Fiche de révision : Structures algébriques

Les notions de cette fiche

• Anneaux, idéaux et anneaux quotients — Anneau, sous-anneau, anneau commutatif unitaire, éléments inversibles et diviseurs de zéro, anneau intègre, corps ; morphisme d'anneaux, noyau et image ; idéal, idéal engendré, idéaux de l'anneau des entiers relatifs et de l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps ; anneau quotient et passage au quotient d'un morphisme ; l'anneau des classes de reste modulo n, ses éléments inversibles et le critère qui en fait un corps ; caractéristique d'un anneau.
• Théorème de Lagrange, sous-groupes distingués et groupes quotients — Sous-groupe engendré par une partie, ordre d'un élément ; classes à gauche modulo un sous-groupe, indice, théorème de Lagrange et ses conséquences (l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe, tout groupe d'ordre premier est cyclique) ; sous-groupe distingué, groupe quotient et sa loi, projection canonique ; premier théorème d'isomorphisme ; groupe symétrique : décomposition en cycles à supports disjoints, transpositions, signature d'une permutation et groupe alterné.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

• Divisibilité et nombres premiers — Critères de divisibilité, diviseurs et multiples, décomposition en produit de facteurs premiers, fractions irréductibles.
• Opérations sur les entiers — Additionner, soustraire, multiplier et diviser des entiers naturels ; priorités opératoires ; division euclidienne.

S’entraîner sur ces notions

• S’entraîner : Anneaux et éléments inversibles
• S’entraîner : Classes, quotients et théorème de Lagrange

Pour aller plus loin

• Algèbre bilinéaire et hermitienne
• Analyse complexe
• Équations différentielles
• Intégration
• Probabilités
• Topologie et analyse
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