Fonctions polynômes du second degré : la parabole et son sommet

Dans les leçons précédentes, vous avez étudié la fonction carré $x \mapsto x^2$ : sa courbe est une parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, qui descend sur $]-\infty\ ;\ 0]$ et monte sur $[0\ ;\ +\infty[$, avec un minimum $0$ atteint en $0$. Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme

définie sur $\mathbb{R}$. Elle contient la fonction carré comme cas particulier ($a = 1$, $b = c = 0$), et la leçon tient en une idée : sa courbe est toujours une parabole, obtenue à partir de celle du carré en la déplaçant et en l'étirant. La forme canonique dit exactement comment.

La forme canonique, lue comme une transformation. La leçon précédente a montré que tout trinôme s'écrit

avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. Lisez cette écriture de l'intérieur vers l'extérieur, en partant de $x$ :

• $x - \alpha$ : on décale l'abscisse de $\alpha$ — la courbe glisse horizontalement, de $\alpha$ vers la droite si $\alpha > 0$ ;
• $(x - \alpha)^2$ : on élève au carré — c'est la parabole de référence, centrée en $\alpha$ au lieu de $0$ ;
• $a(x - \alpha)^2$ : on multiplie par $a$ — la parabole est étirée verticalement si $|a| > 1$, aplatie si $|a| < 1$, et retournée si $a < 0$ ;
• $a(x - \alpha)^2 + \beta$ : on ajoute $\beta$ — la courbe glisse verticalement de $\beta$.

Le point $(0\ ;\ 0)$ de la parabole de référence, son point le plus bas, est donc envoyé sur le point $S(\alpha\ ;\ \beta)$ : c'est le sommet de la parabole. Et l'axe de symétrie $x = 0$ du carré devient la droite verticale $x = \alpha$, axe de symétrie de la parabole : $f(\alpha + t) = f(\alpha - t)$ pour tout $t$, puisque $(t)^2 = (-t)^2$.

D'où vient $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ ? Il suffit de développer la forme canonique et de comparer avec la forme développée :

Le coefficient de $x$ doit être $b$, donc $-2a\alpha = b$, soit $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$. Et $\beta$ est la valeur de $f$ au sommet, $\beta = f(\alpha)$ : une fois $\alpha$ connu, il se calcule par simple substitution. (Avec $\Delta=b^2-4ac$, on peut aussi montrer que $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$, mais la substitution est plus sûre et ne demande pas le discriminant.)

Le sens de la parabole ne dépend que du signe de $a$ : tournée vers le haut si $a > 0$ (le sommet est le point le plus bas), vers le bas si $a < 0$ (le sommet est le point le plus haut). Ni $b$ ni $c$ n'y changent rien.

Les variations, démontrées sans dérivée. Le carré $(x - \alpha)^2$ est nul en $x = \alpha$ et d'autant plus grand que $x$ s'éloigne de $\alpha$, dans un sens ou dans l'autre : il décroît sur $]-\infty\ ;\ \alpha]$ et croît sur $[\alpha\ ;\ +\infty[$ — c'est le sens de variation de la fonction carré, transporté en $\alpha$. Multiplier par $a > 0$ conserve l'ordre des images ; multiplier par $a < 0$ le renverse ; ajouter $\beta$ ne change rien aux variations. D'où le résultat :

• si $a > 0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\ ;\ \alpha]$ puis croissante sur $[\alpha\ ;\ +\infty[$ ; elle admet un minimum, égal à $\beta$, atteint en $x = \alpha$ ;
• si $a < 0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\ ;\ \alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha\ ;\ +\infty[$ ; elle admet un maximum, égal à $\beta$, atteint en $x = \alpha$.

Remarquez la place de chaque nombre : $\alpha$ est une abscisse (là où le sens change), $\beta$ une ordonnée (la valeur extrême). Les échanger confond deux rôles, même si leurs valeurs numériques peuvent parfois être égales.

Le signe de $f(x)$. C'est la question « pour quels $x$ la courbe est-elle au-dessus de l'axe des abscisses ? », et la leçon précédente y a déjà répondu :

• si $\Delta > 0$, $f$ a deux racines $x_1 < x_2$, et $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur de $[x_1\ ;\ x_2]$, du signe contraire entre les racines ;
• si $\Delta = 0$, $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$, et $f(x_0) = 0$ : la parabole touche l'axe en son sommet ;
• si $\Delta < 0$, $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout réel $x$ : la parabole ne rencontre jamais l'axe.

La forme canonique et les racines sont cohérentes : lorsque $\Delta>0$, l’axe de symétrie passe au milieu des deux racines réelles, $\alpha = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$. C'est un contrôle gratuit dans les deux sens — des racines vers $\alpha$, ou de $\alpha$ vers la plausibilité des racines.

Quelle forme pour quelle question ? C'est la compétence centrale du chapitre : choisir l'écriture adaptée avant de calculer.

Un énoncé qui donne $f(x) = -2(x - 3)^2 + 8$ et demande le maximum de $f$ se traite en une ligne : $a = -2 < 0$, maximum $8$ atteint en $3$. Développer, puis recalculer $\alpha$ et $\beta$, serait défaire pour refaire. À l'inverse, pour trouver où $f$ s'annule, on résout $-2(x - 3)^2 + 8 = 0 \iff (x - 3)^2 = 4 \iff x = 1$ ou $x = 5$, sans discriminant : la forme canonique se prête directement à cette résolution.

Ce que dit un tableau de variations, et comment le décrire. Le tableau résume : les intervalles où $f$ monte ou descend, et la valeur de l'extremum. En mots, pour $a > 0$ et $\alpha = 2$ : « $f$ est décroissante sur $]-\infty\ ;\ 2]$ puis croissante sur $[2\ ;\ +\infty[$ ; son minimum est $\beta$, atteint en $2$ ». Le bornage des intervalles en $\alpha$ est fermé des deux côtés — $\alpha$ appartient aux deux intervalles, la fonction y est à la fois « fin de descente » et « début de montée ».

Énoncé. Un rectangle a pour côtés $x$ et $12-x$, en mètres, avec $2\leqslant x\leqslant5$. Déterminez l’aire maximale autorisée, puis les valeurs de $x$ donnant une aire d’au moins 32 m².

Choisir la fonction et son domaine. Les deux longueurs sont positives sur l’intervalle donné. L’aire vaut

La parabole complète a son sommet en $(6;36)$, mais $x=6$ est exclu par la contrainte. On ne peut donc pas annoncer 36 m² comme maximum du problème.

Restreindre les variations. Pour $2\leqslant x\leqslant5$, $x$ se rapproche de 6 quand il augmente : $(x-6)^2$ diminue, donc $A(x)$ augmente. Le maximum autorisé vaut $A(5)=35$ m² ; le minimum vaut $A(2)=20$ m².

Résoudre puis intersecter.

L’intersection avec $[2;5]$ est $[4;5]$. Vérification : $A(4)=32$, $A(5)=35$ et $A(3)=27<32$.

Méthode transférable. La forme canonique donne le sommet de la parabole entière ; le domaine concret décide si ce sommet est admissible. Résoudre une inégalité sans revenir à ce domaine donnerait ici des dimensions interdites.

Figure (SVG programmatique existant) : trois panneaux qui suivent l'ordre de la leçon — un exemple distinct du guidage, la transformation depuis la fonction carré, puis les deux orientations possibles.

• Panneau 1 — la parabole de $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$. Repère orthogonal, $x$ de $-1$ à $5$, $y$ de $-6$ à $6$. La courbe, tournée vers le bas, passe par les points cotés $(0\ ;\ -3)$, $(1\ ;\ 3)$, $(2\ ;\ 5)$, $(3\ ;\ 3)$, $(4\ ;\ -3)$. Le sommet $S(2\ ;\ 5)$ est marqué d'un disque plein et d'un cartouche « maximum $5$, atteint en $2$ ». L'axe de symétrie $x = 2$ est tracé en tirets, avec deux flèches horizontales de même longueur reliant $(1\ ;\ 3)$ et $(3\ ;\ 3)$ à l'axe, mention « $f(2 - t) = f(2 + t)$ ». Les deux racines $x_1 \approx 0{,}42$ et $x_2 \approx 3{,}58$ sont marquées sur l'axe des abscisses, avec leurs valeurs exactes $2 \mp \dfrac{\sqrt{10}}{2}$ en petit. Sous le repère, deux bandes : une bande de variations (flèche montante jusqu'à $2$, flèche descendante après) et une bande de signes (« $-$ », « $0$ », « $+$ », « $0$ », « $-$ »), alignées sur les abscisses $x_1$, $2$, $x_2$. La portion de courbe au-dessus de l'axe est tramée.
• Panneau 2 — depuis la fonction carré. Sur un même repère, en trois traits de plus en plus foncés : la parabole $y = x^2$ (trait fin), puis $y = -2x^2$ (retournée et étirée, trait moyen), puis $y = -2(x - 2)^2 + 5$ (trait épais). Deux flèches de déplacement partent du sommet $(0\ ;\ 0)$ de la parabole retournée : l'une horizontale, cotée « $+2$ », l'autre verticale, cotée « $+5$ », jusqu'à $S(2\ ;\ 5)$. Cartouche : « $a(x - \alpha)^2 + \beta$ : retourner et étirer ($a$), décaler ($\alpha$, $\beta$) ».
• Panneau 3 — $a > 0$ contre $a < 0$. Deux vignettes miniatures côte à côte : une parabole tournée vers le haut avec la mention « $a > 0$ : minimum $\beta$ en $\alpha$ » et ses flèches de variation (descend puis monte) ; une parabole tournée vers le bas avec « $a < 0$ : maximum $\beta$ en $\alpha$ » (monte puis descend). Les deux vignettes ont le même $\alpha$ et le même $\beta$, pour isoler l’effet du signe de $a$ sur l’orientation. Les lignes horizontales en tirets représentent le niveau du sommet, pas nécessairement l’axe des abscisses. Les mentions $f(x)\geqslant\beta$ et $f(x)\leqslant\beta$ comparent les images à l’extremum ; elles n’affirment pas que les deux courbes ont deux racines.

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 réunit sur une seule courbe les trois objets de la leçon : le sommet (forme canonique), l'axe de symétrie (au milieu des racines), et le signe (racines et signe de $a$). Le panneau 2 justifie le mot « canonique » : la parabole est celle du carré, transformée par trois opérations que l'écriture $a(x - \alpha)^2 + \beta$ énumère. Le panneau 3 isole ce que le signe de $a$ décide — l’orientation et la nature de l’extremum à $\alpha$ et $\beta$ fixés. Si l’on modifie $a$ en gardant plutôt $b$ et $c$ fixes, le sommet peut aussi changer de position.

La figure en détail : à gauche, une parabole tournée vers le bas passant par cinq points marqués : en abscisse zéro à la hauteur moins trois, en un à la hauteur trois, en deux à la hauteur cinq, en trois à la hauteur trois, en quatre à la hauteur moins trois ; son sommet est le point d'abscisse deux et de hauteur cinq, l'axe de symétrie est le trait vertical en tirets qui passe par ce sommet, et la courbe coupe l'axe horizontal en deux points, vers zéro virgule quarante-deux et vers trois virgule cinquante-huit ; la portion de courbe au-dessus de l'axe est tramée ; sous le repère, une bande de variations (montée jusqu'à deux, descente ensuite) et une bande de signes (moins, zéro, plus, zéro, moins). Au centre, trois paraboles superposées, de plus en plus épaisses : celle du carré, tournée vers le haut ; la même retournée vers le bas et étirée ; enfin cette dernière décalée de deux vers la droite et de cinq vers le haut, deux flèches marquant les deux déplacements. À droite, deux vignettes : une parabole tournée vers le haut, dont le sommet est un minimum, et une parabole tournée vers le bas, dont le sommet est un maximum, le sommet étant au même endroit dans les deux cas.