La proportionnalité : reconnaître et calculer

Au marché, les tomates coûtent le même prix au kilo. Pour $2$ kg tu paies $5$ €, pour $4$ kg tu paies $10$ €, pour $6$ kg tu paies $15$ €.

Regarde ce qui se passe : quand la masse double, le prix double aussi. Quand la masse triple, le prix triple. Deux grandeurs qui se comportent ainsi sont dites proportionnelles.

Une définition précise. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.

Pour les tomates : $2 \times 2{,}5 = 5$, $4 \times 2{,}5 = 10$, $6 \times 2{,}5 = 15$. Le même nombre $2{,}5$ revient à chaque fois. C'est le prix d'un kilo, en euros par kilogramme.

Toutes les situations ne sont pas proportionnelles. L'âge d'un enfant et sa taille ne le sont pas : un enfant de $10$ ans ne mesure pas le double d'un enfant de $5$ ans. Un abonnement de téléphone à $5$ € par mois plus $0{,}10$ € par minute d'appel ne l'est pas non plus : il y a une part fixe qu'on paie même sans téléphoner.

Comment reconnaître une situation proportionnelle. Pour un tableau donné, on divise chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante non nulle de la première. Les quotients doivent être égaux ; une colonne dont la première valeur est zéro doit aussi avoir zéro dans la seconde. Cela vérifie le tableau, sans prouver une loi valable pour toutes les valeurs non observées.

Ici, $5 \div 2 = 2{,}5$, puis $10 \div 4 = 2{,}5$, puis $15 \div 6 = 2{,}5$. Trois fois le même quotient : c'est bien un tableau de proportionnalité.

Attention, une erreur de lecture guette. Entre les colonnes, on ajoute $2$ à la masse et $5$ au prix. On pourrait croire que la proportionnalité consiste à ajouter la même quantité. C'est faux : ce qui la définit, c'est de multiplier par le même nombre. Le tableau $1 \mid 2$ et $3 \mid 4$ ajoute bien $1$ des deux côtés, et pourtant $3 \div 1 = 3$ tandis que $4 \div 2 = 2$ : ce n'est pas de la proportionnalité.

À quoi cela sert. Dès qu'une situation est proportionnelle, une correspondance dont la première valeur est non nulle suffit pour déterminer le coefficient et calculer les autres valeurs dans le modèle. C'est ce qui rend cette notion utile partout : recettes de cuisine, échelles de plans, vitesses, consommations, concentrations en chimie.

Le coefficient de proportionnalité a un sens concret. Ce n'est pas un nombre abstrait : c'est la valeur de la seconde grandeur quand la première vaut $1$. Pour les tomates, le coefficient $2{,}5$ est le prix d'un kilo, en euros par kilogramme. Pour une voiture, il peut être la consommation par kilomètre. Pour un robinet, le volume écoulé par minute.

Le passage à l'unité. C'est la méthode la plus sûre, et celle qui se comprend le mieux. On procède en deux temps.

1. Chercher la valeur qui correspond à une seule unité de la première grandeur : c'est le coefficient.
2. Multiplier ce coefficient par la quantité voulue.

Exemple : $4$ kg de pommes coûtent $7$ €, combien coûtent $10$ kg ? On calcule $7 \div 4 = 1{,}75$ € pour un kilo, puis $1{,}75 \times 10 = 17{,}5$ €.

Le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, une case est inconnue :

Le produit en croix dit que la case cherchée vaut $7 \times 10 \div 4$, c'est-à-dire $17{,}5$ €. On multiplie $7$ par $10$, les deux valeurs connues placées aux extrémités d’une même diagonale, puis on divise par $4$.

Ce n'est pas une formule magique : c'est exactement le passage à l'unité, écrit dans un autre ordre. $7 \times 10 \div 4$ et $7 \div 4 \times 10$ donnent le même résultat. Selon les nombres, l’une ou l’autre présentation peut être plus commode ; elles reposent sur la même proportion. Utilise le second pour calculer, le premier pour vérifier.

Deux façons de lire un tableau. On peut passer d'une ligne à l'autre en multipliant par le coefficient, ou d'une colonne à l'autre en multipliant par le rapport des deux situations. Dans l'exemple ci-dessus, on passe de la colonne $4$ kg à la colonne $10$ kg en multipliant par $2{,}5$ — et le prix se multiplie par $2{,}5$ lui aussi. Les deux lectures conduisent à la même réponse ; choisis celle dont les nombres sont les plus simples.

Le coefficient inverse existe si le coefficient est non nul. Si le prix vaut $1{,}75$ € par kilo, alors un euro achète $1 \div 1{,}75 \approx 0{,}57$ kg. Les deux coefficients sont inverses l'un de l'autre. Se tromper de sens est l'erreur la plus coûteuse du chapitre : vérifie toujours l'ordre de grandeur du résultat.

Le contrôle d'ordre de grandeur. Avant d'écrire la réponse, demande-toi si elle doit être plus grande ou plus petite que la donnée de départ. $10$ kg, c'est plus que $4$ kg : le prix doit donc être plus élevé que $7$ €. Trouver $2{,}80$ € signalerait une division faite à l'envers.

La signature graphique. Quand on place les couples de valeurs comme des points sur un graphique, une situation proportionnelle donne des points alignés avec l'origine, c'est-à-dire sur une droite qui passe par le point $(0\,;0)$. Une situation avec part fixe donne aussi des points alignés, mais sur une droite qui ne passe pas par l'origine. Ce parcours donne ce repère graphique sans prétendre vérifier ici la lecture ou la construction de tous les graphiques.

Énoncé. Une affiche rectangulaire mesure $18$ cm sur $24$ cm. On l’agrandit sans déformation pour que sa largeur de $18$ cm devienne $30$ cm. L’impression coûte $0,02$ € par cm², sans frais fixes. Quel sera le prix de la nouvelle affiche ? La hauteur, puis le prix, sont-ils proportionnels à la largeur lorsque la forme est conservée ?

Déterminer le rapport d’agrandissement. Il vaut $30/18=5/3$. La hauteur suit le même rapport :

La hauteur est proportionnelle à la largeur : son coefficient constant est $24/18=4/3$.

Calculer le prix à partir de l’aire. La nouvelle aire vaut $30\times40=1\,200$ cm². Le prix vaut donc $1\,200\times0,02=24$ €.

Distinguer deux modèles. L’affiche initiale a une aire de $18\times24=432$ cm² et coûte $8,64$ €. Le prix par unité de largeur vaut d’abord $8,64/18=0,48$ €/cm, puis $24/30=0,80$ €/cm. Ces quotients sont différents : le prix n’est pas proportionnel à la largeur, même si la hauteur l’est. En revanche, le prix est proportionnel à l’aire, avec le coefficient $0,02$ €/cm².

Contrôle. Quand chaque longueur est multipliée par $5/3$, l’aire est multipliée par $25/9$ : $432\times25/9=1\,200$. Il faut toujours identifier les deux grandeurs réellement reliées, plutôt qu’appliquer un rapport à toutes les valeurs.

Figure (fig.math.proportionality-table, SVG programmatique existant) : deux tableaux côte à côte, l'un proportionnel et l'autre non, avec les flèches des deux lectures et un contre-exemple.

• À gauche, le tableau proportionnel : deux lignes, « Durée (min) » avec les valeurs $2$, $4$, $10$, et « Volume (L) » avec $4{,}5$, $9$, $22{,}5$. Les colonnes sont encadrées.
• Flèches verticales partant de chaque case de la ligne du haut vers la case correspondante du bas, toutes étiquetées $\times 2{,}25$, dessinées de la même couleur et de la même épaisseur pour signifier que c'est le même coefficient partout.
• Flèches horizontales au-dessus du tableau, de la colonne $2$ vers la colonne $4$ étiquetée $\times 2$, et de la colonne $4$ vers la colonne $10$ étiquetée $\times 2{,}5$ ; les mêmes flèches sont répétées sous la ligne du bas, avec les mêmes étiquettes, pour montrer que les deux lignes se multiplient par le même facteur d'une colonne à l'autre.
• Encart du produit en croix, sous le tableau de gauche : les quatre cases $4$, $10$, $9$ et une case vide marquée d'un point d'interrogation, reliées par deux diagonales en pointillés. La diagonale qui joint $9$ et $10$ porte « on multiplie », le trait qui mène à $4$ porte « on divise ». Le résultat $22{,}5$ est écrit sous la case vide.
• À droite, le tableau non proportionnel : deux lignes, « Âge (années) » avec $4$, $8$, $12$, et « Taille (cm) » avec $102$, $128$, $150$. Sous chaque colonne, le quotient calculé est écrit dans un petit cartouche : $25{,}5$, puis $16$, puis $12{,}5$. Les trois cartouches sont de trois nuances nettement différentes et un bandeau barré traverse le tableau avec la mention « quotients différents : pas proportionnel ».
• Encart de la part fixe, en bas à droite : un troisième petit tableau « Durée d'appel (min) » $0$, $10$, $20$ et « Facture (€) » $5$, $6$, $7$, avec une flèche pointant la case $5$ € au-dessus de $0$ min et la mention « on paie déjà $5$ € sans téléphoner : part fixe, donc pas proportionnel ».

Ce qu'il faut lire. À gauche, toutes les flèches verticales portent la même étiquette : c'est la définition même de la proportionnalité. À droite, les trois quotients affichés dessous sont visiblement différents, et aucun coefficient unique n'existe. L'encart du bas montre le cas le plus trompeur : les colonnes progressent régulièrement, mais la présence d'une valeur non nulle en face de zéro suffit à écarter la proportionnalité.

La figure en détail : à gauche, un tableau à deux lignes, durée en minutes valant deux, quatre et dix, et volume en litres valant quatre virgule cinq, neuf et vingt-deux virgule cinq. Des flèches verticales identiques relient chaque durée à son volume, toutes étiquetées multiplié par deux virgule vingt-cinq. Des flèches horizontales au-dessus et au-dessous du tableau portent les mêmes étiquettes, multiplié par deux puis multiplié par deux virgule cinq. Dessous, un encart montre les quatre cases du produit en croix reliées par deux diagonales en pointillés, avec le résultat vingt-deux virgule cinq. À droite, un tableau à deux lignes, âge en années valant quatre, huit et douze, et taille en centimètres valant cent deux, cent vingt-huit et cent cinquante ; sous chaque colonne, le quotient est écrit, vingt-cinq virgule cinq, seize et douze virgule cinq, et un bandeau barré indique que les quotients sont différents, donc que le tableau n'est pas proportionnel. En bas à droite, un petit tableau montre une durée d'appel de zéro, dix et vingt minutes en face d'une facture de cinq, six et sept euros, avec la mention qu'on paie déjà cinq euros sans téléphoner, ce qui est une part fixe.