Dériver un produit, un quotient : la fin du terme à terme

Vous savez dériver une somme terme à terme, et sortir une constante : $(u + v)' = u' + v'$ et $(k\,u)' = k\,u'$. Il est tentant de continuer sur cette lancée et d'écrire $(uv)' = u'v'$. Un exemple suffit à ruiner l'idée : prenez $u(x) = x$ et $v(x) = x$. Le produit est $uv = x^2$, dont la dérivée est $2x$. Mais $u' = 1$ et $v' = 1$, donc $u'v' = 1$. Le produit des dérivées n'est pas la dérivée du produit — pas même de loin.

L'image à garder : un rectangle qui grandit. Imaginez un rectangle dont la largeur $u$ et la hauteur $v$ dépendent toutes deux du temps. Son aire est $uv$. Pendant une courte durée, la largeur augmente de $\Delta u$ et la hauteur de $\Delta v$. L'aire gagnée se décompose en trois morceaux : une bande verticale d'aire $v \times \Delta u$, une bande horizontale d'aire $u \times \Delta v$, et un petit rectangle de coin d’aire $\Delta u \times \Delta v$. Divisez par la durée $h$ écoulée : les deux bandes donnent $v\,\dfrac{\Delta u}{h}$ et $u\,\dfrac{\Delta v}{h}$, qui tendent vers $v\,u'$ et $u\,v'$ ; le terme de coin divisé par $h$ s’écrit $h(\Delta u/h)(\Delta v/h)$ et tend vers 0 quand les deux facteurs sont dérivables. La dérivée du produit est donc la somme de deux termes, un pour chaque facteur qui varie :

Dérivée d'un produit. Si $u$ et $v$ sont dérivables sur un intervalle, alors $uv$ l'est aussi, et $(uv)' = u'v + uv'$.

Sur l'exemple $x \times x$ : $u'v + uv' = 1 \times x + x \times 1 = 2x$ ✔. La formule contient la règle $(k\,u)' = k\,u'$ comme cas particulier : si $v = k$ est constante, $v' = 0$ et il reste $u'k$.

La démonstration, avec la définition du nombre dérivé. En un point $a$, le taux de variation de $uv$ s'écrit, en ajoutant et retranchant $u(a + h)\,v(a)$ au numérateur :

Quand $h$ tend vers $0$, les deux quotients tendent vers $v'(a)$ et $u'(a)$ ; et $u(a + h)$ tend vers $u(a)$ — une fonction dérivable en $a$ ne fait pas de saut en $a$, propriété de continuité que l’on utilise ici comme un résultat admis. Le taux tend donc vers $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$. C'est bien la formule, et l'on y voit d'où viennent ses deux termes : de la décomposition « un facteur bouge pendant que l'autre est fixé ».

L'inverse, puis le quotient. Pour $v$ dérivable et ne s'annulant pas sur l'intervalle, le taux de variation de $\dfrac{1}{v}$ en $a$ se réduit au même dénominateur :

D'où $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$. Le quotient s'en déduit comme un produit, $\dfrac{u}{v} = u \times \dfrac{1}{v}$ :

Dérivée d'un quotient. Si $u$ et $v$ sont dérivables et si $v$ ne s'annule pas sur l'intervalle, alors $\dfrac{u}{v}$ est dérivable et $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

Deux détails de la formule sont des pièges à part entière : le numérateur est une différence dont l'ordre compte ($u'v$ d'abord, $uv'$ ensuite), et le dénominateur est élevé au carré. Le contrôle par le cas $u = 1$ est utile : on doit retrouver $-\dfrac{v'}{v^2}$, ce que $\dfrac{0 \times v - 1 \times v'}{v^2}$ donne bien.

Les fonctions dérivées à connaître. Les nombres dérivés calculés à la leçon précédente avec le taux de variation deviennent, en faisant varier le point, des fonctions dérivées :

Regardez les deux dernières lignes : l'ensemble de dérivabilité n'est pas toujours l'ensemble de définition. La racine carrée est définie en $0$ mais n'y est pas dérivable (tangente verticale) ; la fonction inverse est dérivable partout où elle est définie, et sa dérivée est toujours négative — elle ne fait que décroître, sur chacun de ses deux intervalles. Avec la règle de l'inverse, on retrouve d'ailleurs $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{(x)'}{x^2} = -\dfrac{1}{x^2}$.

La méthode en quatre temps. Face à un produit ou un quotient, la rédaction qui évite les erreurs est toujours la même :

1. Nommer $u$ et $v$ explicitement, en écrivant leurs expressions.
2. Dériver chacune séparément : $u'$ et $v'$, sans encore les assembler.
3. Assembler avec la formule, écrite en toutes lettres avant substitution : $u'v + uv'$ ou $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
4. Choisir une forme utile. Pour un quotient, on préfère ici développer et réduire le numérateur tout en gardant $v^2$ factorisé pour lire le signe. Selon l’objectif, développer le dénominateur peut aussi être pertinent : les deux formes sont égales.

Si la question ne porte que sur un nombre dérivé $f'(a)$, on peut évaluer les quatre nombres $u(a)$, $u'(a)$, $v(a)$, $v'(a)$ avant d'assembler : le calcul se fait alors sur quatre nombres, qui ne sont pas nécessairement entiers, plutôt que sur des expressions en $x$.

Un exemple de quotient, en entier. Soit $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ sur $]3\ ;\ +\infty[$ (le dénominateur ne s'y annule pas). $u = 2x + 1$, $u' = 2$ ; $v = x - 3$, $v' = 1$ :

Le numérateur est constant et négatif, le dénominateur un carré : $g'(x) < 0$ sur tout l'intervalle. On tient là, en une ligne, ce que la leçon sur les variations exploitera : le signe de la dérivée.

La dérivée de $x \mapsto g(ax + b)$. On utilise aussi une règle pour les fonctions de la forme $x \mapsto g(ax + b)$, où $g$ est dérivable et $a$, $b$ sont des réels : la dérivée est $x \mapsto a\,g'(ax + b)$. Le facteur $a$ vient de la vitesse à laquelle l'argument $ax + b$ varie. Deux exemples : la dérivée de $x \mapsto (3x - 1)^2$ est $3 \times 2(3x - 1) = 6(3x - 1)$, ce que le développement $9x^2 - 6x + 1$ confirme ($18x - 6$) ; la dérivée de $x \mapsto \sqrt{4x + 1}$ sur $\left]-\dfrac14\ ;\ +\infty\right[$ est $\dfrac{4}{2\sqrt{4x + 1}} = \dfrac{2}{\sqrt{4x + 1}}$. On limite ici les exemples de cette règle à l’argument affine. La dérivation d’une composée générale, comme $\sqrt{x^2+1}$, est présentée dans une autre leçon.

Le domaine, toujours. Pour appliquer directement ces règles, on suppose les facteurs ou les fonctions du quotient dérivables sur l’intervalle considéré : pas de racine carrée en $0$, pas de quotient là où $v$ s'annule. Si l’intervalle n’est pas précisé par l’énoncé, il faut l’établir avant de dériver.

Énoncé. On définit $f(x)=\dfrac{(x-1)(x^2+2)}{x-1}$ sur $\mathbb R\setminus\{1\}$. Calculez sa dérivée par la règle du quotient puis par simplification, et sa tangente en 2. Peut-on en déduire $f'(1)$ ?

Nommer les fonctions. $u(x)=(x-1)(x^2+2)$ et $v(x)=x-1$. Par la règle du produit, $u'(x)=x^2+2+2x(x-1)$, tandis que $v'(x)=1$.

Assembler pour $x\neq1$.

Les deux contributions identiques s’annulent, puis le facteur $(x-1)^2$ se simplifie là où il est non nul.

Contrôler par une autre écriture. Sur le domaine initial, $f(x)=x^2+2$, donc $f'(x)=2x$. En 2, $f(2)=6$ et $f'(2)=4$ ; la tangente vaut $y=4(x-2)+6=4x-2$.

Ne pas réintroduire un point exclu. La simplification ne définit pas $f$ en 1 : $f'(1)$ n’existe donc pas pour cette fonction. On peut définir une autre fonction $F(x)=x^2+2$ sur tout $\mathbb R$ ; ce prolongement vérifie $F(1)=3$ et $F'(1)=2$. Il faut nommer ce changement de fonction, pas modifier silencieusement le domaine.

Figure (SVG programmatique existant) : deux panneaux — la raison géométrique de la formule du produit, puis la courbe d’un quotient distinct du guidage avec ses deux tangentes.

• Panneau 1 — l'aire $uv$ et son accroissement. Un rectangle de largeur $u$ et de hauteur $v$, tramé uniformément, avec ses côtés cotés « $u$ » et « $v$ ». Il est prolongé à droite d'une bande verticale de largeur $\Delta u$ (tramée d'une deuxième texture, cotée « aire $v\,\Delta u$ »), en haut d'une bande horizontale de hauteur $\Delta v$ (troisième texture, cotée « aire $u\,\Delta v$ »), et dans le coin supérieur droit d’un petit rectangle $\Delta u\times\Delta v$ (quatrième texture, hachures serrées, coté « négligeable »). Sous la figure, l'égalité écrite en trois couleurs correspondant aux textures : « accroissement de l'aire $= v\,\Delta u + u\,\Delta v + \Delta u\,\Delta v$ », puis, en dessous, « divisé par $h$, quand $h \to 0$ : $(uv)' = u'v + uv'$ ». Un insert barré montre un unique petit rectangle de coin avec la mention « $u'v'$ ne représente pas les deux contributions du premier ordre ».
• Panneau 2 — la courbe de $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$. Repère orthonormé, $x$ de $-3$ à $3$, $y$ de $-1$ à $2$. La courbe, qui passe par $(0\ ;\ 1)$, $(1\ ;\ 1{,}5)$, $(-1\ ;\ -0{,}5)$ et $(3\ ;\ 0{,}7)$, avec son maximum marqué d'un disque près de $x \approx 0{,}62$. Deux tangentes en tirets : en $(0\ ;\ 1)$, de pente $2$, avec un triangle de pente coté « $g'(0) = 2$ » ; en $(1\ ;\ 1{,}5)$, de pente $-0{,}5$, triangle coté « $g'(1) = -0{,}5$ ». Au sommet, une tangente horizontale en trait fin avec la mention « $g' = 0$ ». Cartouche : « $g'(x) = \dfrac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}$ : le signe du numérateur donne le sens ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 est l'argument de la leçon rendu visible : quand deux facteurs varient, l'aire gagne deux bandes, une par facteur, et le produit des accroissements divisé par $h$ tend vers 0 sous les hypothèses de dérivabilité — la formule a deux termes parce qu'il y a deux bandes. Le panneau 2 montre ce que fournit une dérivée de quotient correctement calculée : la pente exacte en chaque point, et, pour la racine positive représentée ici, un maximum établi par le passage du signe positif au signe négatif ; une formule au numérateur inversé y aurait donné des pentes de signes contraires, une courbe qui descendrait en $0$ et monterait en $1$, ce que le tracé contredit à l'œil.

La figure en détail : à gauche, un rectangle tramé uniformément, prolongé d'une bande verticale à droite, d'une bande horizontale en haut et d’un petit rectangle dans le coin supérieur droit, chacune de ces trois pièces portant une trame différente ; sous le rectangle, une égalité écrite avec les mêmes trames dit que l'accroissement de l'aire est la somme des deux bandes et du petit rectangle, et qu'à la limite la contribution du coin divisée par $h$ tend vers 0 ; un insert barré montre le petit rectangle seul, pour rappeler que le produit des deux dérivées ne donne pas les deux contributions du premier ordre. À droite, la courbe d’un quotient distinct du guidage dans un repère : elle passe par le point d'abscisse zéro et de hauteur un, monte jusqu'à un sommet situé vers zéro virgule six, où une tangente horizontale fine la touche, puis redescend en passant par le point d'abscisse un et de hauteur un et demi ; deux tangentes en tirets sont tracées, l'une en zéro montant de deux par unité, l'autre en un descendant d'un demi par unité, chacune avec son triangle de pente.