « $P(X \le 3) \approx 0{,}382$ » ; les bâtons $k = 4$ à $k = 10$ portent la légende « $P(X \ge 4) \approx 0{,}618$ ». Un repère vertical en pointillé est placé à l'abscisse $4$ avec l'étiquette « $E(X) = np = 4$ », et une double flèche horizontale de longueur $\sigma \approx 1{,}55$ part de ce repère, étiquetée « écart-type ».
• Bandeau du bas : trois vignettes de $10$ bâtons chacune, pour $p = 0{,}2$, $p = 0{,}5$ et $p = 0{,}8$, à la même échelle, légendées « le pic se déplace en $np$ ; la dispersion est maximale à $p = 0{,}5$ ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau gauche explique le coefficient binomial : il compte des chemins, et rien d'autre. Le panneau droit montre que la loi n'est pas une formule isolée mais une famille de onze nombres dont la somme vaut $1$ ; les deux hachures rendent visible que « au plus $3$ » et « au moins $4$ » sont complémentaires, sans recouvrement ni trou. Le bandeau montre le rôle des deux paramètres : $p$ déplace le pic, $n$ et $p$ ensemble fixent la largeur.

La figure en détail : la figure comprend deux parties. À gauche, un arbre à trois niveaux représente trois répétitions d'une épreuve à deux issues, succès de probabilité zéro virgule quatre et échec de probabilité zéro virgule six ; les huit trajets possibles y sont tracés, et les trois trajets comportant exactement deux succès sont mis en évidence par un trait épais, ce qui montre que le coefficient binomial compte des trajets. À droite, un diagramme en bâtons donne, pour une loi binomiale de paramètres dix et zéro virgule quatre, la probabilité de chaque nombre de succès entre zéro et dix ; le bâton le plus haut correspond à quatre succès, les bâtons de zéro à trois sont regroupés sous la mention probabilité d'au plus trois succès, les bâtons de quatre à dix sous la mention probabilité d'au moins quatre succès, et un repère vertical marque l'espérance, égale à quatre, avec une flèche indiquant l'écart-type, voisin de un et demi. En bas, trois petits diagrammes comparent trois valeurs de la probabilité de succès et montrent que le sommet se déplace avec elle.

La calculatrice. Deux fonctions suffisent et portent des noms voisins d'une machine à l'autre : la densité donne $P(X = k)$ à partir de $n$, $p$ et $k$ ; la répartition donne $P(X \le k)$ à partir des mêmes données. Tout le reste s'en déduit par passage au complémentaire. Vérifie une fois pour toutes, sur un cas que tu sais calculer à la main, laquelle des deux fonctions ta machine appelle laquelle.

Les unités. Il n'y en a pas : $k$, $n$ et les coefficients binomiaux sont des entiers, $p$ et les probabilités sont des nombres sans dimension compris entre $0$ et $1$, l'espérance et l'écart-type s'expriment en « nombre de succès ».

Ce qui n'est pas ici. L'inégalité de concentration, la loi des grands nombres et les intervalles de fluctuation viennent après, dans le même chapitre du programme ; l'approximation d'une binomiale par une loi normale relève du supérieur. Aucune n'est nécessaire pour calculer $P(X = k)$.

1. Appliquer la loi binomiale à des tirages sans remise. L'urne change à chaque tirage : la probabilité de succès n'est plus la même et les tirages ne sont plus indépendants. Deux des quatre conditions tombent à la fois. Repère le mot « remise » — ou son absence — avant toute chose.
2. Oublier le coefficient binomial. $p^{k}(1-p)^{n-k}$ est la probabilité d'un chemin, pas de l'événement $\{X = k\}$. Le résultat est alors des dizaines ou des centaines de fois trop petit : un ordre de grandeur absurde est le signal.
3. Confondre $P(X \le k)$ et $P(X < k)$. Le symbole $\le$ inclut la borne. Écris explicitement les valeurs réunies par l'événement — $0$, $1$, …, $k$ — avant de sommer, et rappelle-toi que la différence entre les deux vaut exactement $P(X = k)$.
4. Prendre le mauvais complémentaire. Le contraire de « au moins $4$ » est « au plus $3$ », pas « au plus $4$ ». Sur une variable à valeurs entières, passer de $\ge k$ à $\le k$ oublie toujours une valeur.
5. Échanger les exposants de $p$ et de $1 - p$. L'exposant de $p$ est le nombre de succès, celui de $1 - p$ le nombre d'échecs, et leur somme vaut $n$. Contrôle : si les deux exposants ne totalisent pas $n$, la formule est fausse.
6. Croire que $X$ prend la valeur $E(X)$. Pour $\mathcal{B}(9\,;\,0{,}5)$, l'espérance vaut $4{,}5$ : aucune réalisation ne vaut $4{,}5$. L'espérance est une moyenne sur un très grand nombre de séries, pas un résultat attendu d'une série.
7. Confondre variance et écart-type. $V(X) = np(1-p)$ ; l'écart-type est sa racine carrée. Répondre $2{,}4$ à une question sur la dispersion « en nombre de paniers » confond une grandeur au carré avec la grandeur elle-même.
8. Croire qu'un protocole « jusqu'au premier succès » est binomial. Le nombre de répétitions y est aléatoire, donc la première condition tombe. La variable qui compte les tirages n'est pas une variable binomiale, et aucune formule de ce chapitre ne s'y applique.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon décrit un schéma de Bernoulli en toutes lettres — lancers francs, questionnaire répondu au hasard, pièces prélevées en production, graines semées, jetons tirés avec remise, colis livrés — pose $n$ et $p$, et demande selon le tirage l'espérance, la variance, une probabilité ponctuelle $P(X = k)$, une cumulée $P(X \le k)$, ou la probabilité d'au moins un succès. Les deux premières sont exactes ; les trois autres se donnent arrondies au millième. Un modèle voisin, à choix multiples, ne demande aucun calcul : il présente quatre expériences et demande laquelle relève réellement de la loi binomiale.

Énoncé type. Un jardinier sème $12$ graines, dont les germinations sont indépendantes les unes des autres. À chaque semis, on admet que la probabilité que la graine germe vaut $p = 0{,}75$. On note $X$ le nombre de graines germées. Calculer $P(X = 8)$, arrondie au millième.

Corrigé complet.

1. Reconnaître le modèle. Le nombre de semis est fixé ($12$), chaque semis a deux issues (la graine germe ou non), la probabilité de germination est la même à chaque fois ($0{,}75$), les semis sont indépendants, et $X$ compte les succès. Donc $X \sim \mathcal{B}(12\,;\,0{,}75)$.

2. Écrire la formule avant de calculer.

Les exposants totalisent bien $8 + 4 = 12 = n$.

3. Le coefficient. $\binom{12}{8} = \binom{12}{4} = 495$ : il existe $495$ façons de placer les huit germinations dans la suite des douze semis. On utilise la symétrie pour calculer le plus petit des deux coefficients.

4. Conclure. $0{,}75^{8} = 0{,}100112915\ldots$ et $0{,}25^{4} = 0{,}00390625$, donc

Réponse : $P(X = 8) \approx 0{,}194$.

Auto-contrôle. Mes deux exposants totalisent-ils bien $n$ ? Ai-je écrit le coefficient binomial, et mon résultat reste-t-il entre $0$ et $1$ ? Enfin, $k = 8$ est-il proche de $E(X) = 12 \times 0{,}75 = 9$ ? Il l'est, donc une probabilité de l'ordre de $0{,}2$ est plausible — une valeur de l'ordre de $0{,}0004$ aurait signalé un coefficient oublié.