Mathématiques · Licence 2 · 1 leçon
Fiche de révision : Équations différentielles
L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.
Les notions de cette fiche
- Théorème de Cauchy–Lipschitz et solutions maximales — Problème de Cauchy pour une équation du premier ordre résolue en la dérivée, condition de Lipschitz locale en la variable d'état, existence et unicité locales par les approximations successives de Picard, solutions maximales et théorème de sortie de tout compact, lemme de Grönwall et dépendance continue aux conditions initiales, portrait de phase d'une équation autonome scalaire.
À maîtriser avant de commencer
Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.
- Équations différentielles y' = ay + b — Solutions de y' = ay, de y' = ay + b, solution vérifiant une condition initiale, interprétation (décroissance radioactive, charge d'un condensateur).
- Complétude et théorème du point fixe de Banach — Suites de Cauchy, espaces métriques complets, exemples et contre-exemples (l'ensemble des rationnels n'est pas complet), parties complètes d'un espace métrique, théorème du point fixe pour une application contractante d'un complet dans lui-même, majoration a priori de l'erreur après n itérations, méthode des approximations successives.
- Dérivée d'un produit, d'un quotient — Formules (uv)' = u'v + uv', (1/v)' = −v'/v², (u/v)' = (u'v − uv')/v², dérivée de √x et de 1/x.
Le début de la fiche
Extrait de la leçon « Cauchy-Lipschitz et solutions maximales », tel qu’il figure sur la fiche.
Retenir les relations
Une résolution complète indique la solution et son intervalle maximal pertinent. Le théorème prouve l'unicité dans un cadre donné ; la formule explicite révèle ici la limitation temporelle. Vérifiez toujours que le domaine choisi est un intervalle contenant .
Les pièges à éviter et la version imprimable sont réservés à votre compte.
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