Géométrie repérée : milieu, distance, configurations

La géométrie repérée complète les méthodes de construction et de démonstration géométrique. Les configurations de triangles et quadrilatères non dégénérés considérées ici ont des sommets distincts ; les triangles ne sont pas alignés. La géométrie repérée remplace la figure par des nombres : chaque point du plan est repéré par un couple de coordonnées, et les propriétés géométriques — être au milieu, être à telle distance, former tel triangle — deviennent des calculs. C'est un changement de méthode profond : on ne constate plus sur un dessin, on démontre par le calcul.

Le repère. Un repère du plan est la donnée d'un point origine $O$ et de deux axes gradués sécants en $O$. Tout point $M$ du plan est alors repéré par deux nombres : son abscisse $x_M$ et son ordonnée $y_M$, obtenues par des projections parallèles aux axes du repère (orthogonales si ces axes sont perpendiculaires). On écrit $M(x_M\ ;\ y_M)$. Un repère est dit orthogonal quand ses deux axes sont perpendiculaires, et orthonormé quand, de plus, la même unité de longueur est utilisée sur les deux axes. Cette distinction n'est pas décorative : certaines formules de ce chapitre exigent un repère orthonormé, d'autres non — et savoir lesquelles fait partie du cours.

Le milieu d'un segment. Le milieu de $[AB]$ est le point situé à mi-chemin de $A$ et de $B$ : à mi-chemin selon chacune des deux coordonnées, y compris lorsque les axes sont obliques. Chacune de ses coordonnées est donc la moyenne des coordonnées correspondantes des extrémités :

Cette formule est valable dans n'importe quel repère affine, orthonormé ou non : être au milieu est une affaire de proportion sur chaque axe, pas de longueur.

La distance entre deux points. Dans un repère orthonormé, la distance entre $A(x_A\ ;\ y_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B)$ vaut

D'où vient cette formule ? Du théorème de Pythagore, que vous connaissez depuis la 4e. Le trajet de $A$ à $B$ peut se décomposer en un déplacement horizontal de longueur $|x_B - x_A|$ suivi d'un déplacement vertical de longueur $|y_B - y_A|$. Ces deux déplacements forment les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont $[AB]$ est l'hypoténuse — l'angle est droit précisément parce que les axes sont perpendiculaires. Pythagore donne alors $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$, et il reste à prendre la racine carrée.

Cette origine explique la condition d'application : si les axes ne sont pas perpendiculaires, le triangle n'est pas rectangle et Pythagore ne s'applique pas ; si les unités des deux axes diffèrent, additionner les carrés mélange des graduations incomparables. La formule de la distance exige un repère orthonormé — c'est une hypothèse à vérifier dans l'énoncé avant de calculer, au même titre que « le triangle est rectangle » avant d'appliquer Pythagore.

Remarque utile : $(x_B - x_A)^2 = (x_A - x_B)^2$. L'ordre de la soustraction n'a donc aucune importance pour une distance — le carré efface le signe. Ce ne sera plus vrai pour les vecteurs, où l'ordre comptera : autant prendre tout de suite l'habitude d'écrire « arrivée moins départ ».

Lire la formule du milieu à l'envers. La formule $x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ relie trois nombres : les deux extrémités et le milieu. Rien n'oblige l'inconnue à être le milieu. Si l'on sait que $B$ est le milieu de $[AC]$ et que l'on cherche $C$, la formule s'écrit $x_B = \dfrac{x_A + x_C}{2}$, et on la traite comme une équation : en multipliant les deux membres par $2$ puis en isolant,

Géométriquement, $C$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ : pour aller de $A$ à $C$, on fait deux fois le trajet de $A$ à $B$. Cette lecture inverse est un excellent test de compréhension — appliquer mécaniquement la formule du milieu à $A$ et $B$ donnerait un point sans aucun rapport avec la question.

Démontrer qu'un triangle est isocèle. Un triangle $ABC$ est isocèle en $A$ quand ses deux côtés issus de $A$ ont la même longueur : $AB = AC$. En géométrie repérée, cela se démontre en calculant. Une astuce rend le calcul exact : au lieu de comparer $AB$ et $AC$, on compare $AB^2$ et $AC^2$. Les distances sont positives ou nulles, et deux nombres positifs ou nuls sont égaux exactement quand leurs carrés le sont : la comparaison des carrés est rigoureusement équivalente, et elle évite toute racine carrée — donc tout arrondi, donc toute conclusion fondée sur des décimales tronquées. Si $AB^2 = 45$ et $AC^2 = 45$, le triangle est isocèle en $A$, point final ; si $AB^2 = 45$ et $AC^2 = 47$, il ne l'est pas, même si $\sqrt{45} \approx 6{,}71$ et $\sqrt{47} \approx 6{,}86$ paraissent proches sur un dessin.

Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme. Propriété du cours : pour un quadrilatère non dégénéré, c’est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu. On écarte ici les configurations de quatre points alignés ou confondus. En repéré, cela se vérifie avec la seule formule du milieu : $ABCD$ (sommets nommés dans l'ordre, en tournant autour du quadrilatère) est un parallélogramme exactement quand le milieu de $[AC]$ et le milieu de $[BD]$ ont les mêmes coordonnées. Deux milieux à calculer, puis les coordonnées correspondantes à comparer, aucune racine : la démonstration est exacte et tient en trois lignes. L'ordre des lettres est décisif : les diagonales de $ABCD$ sont $[AC]$ et $[BD]$ — jamais $[AB]$ ou $[CD]$, qui sont des côtés.

Ce que le calcul remplace — et ce qu'il ne remplace pas. La force de la géométrie repérée est de transformer un « ça a l'air isocèle » en certitude. Sa contrepartie : le calcul ne montre que ce qu'on lui demande. Vérifier que les diagonales ont le même milieu prouve le parallélogramme ; cela ne dit rien de plus (rectangle ? losange ?) sans calculs supplémentaires — les longueurs des côtés ou des diagonales, justement permises par la formule de la distance si le repère est orthonormé. Un réflexe à prendre : avant tout calcul, écrire ce que l'on veut démontrer sous forme d'une égalité de nombres, puis calculer chaque membre séparément.

Énoncé. Dans un repère orthonormé, on donne $A(0,5;1)$, $B(2,5;2)$ et $C(4,5;1)$. Déterminez le point $D$ pour que les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ aient le même milieu. Montrez que le quadrilatère $ABCD$ est un losange, puis donnez son périmètre exact.

Calculer le milieu puis le symétrique. Le milieu de $[AC]$ est

Puisque $M$ est aussi le milieu de $[BD]$, $D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $M$ :

Les trois points $A,B,C$ ne sont pas alignés ; le quadrilatère ainsi construit est donc un parallélogramme non dégénéré.

Comparer les côtés sans arrondir.

Les côtés opposés d’un parallélogramme étant égaux, l’égalité de ces deux côtés consécutifs montre que les quatre côtés sont égaux : c’est un losange.

Calculer le périmètre exact. Chaque côté mesure $\sqrt5$ unités ; le périmètre vaut donc $4\sqrt5$ unités, sans arrondir séparément les côtés.

Contrôle. Le milieu de $[BD]$ est $(2,5;1)$, comme celui de $[AC]$. Les diagonales mesurent ici $4$ et $2$ unités : le losange n’est pas nécessairement un carré. Le milieu commun ne suffisait pas, à lui seul, pour conclure que les côtés étaient tous égaux.

Figure (SVG programmatique existant) : trois panneaux qui relient les trois formules de la leçon à leur signification géométrique, sur un exemple distinct du nouveau guidage.

• Panneau principal — le triangle caché sous la distance. Un repère orthonormé gradué de $-4$ à $12$ en abscisse et de $-4$ à $6$ en ordonnée, avec les points $A(-3\ ;\ 5)$ et $B(4\ ;\ 1)$ marqués et reliés par le segment $[AB]$ en trait plein. En traits tiretés, le chemin en équerre : segment horizontal de $A$ jusqu'au point $(4\ ;\ 5)$, coté « $7$ », puis segment vertical descendant jusqu'à $B$, coté « $4$ » ; le petit carré de l'angle droit est dessiné au coin $(4\ ;\ 5)$. Le segment $[AB]$ porte l'étiquette « $\sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{65}$ ». Le milieu $M(0{,}5\ ;\ 3)$ est marqué d'un point évidé à mi-longueur, avec deux petites doubles-barres identiques sur $[AM]$ et $[MB]$ pour signifier l'égalité des deux moitiés. Dans le prolongement de $[AB]$, au-delà de $B$, le point $C(11\ ;\ -3)$ en trait d'axe pointillé, avec la mention « $B$ milieu de $[AC]$ : $C$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ » et des triples-barres sur $[AB]$ et $[BC]$, distinctes des doubles-barres qui codent $AM=MB$.
• Panneau d'avertissement — repère non orthonormé. Un petit repère aux axes obliques (angle nettement différent de $90^\circ$), avec deux points reliés par un segment et le chemin en équerre correspondant : l'angle du chemin n'est visiblement pas droit, le petit carré de l'angle droit est barré, et la formule $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ est écrite puis barrée d'un trait, avec la mention « sans axes perpendiculaires et sans unité commune, Pythagore ne s'applique pas ». À côté, la formule du milieu est écrite non barrée, avec la mention « le milieu, lui, reste valable ».
• Panneau des carrés — comparer sans racine. Deux segments $[AB]$ et $[AC]$ issus d'un même point $A$ d'un triangle, avec leurs carrés de longueurs affichés dans deux cartouches : « $AB^2 = 45$ » et « $AC^2 = 45$ », reliés par un signe $=$ encadré, et la conclusion « $AB = AC$ : isocèle en $A$ ». En dessous, la même paire avec « $45$ » et « $47$ » reliés par $\neq$, et la mention « des valeurs proches : comparer par le calcul ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau principal montre que la formule de la distance n'est pas un objet nouveau : c'est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle que les axes fabriquent d'eux-mêmes — et le chemin en équerre coté $7$ puis $4$ rend visible pourquoi $7 + 4 = 11$ surestime toujours la ligne droite. Le panneau oblique fixe la hiérarchie des hypothèses : la distance exige l'orthonormé, le milieu non. Le panneau des carrés justifie le réflexe de tout le chapitre — comparer $AB^2$ et $AC^2$ plutôt que deux racines arrondies.