Dériver un produit, un quotient : la fin du terme à terme

Tu sais dériver une somme terme à terme, et sortir une constante : $(u + v)' = u' + v'$ et $(k\,u)' = k\,u'$. Il est tentant de continuer sur cette lancée et d'écrire $(uv)' = u'v'$. Un exemple suffit à ruiner l'idée : prends $u(x) = x$ et $v(x) = x$. Le produit est $uv = x^2$, dont la dérivée est $2x$. Mais $u' = 1$ et $v' = 1$, donc $u'v' = 1$. Le produit des dérivées n'est pas la dérivée du produit — pas même de loin.

L'image à garder : un rectangle qui grandit. Imagine un rectangle dont la largeur $u$ et la hauteur $v$ dépendent toutes deux du temps. Son aire est $uv$. Pendant une courte durée, la largeur augmente de $\Delta u$ et la hauteur de $\Delta v$. L'aire gagnée se décompose en trois morceaux : une bande verticale d'aire $v \times \Delta u$, une bande horizontale d'aire $u \times \Delta v$, et un petit carré de coin d'aire $\Delta u \times \Delta v$. Divise par la durée $h$ écoulée : les deux bandes donnent $v\,\dfrac{\Delta u}{h}$ et $u\,\dfrac{\Delta v}{h}$, qui tendent vers $v\,u'$ et $u\,v'$ ; le coin, produit de deux petites quantités, devient négligeable. La dérivée du produit est donc la somme de deux termes, un pour chaque facteur qui varie :

Dérivée d'un produit. Si $u$ et $v$ sont dérivables sur un intervalle, alors $uv$ l'est aussi, et $(uv)' = u'v + uv'$.

Sur l'exemple $x \times x$ : $u'v + uv' = 1 \times x + x \times 1 = 2x$ ✔. La formule contient la règle $(k\,u)' = k\,u'$ comme cas particulier : si $v = k$ est constante, $v' = 0$ et il reste $u'k$.

La démonstration, avec la définition du nombre dérivé. En un point $a$, le taux de variation de $uv$ s'écrit, en ajoutant et retranchant $u(a + h)\,v(a)$ au numérateur :

Quand $h$ tend vers $0$, les deux quotients tendent vers $v'(a)$ et $u'(a)$ ; et $u(a + h)$ tend vers $u(a)$ — une fonction dérivable en $a$ ne fait pas de saut en $a$, propriété que l'on admet en première et que la terminale nommera continuité. Le taux tend donc vers $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$. C'est bien la formule, et l'on y voit d'où viennent ses deux termes : de la décomposition « un facteur bouge pendant que l'autre est fixé ».

L'inverse, puis le quotient. Pour $v$ dérivable et ne s'annulant pas sur l'intervalle, le taux de variation de $\dfrac{1}{v}$ en $a$ se réduit au même dénominateur :

D'où $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$. Le quotient s'en déduit comme un produit, $\dfrac{u}{v} = u \times \dfrac{1}{v}$ :

Dérivée d'un quotient. Si $u$ et $v$ sont dérivables et si $v$ ne s'annule pas sur l'intervalle, alors $\dfrac{u}{v}$ est dérivable et $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

Deux détails de la formule sont des pièges à part entière : le numérateur est une différence dont l'ordre compte ($u'v$ d'abord, $uv'$ ensuite), et le dénominateur est élevé au carré. Le contrôle par le cas $u = 1$ est utile : on doit retrouver $-\dfrac{v'}{v^2}$, ce que $\dfrac{0 \times v - 1 \times v'}{v^2}$ donne bien.

Les fonctions dérivées à connaître. Les nombres dérivés calculés à la leçon précédente avec le taux de variation deviennent, en faisant varier le point, des fonctions dérivées :

Regarde les deux dernières lignes : l'ensemble de dérivabilité n'est pas toujours l'ensemble de définition. La racine carrée est définie en $0$ mais n'y est pas dérivable (tangente verticale) ; la fonction inverse est dérivable partout où elle est définie, et sa dérivée est toujours négative — elle ne fait que décroître, sur chacun de ses deux intervalles. Avec la règle de l'inverse, on retrouve d'ailleurs $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{(x)'}{x^2} = -\dfrac{1}{x^2}$.

La méthode en quatre temps. Face à un produit ou un quotient, la rédaction qui évite les erreurs est toujours la même :

1. Nommer $u$ et $v$ explicitement, en écrivant leurs expressions.
2. Dériver chacune séparément : $u'$ et $v'$, sans encore les assembler.
3. Assembler avec la formule, écrite en toutes lettres avant substitution : $u'v + uv'$ ou $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
4. Développer et réduire le résultat (le numérateur seulement, pour un quotient : le dénominateur reste $v^2$ sous forme factorisée, c'est plus lisible et cela évite une erreur de développement).

Si la question ne porte que sur un nombre dérivé $f'(a)$, on peut évaluer les quatre nombres $u(a)$, $u'(a)$, $v(a)$, $v'(a)$ avant d'assembler : le calcul se fait alors sur des entiers, et non sur des expressions.

Un exemple de quotient, en entier. Soit $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ sur $]3\ ;\ +\infty[$ (le dénominateur ne s'y annule pas). $u = 2x + 1$, $u' = 2$ ; $v = x - 3$, $v' = 1$ :

Le numérateur est constant et négatif, le dénominateur un carré : $g'(x) < 0$ sur tout l'intervalle. On tient là, en une ligne, ce que la leçon sur les variations exploitera : le signe de la dérivée.

La dérivée de $x \mapsto g(ax + b)$. Le programme ajoute une règle pour les fonctions de la forme $x \mapsto g(ax + b)$, où $g$ est dérivable et $a$, $b$ sont des réels : la dérivée est $x \mapsto a\,g'(ax + b)$. Le facteur $a$ vient de la vitesse à laquelle l'argument $ax + b$ varie. Deux exemples : la dérivée de $x \mapsto (3x - 1)^2$ est $3 \times 2(3x - 1) = 6(3x - 1)$, ce que le développement $9x^2 - 6x + 1$ confirme ($18x - 6$) ; la dérivée de $x \mapsto \sqrt{4x + 1}$ sur $\left]-\dfrac14\ ;\ +\infty\right[$ est $\dfrac{4}{2\sqrt{4x + 1}} = \dfrac{2}{\sqrt{4x + 1}}$. Cette règle est le seul cas de « fonction de fonction » au programme de première ; la dérivation d'une composée générale, comme $\sqrt{x^2 + 1}$, attend la terminale.

Le domaine, toujours. Une formule de dérivation n'a de sens que sur un intervalle où toutes les fonctions en jeu sont dérivables : pas de racine carrée en $0$, pas de quotient là où $v$ s'annule. Un énoncé de première précise l'intervalle ; s'il ne le fait pas, c'est à toi de l'écrire avant de dériver.

Énoncé. 1) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2 + 1)(3x - 2)$. Calculer $f'(x)$, puis $f'(1)$. 2) Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$. Calculer $g'(x)$, puis $g'(0)$ et $g'(1)$.

1) Le produit.

Étape 1 — nommer. $u(x) = x^2 + 1$ et $v(x) = 3x - 2$.

Étape 2 — dériver séparément. $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = 3$.

Étape 3 — assembler. $(uv)' = u'v + uv'$ :

Étape 4 — contrôler par une autre voie. Ici, on peut développer $f$ d'abord : $f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2$, et dériver terme à terme : $f'(x) = 9x^2 - 4x + 3$ ✔. Les deux méthodes doivent coïncider — quand le développement est possible, c'est le meilleur contrôle de la formule du produit.

Étape 5 — la valeur. $f'(1) = 9 - 4 + 3 = 8$. Le « terme à terme » aurait donné $u'(1)\,v'(1) = 2 \times 3 = 6$, qui n'est pas $f'(1)$.

2) Le quotient.

Étape 1 — le domaine. $x^2 + 1 \geqslant 1$ pour tout réel $x$ : le dénominateur ne s'annule jamais, $g$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

Étape 2 — nommer et dériver. $u(x) = 2x + 1$, $u'(x) = 2$ ; $v(x) = x^2 + 1$, $v'(x) = 2x$.

Étape 3 — assembler, dans l'ordre. $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ :

Le dénominateur reste sous la forme $(x^2 + 1)^2$ : le développer n'apporterait rien.

Étape 4 — les valeurs.

Lecture : en $0$, la courbe de $g$ monte avec une pente de $2$ ; en $1$, elle descend avec une pente de $-0{,}5$. Entre les deux, la dérivée s'est annulée — le numérateur $-2x^2 - 2x + 2 = -2(x^2 + x - 1)$ a une racine entre $0$ et $1$ (elle vaut $\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0{,}618$) : $g$ y atteint un maximum. La leçon sur les variations fera de cette remarque une méthode.

Le moment décisif : à l'étape 3 du point 2, deux erreurs guettent. Inverser le numérateur ($uv' - u'v$) donne $g'(1) = +0{,}5$ : le signe de la pente est faux, la courbe « monte » là où elle descend. Oublier le carré du dénominateur donne $g'(1) = \dfrac{-2}{2} = -1$ : bonne direction, mauvaise valeur. Le contrôle par le cas $u = 1$, ou par une valeur simple comme $g'(0)$, permet de repérer la formule mal écrite.

Figure (SVG programmatique à produire) : deux panneaux — la raison géométrique de la formule du produit, puis la courbe du quotient de l'exemple avec ses deux tangentes.

• Panneau 1 — l'aire $uv$ et son accroissement. Un rectangle de largeur $u$ et de hauteur $v$, tramé uniformément, avec ses côtés cotés « $u$ » et « $v$ ». Il est prolongé à droite d'une bande verticale de largeur $\Delta u$ (tramée d'une deuxième texture, cotée « aire $v\,\Delta u$ »), en haut d'une bande horizontale de hauteur $\Delta v$ (troisième texture, cotée « aire $u\,\Delta v$ »), et dans le coin supérieur droit d'un petit carré $\Delta u \times \Delta v$ (quatrième texture, hachures serrées, coté « négligeable »). Sous la figure, l'égalité écrite en trois couleurs correspondant aux textures : « accroissement de l'aire $= v\,\Delta u + u\,\Delta v + \Delta u\,\Delta v$ », puis, en dessous, « divisé par $h$, quand $h \to 0$ : $(uv)' = u'v + uv'$ ». Un insert barré montre un unique petit carré de coin avec la mention « $u'v'$ ne compte que le coin : ce n'est pas la dérivée ».
• Panneau 2 — la courbe de $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$. Repère orthonormé, $x$ de $-3$ à $3$, $y$ de $-1$ à $2$. La courbe, qui passe par $(0\ ;\ 1)$, $(1\ ;\ 1{,}5)$, $(-1\ ;\ -0{,}5)$ et $(3\ ;\ 0{,}7)$, avec son maximum marqué d'un disque près de $x \approx 0{,}62$. Deux tangentes en tirets : en $(0\ ;\ 1)$, de pente $2$, avec un triangle de pente coté « $g'(0) = 2$ » ; en $(1\ ;\ 1{,}5)$, de pente $-0{,}5$, triangle coté « $g'(1) = -0{,}5$ ». Au sommet, une tangente horizontale en trait fin avec la mention « $g' = 0$ ». Cartouche : « $g'(x) = \dfrac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}$ : le signe du numérateur donne le sens ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 est l'argument de la leçon rendu visible : quand deux facteurs varient, l'aire gagne deux bandes, une par facteur, et le produit des deux petits accroissements ne pèse rien à la limite — la formule a deux termes parce qu'il y a deux bandes. Le panneau 2 montre ce que fournit une dérivée de quotient correctement calculée : la pente exacte en chaque point, et un maximum là où elle s'annule ; une formule au numérateur inversé y aurait donné des pentes de signes contraires, une courbe qui descendrait en $0$ et monterait en $1$, ce que le tracé contredit à l'œil.

La figure en détail : à gauche, un rectangle tramé uniformément, prolongé d'une bande verticale à droite, d'une bande horizontale en haut et d'un petit carré dans le coin supérieur droit, chacune de ces trois pièces portant une trame différente ; sous le rectangle, une égalité écrite avec les mêmes trames dit que l'accroissement de l'aire est la somme des deux bandes et du petit carré, et qu'à la limite le petit carré ne compte plus ; un insert barré montre le petit carré seul, pour rappeler que le produit des deux dérivées ne compte que le coin. À droite, la courbe du quotient de l'exemple dans un repère : elle passe par le point d'abscisse zéro et de hauteur un, monte jusqu'à un sommet situé vers zéro virgule six, où une tangente horizontale fine la touche, puis redescend en passant par le point d'abscisse un et de hauteur un et demi ; deux tangentes en tirets sont tracées, l'une en zéro montant de deux par unité, l'autre en un descendant d'un demi par unité, chacune avec son triangle de pente.

Domaine de validité. Chaque formule suppose $u$ et $v$ dérivables sur l'intervalle considéré, et $v$ non nulle sur cet intervalle pour l'inverse et le quotient. La racine carrée n'est dérivable que sur $]0\ ;\ +\infty[$, la fonction inverse sur $\mathbb{R}^{\ast}$ — c'est-à-dire sur $]-\infty\ ;\ 0[$ et sur $]0\ ;\ +\infty[$ séparément. La règle de $g(ax + b)$ ne s'applique qu'à un argument affine ; $\sqrt{x^2 + 1}$ ou $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ se dérivent par la règle de l'inverse ou attendent la terminale.

Écritures. Les notations $u'v + uv'$ et $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ sont des égalités entre fonctions ; en un point $a$, on écrit $f'(a) = u'(a)\,v(a) + u(a)\,v'(a)$, avec quatre nombres. Un quotient dérivé se présente avec le numérateur développé et réduit, le dénominateur sous forme $v^2$ factorisée. Une dérivée de $\dfrac{k}{x}$ s'écrit $-\dfrac{k}{x^2}$ : le coefficient $k$ se conserve, comme pour toute constante multiplicative.

Contrôles gratuits. Quand un produit peut se développer, le dériver des deux façons doit donner le même résultat. Dans la formule du quotient, poser $u = 1$ doit redonner la formule de l'inverse. Et une dérivée de $\dfrac{k}{x}$ avec $k > 0$ est négative partout : un résultat positif est faux.

1. Dériver un produit terme à terme : $(uv)' = u'v'$. Contre-exemple immédiat : $(x \times x)' = 2x$, alors que $1 \times 1 = 1$. La dérivée d'un produit a deux termes, un pour chaque facteur qui varie : $u'v + uv'$. Le rectangle de la figure explique pourquoi — et pourquoi le produit $u'v'$ (le coin) ne compte pas.
2. Inverser l'ordre dans le numérateur du quotient. $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, dans cet ordre : la dérivée du numérateur vient en premier. Écrire $uv' - u'v$ change le signe de toute la dérivée, donc le sens de variation. Contrôle : avec $u = 1$, on doit retrouver $-\dfrac{v'}{v^2}$, négatif si $v' > 0$.
3. Oublier le carré au dénominateur. La dérivée de $\dfrac{u}{v}$ a $v^2$ au dénominateur, pas $v$. La valeur obtenue sans le carré est fausse d'un facteur $v(a)$ — dans l'exemple, $-1$ au lieu de $-0{,}5$.
4. Dériver un quotient terme à terme : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v'}$. Même erreur que pour le produit, avec en prime une division par $v'$ qui peut être nul. La dérivée de $\dfrac{1}{x}$ serait alors $\dfrac{0}{1} = 0$ — or elle vaut $-\dfrac{1}{x^2}$.
5. Sortir la formule du produit pour $3x^2$. Une constante multiplicative se conserve : $(3x^2)' = 3 \times 2x = 6x$. La formule du produit donne le même résultat ($0 \times x^2 + 3 \times 2x$), mais c'est un détour. La formule du produit sert quand les deux facteurs dépendent de $x$.
6. Dériver $\sqrt{x}$ en $0$, ou $\dfrac{1}{x}$ « sur $\mathbb{R}$ ». La racine carrée n'est pas dérivable en $0$ ; la fonction inverse n'est pas définie en $0$. Avant de dériver, nomme l'intervalle : $]0\ ;\ +\infty[$ pour la racine, $\mathbb{R}^{\ast}$ pour l'inverse, « là où $v$ ne s'annule pas » pour un quotient.
7. Oublier le facteur $a$ dans $g(ax + b)$. La dérivée de $(3x - 1)^2$ est $6(3x - 1)$, pas $2(3x - 1)$ : le $3$ vient de la vitesse de l'argument. Le développement ($9x^2 - 6x + 1$, dérivée $18x - 6$) le confirme.
8. Développer le dénominateur $v^2$ d'un quotient. $(x^2 + 1)^2$ est plus lisible que $x^4 + 2x^2 + 1$, et son signe (positif) se voit d'un coup d'œil. Le développer multiplie les risques d'erreur — dont l'oubli du double produit — sans rien apporter.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon donne une fonction produit, quotient ou inverse de fonctions affines ou trinômes à coefficients entiers, et demande la valeur du nombre dérivé en un point entier où le dénominateur vaut $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 5$ ou $\pm 10$ — le résultat est un décimal exact. Deux familles annexes portent sur $k\sqrt{x}$ en un carré parfait et sur $\dfrac{k}{x}$. Le corrigé nomme chaque fois la valeur fausse obtenue par l'erreur classique (terme à terme, numérateur inversé, carré oublié). Un second modèle, voisin, fait choisir l'expression développée de $(uv)'$ ou de $\left(\dfrac{u}{v}\right)'$ parmi quatre calculées.

Énoncé type. Soit $f$ la fonction définie, là où $v(x) = x + 3$ ne s'annule pas, par $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$. Calculer $f'(2)$.

Corrigé complet.

1. Nommer et dériver séparément. $f = \dfrac{u}{v}$ avec $u(x) = 2x - 1$ et $v(x) = x + 3$, donc $u'(x) = 2$ et $v'(x) = 1$. La formule est $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, valable ici puisque $v(2) = 5 \neq 0$.

2. Les quatre nombres en $2$. $u(2) = 3$, $u'(2) = 2$, $v(2) = 5$, $v'(2) = 1$.

3. Assembler. Numérateur : $u'(2)\,v(2) - u(2)\,v'(2) = 2 \times 5 - 3 \times 1 = 10 - 3 = 7$. Dénominateur : $v(2)^2 = 5^2 = 25$. Donc

4. Contrôler et situer. Numérateur inversé : $\dfrac{3 - 10}{25} = -0{,}28$, signe faux. Carré oublié : $\dfrac{7}{5} = 1{,}4$, valeur fausse. On peut aussi calculer la fonction dérivée entière, $f'(x) = \dfrac{2(x + 3) - (2x - 1)}{(x + 3)^2} = \dfrac{7}{(x + 3)^2}$, et vérifier $f'(2) = \dfrac{7}{25}$ ✔ ; au passage, ce numérateur constant et positif dit que $f$ est croissante sur chacun de ses intervalles de définition.

Auto-contrôle : vérifie que tu as écrit la formule avant d'y substituer, que le numérateur commence par $u'v$, que le dénominateur est $v(2)^2$ et non $v(2)$, et que $v(2) \neq 0$ a été constaté. Sur la famille « produit », vérifie que ta dérivée a bien deux termes ; sur les familles $\sqrt{x}$ et $\dfrac{k}{x}$, que le point est bien dans l'intervalle de dérivabilité.