Mathématiques · Première · 6 leçons

Fiche de révision : Analyse

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Suites arithmétiques et géométriques — Définition par récurrence et forme explicite, raison, sens de variation, somme des termes, modélisation d'évolutions.
Fonction dérivée d'un polynôme — Dérivées des fonctions usuelles (constante, x, x^n), linéarité de la dérivation, dérivée d'un polynôme, lien avec la vitesse instantanée.
Dérivée d'un produit, d'un quotient — Formules (uv)' = u'v + uv', (1/v)' = −v'/v², (u/v)' = (u'v − uv')/v², dérivée de √x et de 1/x.
Fonction exponentielle — Définition (exp' = exp, exp(0) = 1), relation fonctionnelle, variations, courbe, e^(a+b) = e^a e^b ; croissance exponentielle.
Nombre dérivé et tangente — Taux de variation, limite du taux de variation, nombre dérivé f'(a), tangente en un point et son équation.
Variations et optimisation — Signe de la dérivée et sens de variation, tableau de variations, extremums locaux, problèmes d'optimisation.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Notion de fonction — Image, antécédent, variable ; représentations (formule, tableau, courbe) ; lire et exploiter un graphique.
Puissances à exposant entier — Définition de a^n et a^(−n), règles de calcul (produit, quotient, puissance de puissance), puissances de 10.
Développement et factorisation — Distributivité simple et double, identités remarquables (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), factorisation par un facteur commun.
Fonctions de référence — Carré, inverse, racine carrée, cube : courbes, sens de variation, parité ; variations et extremums d'une fonction sur un intervalle.
Fonctions linéaires et affines — f(x) = ax + b : coefficient directeur, ordonnée à l'origine, représentation graphique (droite), lien avec la proportionnalité.
Équations du second degré — Discriminant, racines réelles, forme canonique, forme factorisée, signe du trinôme.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Suites arithmétiques et géométriques : ajouter ou multiplier », tel qu’il figure sur la fiche.

Les relations à retenir

$\text{arithmétique : } u_{n + 1} = u_n + r, \qquad u_n = u_0 + n\,r, \qquad u_n = u_p + (n - p)\,r$
$\text{géométrique : } u_{n + 1} = q\,u_n, \qquad u_n = u_0 \times q^{\,n}, \qquad u_n = u_p \times q^{\,n - p}$
$\text{évolution de } t\,\% : \ q = 1 + \frac{t}{100} \ \text{(hausse)}, \qquad q = 1 - \frac{t}{100} \ \text{(baisse)}$
$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}, \qquad u_p + \dots + u_n = (n - p + 1) \times \frac{u_p + u_n}{2} \ \text{(arithmétique)}$
$1 + q + \dots + q^{\,n} = \frac{1 - q^{\,n + 1}}{1 - q} \quad (q \neq 1), \qquad 1 + 2 + \dots + 2^{\,n} = 2^{\,n + 1} - 1$
$\text{nombre de termes de } u_p \text{ à } u_n : \ n - p + 1$

Tableau : Ce que vous cherchez, Ce que vous faites, Point de vigilance
Ce que vous cherchez	Ce que vous faites	Point de vigilance
La nature d’une suite	établir une relation pour tous les rangs ; tester les données pour conjecturer ou réfuter	quotients seulement avec dénominateurs non nuls
Un terme de rang $n$	forme explicite, avec le bon nombre de pas	premier terme $u_0$ ou $u_1$  ?
Le sens de variation	signe de $r$  ; position de $q$ par rapport à $1$	$q<0$ et premier terme non nul : alternance des signes
Une hausse de $t\,\%$ répétée	géométrique de raison $1 + \dfrac{t}{100}$	la raison n'est pas $t$
Une somme de termes consécutifs	compter les termes, puis la formule	de $u_p$ à $u_n$ : $n - p + 1$ termes

Domaine de validité. Les formes explicites valent pour tout rang à partir du premier terme, et la raison est constante par définition : des accroissements variables excluent le caractère arithmétique, mais pas le caractère géométrique : par exemple 1, 2, 4, 8 a des écarts 1, 2, 4 et une raison géométrique 2. La formule $\dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ exige $q \neq 1$ . Le sens de variation d'une suite géométrique tel qu'énoncé suppose $u_0 > 0$ et $q > 0$ .

Écritures. Le terme de rang $n$ se note $u_n$ , l'indice en bas ; la suite se note $(u_n)$ , entre parenthèses ; $u_{n + 1}$ (indice $n + 1$ ) est le terme suivant, à ne pas confondre avec $u_n + 1$ (le terme augmenté de $1$ ). Une population, un capital, se donnent avec un nombre de chiffres significatifs raisonnable et le signe $\approx$ dès qu'un arrondi est fait ; l’arrondi doit correspondre à la précision demandée ; la valeur issue du modèle n’est pas une observation exacte de la réalité.

Contrôles gratuits. Une forme explicite doit redonner le premier terme et le second. Une somme arithmétique est le nombre de termes multiplié par la moyenne des extrêmes : son ordre de grandeur se vérifie de tête. Pour un premier terme strictement positif et une raison 2, une somme depuis ce premier terme est inférieure au double de son dernier terme.

La suite de la fiche (5 autres notions, les pièges à éviter et la version imprimable) est réservée à votre compte.

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