Mathématiques · Première · 2 leçons

Fiche de révision : Algèbre

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Équations du second degré — Discriminant, racines réelles, forme canonique, forme factorisée, signe du trinôme.
Fonctions polynômes du second degré — Parabole, sommet, axe de symétrie, forme canonique, variations, signe ; lien avec l'équation du second degré.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Développement et factorisation — Distributivité simple et double, identités remarquables (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), factorisation par un facteur commun.
Racines carrées — Définition de √a pour a ≥ 0, carrés parfaits, calcul d'une racine carrée à la calculatrice, lien avec le théorème de Pythagore.
Fonctions de référence — Carré, inverse, racine carrée, cube : courbes, sens de variation, parité ; variations et extremums d'une fonction sur un intervalle.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Équations du second degré : forme canonique et discriminant », tel qu’il figure sur la fiche.

Les relations à retenir

$\Delta = b^2 - 4ac \qquad (a \neq 0)$
$\Delta > 0 : \ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta = 0 : \ x_0 = -\frac{b}{2a} \qquad\qquad \Delta < 0 : \ \text{aucune solution réelle}$
$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a} \qquad \text{(forme canonique)}$
$\Delta \geqslant 0 : \ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \qquad \text{(forme factorisée)}$
$\Delta>0 : \text{signe de } ax^2 + bx + c : \text{ celui de } a \text{ à l'extérieur des racines, contraire entre elles}$

Tableau : Ce que vous cherchez, Ce que vous faites, Point de vigilance
Ce que vous cherchez	Ce que vous faites	Point de vigilance
Le nombre de solutions	le signe de $\Delta$	$\Delta = 0$ donne une solution, pas zéro
Les solutions ( $\Delta > 0$ )	$\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$	le dénominateur est $2a$ , avec le $a$ de l'équation
Si $x_0$ est solution	substituer, comparer à $0$	inutile de résoudre
Factoriser	$a(x - x_1)(x - x_2)$	ne pas oublier le facteur $a$
Le signe du trinôme	racines + signe de $a$	du signe de $a$ à l'extérieur
$b = 0$ ou $c = 0$	résolution directe	le discriminant est un détour

Domaine de validité. Tout ce qui précède suppose $a \neq 0$ et des coefficients réels. Les formules des racines exigent $\Delta \geqslant 0$ : écrire $\sqrt{\Delta}$ avec $\Delta < 0$ n'a pas de sens dans $\mathbb{R}$ . La forme canonique, elle, existe toujours. Le mot « solution » désigne ici une solution réelle : « aucune solution » signifie aucun réel, et cette réponse est une réponse complète.

Écritures. $x_1$ et $x_2$ désignent les deux racines, dans l'ordre que l'on veut ; quand la question précise « la plus petite » ou « la plus grande », on compare après calcul. Une racine s'écrit sous forme exacte ( $\dfrac{5}{2}$ , ou $2 - \sqrt{3}$ ) avant tout arrondi ; l'arrondi ne se donne que si l'énoncé le demande, avec le signe $\approx$ .

Contrôles gratuits. Chaque racine trouvée se substitue dans l'équation : le résultat doit être exactement $0$ . La somme des racines doit valoir $-\dfrac{b}{a}$ et leur produit $\dfrac{c}{a}$ (si $\Delta\geqslant0$ , avec la racine double comptée deux fois ; les deux égalités exactes déterminent la paire non ordonnée). Et une racine double se reconnaît à une identité remarquable : si le trinôme est un carré parfait, $\Delta$ vaut forcément $0$ .

La suite de la fiche (1 autre notion, les pièges à éviter et la version imprimable) est réservée à votre compte.

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