La loi binomiale : compter les succès

Vous savez déjà ce qu’est une variable aléatoire : un nombre attaché au résultat d'une expérience, avec une loi donnée par un tableau. Une loi peut déjà se construire en regroupant les issues d’un univers. La loi binomiale fournit ici un modèle général de comptage fondé sur une structure précise.

L'épreuve de Bernoulli. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire dont les résultats sont regroupés en deux issues, que l'on nomme conventionnellement succès et échec. La probabilité du succès est notée $p$, celle de l'échec $1 - p$. Lancer une pièce, tirer un jeton dans une urne qui n'a que deux couleurs, vérifier si une pièce mécanique est conforme : autant d'épreuves de Bernoulli. Le mot « succès » n'a rien de valorisant — c'est simplement l'issue que l'on a décidé de compter.

Le schéma de Bernoulli. Dans ce parcours, $n$ est un entier strictement positif et $0\leqslant p\leqslant1$. Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Quatre conditions, et elles se vérifient une à une :

1. le nombre $n$ de répétitions est fixé à l'avance — on ne s'arrête pas quand le résultat plaît ;
2. chaque répétition est une épreuve à deux issues ;
3. la probabilité de succès $p$ est la même à chaque répétition ;
4. les répétitions sont mutuellement indépendantes : la probabilité de chaque suite d’issues est le produit de leurs probabilités. Pour un passé de probabilité positive, le connaître ne change pas la probabilité du succès suivant.

La loi binomiale. Dans un schéma de Bernoulli, on note $X$ le nombre de succès obtenus sur les $n$ répétitions. Cette variable aléatoire prend ses valeurs dans $\{0 ; 1 ; \ldots ; n\}$, et sa loi porte un nom :

$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$.

Deux paramètres, et deux seulement : le nombre de répétitions et la probabilité de succès d'une répétition. Tout le reste s'en déduit.

Où la modélisation se joue. L'erreur la plus coûteuse de ce chapitre n'est pas un calcul : c'est d'appliquer la formule à une situation qui n'est pas un schéma de Bernoulli. Dans une urne finie contenant les deux couleurs, des tirages uniformes sans remise, au moins deux, sont dépendants : les probabilités conditionnelles des tirages suivants dépendent des couleurs déjà sorties. La probabilité marginale d’une couleur à chaque rang reste pourtant la proportion initiale ; la confondre avec une conditionnelle masque cette dépendance. Un protocole qui s'arrête « au premier succès » n'a pas de $n$ fixé. Une variable qui additionne des numéros ne compte pas des succès. Avant d'écrire quoi que ce soit, on passe les quatre conditions en revue.

D'où vient la formule. Représentez les $n$ répétitions par un arbre : à chaque niveau, deux branches, l'une de probabilité $p$ (succès), l'autre de probabilité $1 - p$. Un chemin de la racine aux feuilles est une suite précise de succès et d'échecs.

Un chemin qui contient exactement $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité, par indépendance,

pour $0<p<1$, et cette valeur ne dépend pas de l’ordre dans lequel les succès sont placés. Il reste donc à compter combien de chemins contiennent exactement $k$ succès : c'est le nombre de façons de choisir les $k$ rangs des succès parmi les $n$ rangs disponibles, appelé coefficient binomial et lu « $k$ parmi $n$ » ; il s'écrit par un quotient de factorielles, $\dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$. D'où la formule, qui est une addition de chemins tous équiprobables entre eux :

Trois facteurs, trois rôles distincts : $p^{k}$ pour les succès d'un chemin, $(1 - p)^{n - k}$ pour ses échecs, le coefficient « $k$ parmi $n$ » pour le nombre de chemins. Oublier le coefficient revient à ne compter qu’un chemin au lieu du nombre exact de chemins ; ce nombre peut aussi valoir 1 aux extrémités $k=0$ et $k=n$.

Pour $p=0$, $X=0$ avec probabilité 1 ; pour $p=1$, $X=n$ avec probabilité 1. On traite ces cas directement, sans calculer une puissance $0^0$.

Les coefficients binomiaux. Le coefficient « $k$ parmi $n$ » vaut $\dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$. On retient que « $0$ parmi $n$ » et « $n$ parmi $n$ » valent $1$ (un seul chemin sans aucun succès, un seul avec que des succès), que « $1$ parmi $n$ » vaut $n$, et la symétrie : « $k$ parmi $n$ » et « $n - k$ parmi $n$ » sont égaux — choisir les rangs des succès ou ceux des échecs revient au même. La relation de Pascal — « $k$ parmi $n$ » est la somme de « $k - 1$ parmi $n - 1$ » et de « $k$ parmi $n - 1$ » — permet de les construire de proche en proche, ligne après ligne, sans aucune division : c'est le triangle de Pascal. La calculatrice les donne aussi directement.

Probabilités cumulées. Pour un seuil entier $k$, les événements $\{X = 0\}, \{X = 1\}, \ldots$ sont deux à deux incompatibles, donc leurs probabilités s'ajoutent :

Attention au symbole : $P(X \le k)$ contient la valeur $k$, $P(X < k)$ ne la contient pas, et l'écart entre les deux vaut exactement $P(X = k)$. De même, $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k - 1)$ : on passe par l'événement contraire, jamais par une soustraction improvisée. Le cas le plus fréquent est « au moins un succès » :

un seul terme à calculer au lieu de $n$.

Espérance et variance. Elles ont une expression remarquablement simple :

L'espérance se comprend sans calcul : chaque répétition apporte en moyenne $p$ succès, et il y en a $n$. La variance, elle, fait intervenir les deux issues, et à $n$ fixé, elle est maximale quand $p=0{,}5$ — c'est là que le résultat est le moins prévisible ; elle s'annule quand $p$ vaut $0$ ou $1$, c'est-à-dire quand le nombre de succès est déterministe, même si l’expérience peut comporter d’autres détails aléatoires.

Ce que l'espérance n'est pas. $E(X)$ est une moyenne sur un très grand nombre de répétitions de l'expérience entière, pas une valeur que $X$ doit prendre : pour $\mathcal{B}(9\,;\,0{,}5)$, l'espérance vaut $4{,}5$, et $X$ ne prend jamais cette valeur.

Énoncé. Un protocole teste soit 3, soit 4 composants. Chaque test est une épreuve indépendante de même probabilité de succès $p=0{,}8$, donnée par le modèle. Chaque test coûte 2 unités de coût ; si moins de deux tests réussissent, une intervention supplémentaire coûte 20 unités. Comparez le risque d’intervention et le coût moyen des deux protocoles. Il ne s’agit pas de données réelles.

Modéliser le nombre de succès. Pour $n=3$ ou $n=4$, $X_n\sim\mathcal B(n;0{,}8)$ : le nombre de tests est fixé pour chaque protocole, les issues sont succès/échec, $p$ est constant et l’indépendance est supposée.

Calculer le risque. Moins de deux succès signifie 0 ou 1 succès :

Le quatrième test réduit la probabilité d’intervention ; ce constat ne suffit pas à comparer les coûts moyens.

Pondérer le coût supplémentaire. Le coût fixe vaut $2n$, et le surcoût de 20 n’est payé qu’avec probabilité $r_n$. Ainsi

Dans ce modèle, le protocole à 4 tests a un risque plus faible mais un coût moyen plus élevé de 0,464 unité. Cela compare des espérances, pas les coûts qui seront forcément observés sur une opération.

Contrôle. Les risques sont compris entre 0 et 1. Pour chaque protocole, le coût vaut soit $2n$, soit $2n+20$, et son espérance est entre ces deux valeurs. Le modèle distingue le nombre de succès, le risque d’intervention et le coût.

Figure (fig.math.binomial-tree-and-bars, SVG programmatique existant) : deux panneaux, l'origine de la formule à gauche, la loi complète à droite.

• Panneau gauche — l'arbre à trois répétitions. Un arbre binaire de profondeur $3$ pour $\mathcal{B}(3\,;\,0{,}4)$. Chaque nœud porte deux branches, l'une étiquetée $S$ avec la probabilité $0{,}4$, l'autre $E$ avec $0{,}6$. Les huit chemins sont dessinés jusqu'aux feuilles. Les trois chemins qui contiennent exactement deux succès ($SSE$, $SES$, $ESS$) sont tracés en trait épais, les cinq autres en trait fin. Sous les feuilles, une accolade regroupe ces trois chemins avec la mention « trois chemins, même probabilité $0{,}4^{2} \times 0{,}6 = 0{,}096$ », et un cartouche conclut : « $P(X = 2) = 3 \times 0{,}096 = 0{,}288$, et $3$ est le coefficient « $2$ parmi $3$ » ».
• Panneau droit — le diagramme en bâtons de $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}4)$. Axe horizontal : les valeurs $k$ de $0$ à $10$, graduées une à une. Axe vertical : $P(X = k)$, de $0$ à $0{,}30$, à partir de zéro. Onze bâtons verticaux dont les hauteurs sont les probabilités calculées pour ce modèle de référence distinct du guidage, le plus haut en $k=4$. Les étiquettes de probabilités sont arrondies au millième : celle de $k=10$, voisine de 0,000, ne signifie pas une probabilité exactement nulle. Les bâtons $k = 0$ à $k = 3$ sont hachurés différemment des autres, avec la légende « $P(X \le 3) \approx 0{,}382$ » ; les bâtons $k = 4$ à $k = 10$ portent la légende « $P(X \ge 4) \approx 0{,}618$ ». Un repère vertical en pointillé est placé à l'abscisse $4$ avec l'étiquette « $E(X) = np = 4$ », et une double flèche horizontale de longueur $\sigma \approx 1{,}55$ part de ce repère, étiquetée « écart-type ».
• Bandeau du bas : trois vignettes de $11$ bâtons chacune, pour $p = 0{,}2$, $p = 0{,}5$ et $p = 0{,}8$, à la même échelle, légendées « dans ces trois exemples, les pics sont en 2, 5 et 8 ; à $n$ fixé, la variance est maximale pour $p=0{,}5$ ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau gauche explique le coefficient binomial : il compte des chemins, et rien d'autre. Le panneau droit montre que la loi n'est pas une formule isolée mais une famille de onze nombres dont la somme vaut $1$ ; les deux hachures rendent visible que « au plus $3$ » et « au moins $4$ » sont complémentaires, sans recouvrement ni trou. Le bandeau montre le rôle des deux paramètres : $p$ modifie la répartition, et $n$ et $p$ fixent ensemble la variance. L’espérance $np$ n’est pas nécessairement un entier ni le rang exact d’un pic.

La figure en détail : la figure comprend deux parties. À gauche, un arbre à trois niveaux représente trois répétitions d'une épreuve à deux issues, succès de probabilité zéro virgule quatre et échec de probabilité zéro virgule six ; les huit trajets possibles y sont tracés, et les trois trajets comportant exactement deux succès sont mis en évidence par un trait épais, ce qui montre que le coefficient binomial compte des trajets. À droite, un diagramme en bâtons donne, pour une loi binomiale de paramètres dix et zéro virgule quatre, la probabilité de chaque nombre de succès entre zéro et dix ; le bâton le plus haut correspond à quatre succès, les bâtons de zéro à trois sont regroupés sous la mention probabilité d'au plus trois succès, les bâtons de quatre à dix sous la mention probabilité d'au moins quatre succès, et un repère vertical marque l'espérance, égale à quatre, avec une flèche indiquant l'écart-type, voisin de un et demi. En bas, trois petits diagrammes comparent trois valeurs de la probabilité de succès et montrent que le sommet se déplace avec elle.