Mathématiques · Première · 2 leçons

Fiche de révision : Géométrie

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Cercle trigonométrique et radians — Enroulement de la droite des réels, radian, cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables, angles associés.
Produit scalaire — Définitions (norme-angle, coordonnées, projection), propriétés, orthogonalité, formule d'Al-Kashi.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Trigonométrie du triangle rectangle — Cosinus, sinus, tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle ; calcul d'un angle ou d'une longueur.
Géométrie repérée — Coordonnées d'un point, milieu d'un segment, distance entre deux points dans un repère orthonormé, équation de droite.
Vecteurs du plan — Translation, égalité de vecteurs, somme (relation de Chasles), produit par un réel, coordonnées, colinéarité et déterminant.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Cercle trigonométrique et radians : le cosinus d'un réel », tel qu’il figure sur la fiche.

Les relations à retenir

$2\pi\ \text{rad} = 360°, \qquad \pi\ \text{rad} = 180°, \qquad x_{\text{rad}} = x_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}$
$M \text{ associé à } x : \quad \cos x = x_M, \qquad \sin x = y_M, \qquad \cos^2 x + \sin^2 x = 1$
$\cos(-x) = \cos x, \qquad \sin(-x) = -\sin x$
$\cos(\pi - x) = -\cos x, \qquad \sin(\pi - x) = \sin x$
$\cos(\pi + x) = -\cos x, \qquad \sin(\pi + x) = -\sin x$
$\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x, \qquad \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$
$\cos(x + 2k\pi) = \cos x, \qquad \sin(x + 2k\pi) = \sin x \qquad (k \in \mathbb{Z})$

Tableau : Ce que vous cherchez, Ce que vous faites, Point de vigilance
Ce que vous cherchez	Ce que vous faites	Point de vigilance
Degrés → radians	multiplier par $\dfrac{\pi}{180}$ , simplifier la fraction	c'est $\dfrac{\pi}{180}$ , pas $\dfrac{180}{\pi}$
Radians → degrés	multiplier la mesure en radians par $180/\pi$	pour un multiple de $\pi$ , ce facteur se simplifie ; le signe est conservé
Cosinus ou sinus d'un réel	placer le point, lire abscisse ou ordonnée	abscisse = cosinus, ordonnée = sinus
Valeur exacte hors du premier quart	quadrant pour le signe, symétrie pour la valeur	écrire $x$ sous la forme $\pi - a$ , $\pi + a$ ou $-a$
Grand réel (ou négatif)	retirer des tours entiers de $2\pi$	ne retirer que des multiples de $2\pi$ , jamais de $\pi$

Domaine de validité. Les définitions par le cercle valent pour tout réel $x$ : c'est leur raison d'être. Le lien avec le triangle rectangle ( $\cos x$ = côté adjacent sur hypoténuse) ne vaut que pour $x$ dans $\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ — au-delà, il n'y a plus de triangle, seulement des coordonnées. Les valeurs de la table sont exactes : $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est une valeur, $0{,}707$ en est une approximation. La relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ est vraie pour tout réel, c'est le théorème de Pythagore dans le triangle $OHM$ — ou simplement $OM = 1$ .

Écritures. Une mesure remarquable en radians peut s’écrire comme une fraction de $\pi$ ( $\dfrac{5\pi}{6}$ , $-\dfrac{\pi}{3}$ ) ; une mesure générale peut être n’importe quel réel, sans le symbole « rad » quand le contexte est clair ; une mesure en degrés porte toujours son symbole $°$ . Écrire $\cos 60$ sans unité, c'est désigner le cosinus du réel $60$ (environ $-0{,}95$ ), pas celui de $60°$ .

Contrôles gratuits. Hors des axes, le quadrant fixe les deux signes avant tout calcul ; sur un axe, une coordonnée est nulle. La somme des carrés doit faire $1$ . Une fraction de $\pi$ convertie en degrés doit tomber sur un multiple de $15°$ quand le dénominateur divise $12$ — sinon, relisez la fraction.

La suite de la fiche (1 autre notion, les pièges à éviter et la version imprimable) est réservée à votre compte.

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