Mathématiques · Première · 2 leçons

Fiche de révision : Probabilités et statistiques

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Probabilités conditionnelles et indépendance — P_A(B), arbre pondéré, formule des probabilités totales, indépendance de deux événements.
Variables aléatoires — Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète, espérance, variance, écart-type, interprétation en moyenne sur un grand nombre de répétitions.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Probabilités élémentaires — Expérience aléatoire, issue, événement, probabilité comme fréquence limite, équiprobabilité, événement contraire, arbre de probabilités.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Probabilités conditionnelles : le « sachant que » », tel qu’il figure sur la fiche.

Les relations à retenir

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \qquad (P(A) \neq 0)$
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A) \quad (P(A)>0,\ P(B)>0)$
$P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B)$
$P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B) \qquad \text{(probabilités totales)}$
$A \text{ et } B \text{ indépendants} \iff P(A \cap B) = P(A)P(B); \quad P(A)>0:\ [P(A\cap B)=P(A)P(B)\iff P_A(B)=P(B)]$
$\text{Sur un tableau d'effectifs :} \quad P_A(B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}, \qquad P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{N}$

Tableau : Ce que vous cherchez, Ce que vous faites, Point de vigilance
Ce que vous cherchez	Ce que vous faites	Point de vigilance
$P_A(B)$ sur un tableau	case commune sur le total de la ligne de $A$	pas sur le total général
$P_B(A)$ sur un tableau	case commune sur le total de la colonne de $B$	ce n'est pas $P_A(B)$
$P(A \cap B)$ sur un arbre	produit des poids le long du chemin	un seul chemin
$P(B)$ sur un arbre	somme des chemins qui mènent à $B$	tous les chemins, pondérés
$P_B(A)$ depuis un arbre	$\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ avec $P(B)$ par les totales	le dénominateur est $P(B)$
Indépendance	comparer $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$	égalité exacte exigée

Domaine de validité. La formule élémentaire de $P_A(B)$ exige $P(A)>0$ . Elle ne définit pas un conditionnement quand $P(A)=0$  ; dans un univers général, probabilité nulle ne signifie pas nécessairement ensemble vide. La formule des probabilités totales exige une partition de l'univers ( $A$ et $\bar{A}$ , ou plusieurs événements incompatibles deux à deux dont la réunion est l’univers). Les probabilités conditionnelles écrites doivent avoir des dénominateurs positifs ; un morceau de probabilité nulle contribue 0 par son intersection, sans définir une conditionnelle sur ce morceau. Avec des événements qui se chevauchent, des chemins seraient comptés deux fois. L'indépendance est une relation entre deux événements dans un modèle donné : les mêmes caractères peuvent être indépendants dans une population et pas dans une autre.

Écritures. $P_A(B)$ (indice) se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ » — l'événement connu est en indice, l'événement dont on cherche la probabilité entre parenthèses. On rencontre aussi la notation $P(B \mid A)$  ; c'est la même chose. $P(A \cap B)$ est la probabilité de « $A$ et $B$ » ; $P(A \cup B)$ celle de « $A$ ou $B$ ». Un pourcentage « parmi les… » est une probabilité conditionnelle ; un pourcentage « de la production » est une probabilité simple.

Contrôles gratuits. Les branches d'un nœud font $1$  ; les extrémités de l'arbre font $1$  ; $P(B)$ par les totales est comprise entre la plus petite et la plus grande des conditionnelles $P_A(B)$ et $P_{\bar{A}}(B)$  ; sur un tableau, les totaux de lignes et de colonnes redonnent le total général.

La suite de la fiche (1 autre notion, les pièges à éviter et la version imprimable) est réservée à votre compte.

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