Fonctions polynômes du second degré : la parabole et son sommet

En seconde, tu as étudié la fonction carré $x \mapsto x^2$ : sa courbe est une parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, qui descend sur $]-\infty\ ;\ 0]$ et monte sur $[0\ ;\ +\infty[$, avec un minimum $0$ atteint en $0$. Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme

définie sur $\mathbb{R}$. Elle contient la fonction carré comme cas particulier ($a = 1$, $b = c = 0$), et la leçon tient en une idée : sa courbe est toujours une parabole, obtenue à partir de celle du carré en la déplaçant et en l'étirant. La forme canonique dit exactement comment.

La forme canonique, lue comme une transformation. La leçon précédente a montré que tout trinôme s'écrit

avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. Lis cette écriture de l'intérieur vers l'extérieur, en partant de $x$ :

• $x - \alpha$ : on décale l'abscisse de $\alpha$ — la courbe glisse horizontalement, de $\alpha$ vers la droite si $\alpha > 0$ ;
• $(x - \alpha)^2$ : on élève au carré — c'est la parabole de référence, centrée en $\alpha$ au lieu de $0$ ;
• $a(x - \alpha)^2$ : on multiplie par $a$ — la parabole est étirée verticalement si $|a| > 1$, aplatie si $|a| < 1$, et retournée si $a < 0$ ;
• $a(x - \alpha)^2 + \beta$ : on ajoute $\beta$ — la courbe glisse verticalement de $\beta$.

Le point $(0\ ;\ 0)$ de la parabole de référence, son point le plus bas, est donc envoyé sur le point $S(\alpha\ ;\ \beta)$ : c'est le sommet de la parabole. Et l'axe de symétrie $x = 0$ du carré devient la droite verticale $x = \alpha$, axe de symétrie de la parabole : $f(\alpha + t) = f(\alpha - t)$ pour tout $t$, puisque $(t)^2 = (-t)^2$.

D'où vient $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ ? Il suffit de développer la forme canonique et de comparer avec la forme développée :

Le coefficient de $x$ doit être $b$, donc $-2a\alpha = b$, soit $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$. Et $\beta$ est la valeur de $f$ au sommet, $\beta = f(\alpha)$ : une fois $\alpha$ connu, il se calcule par simple substitution. (On peut aussi montrer que $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$, mais la substitution est plus sûre et ne demande pas le discriminant.)

Le sens de la parabole ne dépend que du signe de $a$ : tournée vers le haut si $a > 0$ (le sommet est le point le plus bas), vers le bas si $a < 0$ (le sommet est le point le plus haut). Ni $b$ ni $c$ n'y changent rien.

Les variations, démontrées sans dérivée. Le carré $(x - \alpha)^2$ est nul en $x = \alpha$ et d'autant plus grand que $x$ s'éloigne de $\alpha$, dans un sens ou dans l'autre : il décroît sur $]-\infty\ ;\ \alpha]$ et croît sur $[\alpha\ ;\ +\infty[$ — c'est le sens de variation de la fonction carré, transporté en $\alpha$. Multiplier par $a > 0$ conserve l'ordre des images ; multiplier par $a < 0$ le renverse ; ajouter $\beta$ ne change rien aux variations. D'où le résultat :

• si $a > 0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\ ;\ \alpha]$ puis croissante sur $[\alpha\ ;\ +\infty[$ ; elle admet un minimum, égal à $\beta$, atteint en $x = \alpha$ ;
• si $a < 0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\ ;\ \alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha\ ;\ +\infty[$ ; elle admet un maximum, égal à $\beta$, atteint en $x = \alpha$.

Remarque la place de chaque nombre : $\alpha$ est une abscisse (là où le sens change), $\beta$ une ordonnée (la valeur extrême). Les échanger est l'erreur la plus fréquente sur ce chapitre.

Le signe de $f(x)$. C'est la question « pour quels $x$ la courbe est-elle au-dessus de l'axe des abscisses ? », et la leçon précédente y a déjà répondu :

• si $\Delta > 0$, $f$ a deux racines $x_1 < x_2$, et $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur de $[x_1\ ;\ x_2]$, du signe contraire entre les racines ;
• si $\Delta = 0$, $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$, et $f(x_0) = 0$ : la parabole touche l'axe en son sommet ;
• si $\Delta < 0$, $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout réel $x$ : la parabole ne rencontre jamais l'axe.

La forme canonique et les racines sont cohérentes : l'axe de symétrie passe au milieu des racines, $\alpha = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$. C'est un contrôle gratuit dans les deux sens — des racines vers $\alpha$, ou de $\alpha$ vers la plausibilité des racines.

Quelle forme pour quelle question ? C'est la compétence centrale du chapitre : choisir l'écriture adaptée avant de calculer.

Un énoncé qui donne $f(x) = -2(x - 3)^2 + 8$ et demande le maximum de $f$ se traite en une ligne : $a = -2 < 0$, maximum $8$ atteint en $3$. Développer, puis recalculer $\alpha$ et $\beta$, serait défaire pour refaire. À l'inverse, pour trouver où $f$ s'annule, on résout $-2(x - 3)^2 + 8 = 0 \iff (x - 3)^2 = 4 \iff x = 1$ ou $x = 5$, sans discriminant : la forme canonique se prête directement à cette résolution.

Ce que dit un tableau de variations, et comment le décrire. Le tableau résume : les intervalles où $f$ monte ou descend, et la valeur de l'extremum. En mots, pour $a > 0$ et $\alpha = 2$ : « $f$ est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 2]$ puis croissante sur $[2\ ;\ +\infty[$ ; son minimum est $\beta$, atteint en $2$ ». Le bornage des intervalles en $\alpha$ est fermé des deux côtés — $\alpha$ appartient aux deux intervalles, la fonction y est à la fois « fin de descente » et « début de montée ».

Énoncé. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$.

1. Déterminer le sommet de sa parabole et sa forme canonique. 2) Donner les variations de $f$ et son extremum. 3) Étudier le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.

1) Le sommet et la forme canonique.

Étape 1 — lire $a$. $a = -2 < 0$ : la parabole est tournée vers le bas ; le sommet sera un maximum. On note $b = 8$ et $c = -3$.

Étape 2 — l'abscisse du sommet. Avec le signe « moins » devant :

Étape 3 — l'ordonnée du sommet. C'est l'image de $\alpha$ :

Le sommet est $S(2\ ;\ 5)$, et la forme canonique s'écrit

Étape 4 — contrôler en développant. $-2(x - 2)^2 + 5 = -2(x^2 - 4x + 4) + 5 = -2x^2 + 8x - 8 + 5 = -2x^2 + 8x - 3$ ✔. Le développement doit redonner exactement l'expression de départ ; c'est le contrôle le plus sûr d'une forme canonique.

2) Les variations. Comme $a < 0$, $f$ est croissante sur $]-\infty\ ;\ 2]$ puis décroissante sur $[2\ ;\ +\infty[$. Elle admet un maximum, égal à $5$, atteint en $x = 2$ : pour tout réel $x$, $f(x) \leqslant 5$. On peut le lire directement sur la forme canonique : $-2(x - 2)^2 \leqslant 0$, donc $f(x) \leqslant 5$, avec égalité si et seulement si $x = 2$.

3) Le signe de $f(x)$.

Étape 1 — les racines, par la forme canonique. $f(x) = 0 \iff -2(x - 2)^2 + 5 = 0 \iff (x - 2)^2 = \dfrac{5}{2}$, donc

puisque $\sqrt{\dfrac{5}{2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$. Valeurs approchées : $\dfrac{\sqrt{10}}{2} \approx 1{,}581$, donc $x_1 \approx 0{,}42$ et $x_2 \approx 3{,}58$. On aurait aussi pu calculer $\Delta = 8^2 - 4 \times (-2) \times (-3) = 64 - 24 = 40$ et $x = \dfrac{-8 \pm \sqrt{40}}{-4}$ : même résultat, avec un signe de plus à surveiller.

Étape 2 — le signe, en tenant compte de $a$. $a = -2 < 0$ : $f(x)$ est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.

$f(x) < 0$ pour $x < x_1$ et pour $x > x_2$ ; $f(x) > 0$ pour $x_1 < x < x_2$ ; $f(x_1) = f(x_2) = 0$.

Étape 3 — contrôler. $f(0) = -3 < 0$, et $0$ est bien à l'extérieur des racines ✔. $f(2) = 5 > 0$, et $2$ est entre elles ✔. Le milieu des racines est $\dfrac{x_1 + x_2}{2} = 2 = \alpha$ ✔.

Le moment décisif : à l'étape 2 du point 3, la tentation est d'écrire « positif à l'extérieur, négatif entre », par réflexe de la parabole tournée vers le haut. Le signe de $a$ inverse cette lecture. Un contrôle par une valeur simple ($f(0) = -3$) suffit à trancher.

Figure (SVG programmatique à produire) : trois panneaux qui suivent l'ordre de la leçon — la parabole de l'exemple avec tout ce qu'on y lit, la transformation depuis la fonction carré, puis les deux orientations possibles.

• Panneau 1 — la parabole de $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$. Repère orthogonal, $x$ de $-1$ à $5$, $y$ de $-6$ à $6$. La courbe, tournée vers le bas, passe par les points cotés $(0\ ;\ -3)$, $(1\ ;\ 3)$, $(2\ ;\ 5)$, $(3\ ;\ 3)$, $(4\ ;\ -3)$. Le sommet $S(2\ ;\ 5)$ est marqué d'un disque plein et d'un cartouche « maximum $5$, atteint en $2$ ». L'axe de symétrie $x = 2$ est tracé en tirets, avec deux flèches horizontales de même longueur reliant $(1\ ;\ 3)$ et $(3\ ;\ 3)$ à l'axe, mention « $f(2 - t) = f(2 + t)$ ». Les deux racines $x_1 \approx 0{,}42$ et $x_2 \approx 3{,}58$ sont marquées sur l'axe des abscisses, avec leurs valeurs exactes $2 \mp \dfrac{\sqrt{10}}{2}$ en petit. Sous le repère, deux bandes : une bande de variations (flèche montante jusqu'à $2$, flèche descendante après) et une bande de signes (« $-$ », « $0$ », « $+$ », « $0$ », « $-$ »), alignées sur les abscisses $x_1$, $2$, $x_2$. La portion de courbe au-dessus de l'axe est tramée.
• Panneau 2 — depuis la fonction carré. Sur un même repère, en trois traits de plus en plus foncés : la parabole $y = x^2$ (trait fin), puis $y = -2x^2$ (retournée et étirée, trait moyen), puis $y = -2(x - 2)^2 + 5$ (trait épais). Deux flèches de déplacement partent du sommet $(0\ ;\ 0)$ de la parabole retournée : l'une horizontale, cotée « $+2$ », l'autre verticale, cotée « $+5$ », jusqu'à $S(2\ ;\ 5)$. Cartouche : « $a(x - \alpha)^2 + \beta$ : retourner et étirer ($a$), décaler ($\alpha$, $\beta$) ».
• Panneau 3 — $a > 0$ contre $a < 0$. Deux vignettes miniatures côte à côte : une parabole tournée vers le haut avec la mention « $a > 0$ : minimum $\beta$ en $\alpha$ » et ses flèches de variation (descend puis monte) ; une parabole tournée vers le bas avec « $a < 0$ : maximum $\beta$ en $\alpha$ » (monte puis descend). Sous chacune, la lecture du signe avec deux racines : « signe de $a$ à l'extérieur ». Les deux vignettes ont le même $\alpha$ et le même $\beta$, pour montrer que seul $a$ change l'orientation.

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 réunit sur une seule courbe les trois objets de la leçon : le sommet (forme canonique), l'axe de symétrie (au milieu des racines), et le signe (racines et signe de $a$). Le panneau 2 justifie le mot « canonique » : la parabole est celle du carré, transformée par trois opérations que l'écriture $a(x - \alpha)^2 + \beta$ énumère. Le panneau 3 isole ce que le signe de $a$ décide — l'orientation, la nature de l'extremum, le signe à l'extérieur des racines — et ce qu'il ne décide pas : la position du sommet.

La figure en détail : à gauche, une parabole tournée vers le bas passant par cinq points marqués : en abscisse zéro à la hauteur moins trois, en un à la hauteur trois, en deux à la hauteur cinq, en trois à la hauteur trois, en quatre à la hauteur moins trois ; son sommet est le point d'abscisse deux et de hauteur cinq, l'axe de symétrie est le trait vertical en tirets qui passe par ce sommet, et la courbe coupe l'axe horizontal en deux points, vers zéro virgule quarante-deux et vers trois virgule cinquante-huit ; la portion de courbe au-dessus de l'axe est tramée ; sous le repère, une bande de variations (montée jusqu'à deux, descente ensuite) et une bande de signes (moins, zéro, plus, zéro, moins). Au centre, trois paraboles superposées, de plus en plus épaisses : celle du carré, tournée vers le haut ; la même retournée vers le bas et étirée ; enfin cette dernière décalée de deux vers la droite et de cinq vers le haut, deux flèches marquant les deux déplacements. À droite, deux vignettes : une parabole tournée vers le haut, dont le sommet est un minimum, et une parabole tournée vers le bas, dont le sommet est un maximum, le sommet étant au même endroit dans les deux cas.

Domaine de validité. Tout suppose $a \neq 0$ ; les formules du sommet valent pour tout trinôme, qu'il ait des racines ou non. La règle du signe « à l'extérieur, entre » exige $\Delta > 0$ ; si $\Delta \leqslant 0$, $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x$ (sauf en la racine double, où il s'annule). Une fonction polynôme du second degré est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier : les intervalles de variation couvrent toute la droite réelle.

Écritures. Les variations se décrivent avec des intervalles fermés en $\alpha$ : « décroissante sur $]-\infty\ ;\ \alpha]$ puis croissante sur $[\alpha\ ;\ +\infty[$ ». L'extremum se donne avec sa valeur et l'abscisse où il est atteint : « minimum $-5$, atteint en $2$ » — l'un sans l'autre est incomplet. Le sommet est un point : $S(\alpha\ ;\ \beta)$, avec l'abscisse en premier.

Contrôles gratuits. Développer la forme canonique doit redonner la forme développée à l'identique. Le milieu des racines doit être $\alpha$. Une valeur simple, $f(0) = c$, doit avoir le signe prévu par le tableau de signes. Et $f(\alpha - 1) = f(\alpha + 1)$ : deux images symétriques égales confirment l'axe.

1. Se tromper sur le sens de la parabole. Elle est tournée vers le haut si et seulement si $a > 0$ — quel que soit le signe de $b$ ou de $c$. Avec $a < 0$, le sommet est un maximum et la fonction est croissante puis décroissante. Regarde $a$ avant toute autre chose.
2. Oublier le signe dans $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$. Avec $b = 8$ et $a = -2$, $\alpha = -\dfrac{8}{-4} = 2$, pas $-2$. Deux signes se combinent (celui de la formule et celui de $a$) : écris la fraction avec ses parenthèses avant de simplifier. Un $\alpha$ de signe faux déplace tout le tableau de variations.
3. Conclure sur le signe du trinôme sans tenir compte de $a$. « Négatif entre les racines » n'est vrai que si $a > 0$. Pour $a < 0$, c'est l'inverse : positif entre les racines, négatif à l'extérieur. La règle complète est « du signe de $a$ à l'extérieur » — le signe de $a$ en fait partie.
4. Échanger $\alpha$ et $\beta$. $\alpha$ est l'abscisse où le sens de variation change ; $\beta$ est la valeur extrême. « Le minimum de $f$ est $2$ » quand le sommet est $S(2\ ;\ -5)$ est une confusion classique : le minimum est $-5$, atteint en $2$.
5. Développer une forme canonique donnée pour retrouver le sommet. Si l'énoncé fournit $f(x) = 3(x + 1)^2 - 4$, le sommet se lit : $S(-1\ ;\ -4)$ — attention, $x + 1 = x - (-1)$, donc $\alpha = -1$. Développer puis recalculer $-\dfrac{b}{2a}$ multiplie les occasions d'erreur pour un résultat déjà sous les yeux.
6. Lire $\alpha$ avec un signe faux dans $(x + 1)^2$. Le carré de la forme canonique est $(x - \alpha)^2$ : $(x + 1)^2$ correspond à $\alpha = -1$, et $(x - 3)^2$ à $\alpha = 3$. Le signe à l'intérieur de la parenthèse est l'opposé de celui de $\alpha$.
7. Ouvrir les intervalles de variation en $\alpha$. $f$ est décroissante sur $]-\infty\ ;\ \alpha]$ et croissante sur $[\alpha\ ;\ +\infty[$ : $\alpha$ appartient aux deux intervalles. Écrire $]-\infty\ ;\ \alpha[$ exclut le point même où l'extremum est atteint.
8. Affirmer « $f(x) > 0$ pour tout $x$ » sans avoir regardé $\Delta$. C'est vrai si et seulement si $a > 0$ et $\Delta < 0$. Un trinôme avec $a > 0$ et deux racines est négatif entre elles ; un trinôme avec $a < 0$ n'est jamais positif partout.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon donne un trinôme sous forme développée, à coefficients entiers et à sommet entier, et demande selon le tirage l'abscisse $\alpha$ du sommet, son ordonnée $\beta$, ou l'image $f(x_0)$ d'un point donné. Tout se calcule exactement. Un second modèle, voisin, propose quatre descriptions en français des variations (ou du signe) de $f$ et demande la bonne — les trois autres étant construites sur les erreurs de ce chapitre : sens inversé, $\alpha$ de signe faux, $\alpha$ et $\beta$ échangés.

Énoncé type. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$. Déterminer l'ordonnée $\beta$ du sommet de sa parabole.

Corrigé complet.

1. Identifier et orienter. $a = 3$, $b = -12$, $c = 7$. Comme $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut : le sommet est un minimum.

2. L'abscisse du sommet. Avec le signe « moins » et les parenthèses de $b$ :

3. L'ordonnée du sommet. C'est l'image de $\alpha$ :

L'ordonnée du sommet est $\beta = -5$ ; le sommet est $S(2\ ;\ -5)$, et la forme canonique s'écrit $f(x) = 3(x - 2)^2 - 5$.

4. Interpréter et contrôler. $f$ est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 2]$ puis croissante sur $[2\ ;\ +\infty[$ ; son minimum est $-5$, atteint en $2$. Contrôle par développement : $3(x - 2)^2 - 5 = 3x^2 - 12x + 12 - 5 = 3x^2 - 12x + 7$ ✔. Contrôle par symétrie : $f(1) = 3 - 12 + 7 = -2$ et $f(3) = 27 - 36 + 7 = -2$ ✔ — deux images égales de part et d'autre de $2$.

Auto-contrôle : vérifie que tu as calculé $\alpha$ avec le signe « moins » et le dénominateur $2a$, que $\beta$ est bien l'image de $\alpha$ (une ordonnée), et que la question posée portait sur $\beta$ et non sur $\alpha$ — les deux nombres sont différents, et le modèle tire l'un ou l'autre.