Équations différentielles y′ = ay + b

Les équations algébriques étudiées précédemment avaient pour inconnue un nombre. Une équation différentielle a pour inconnue une fonction, et elle relie cette fonction à sa dérivée. Résoudre, c'est trouver toutes les fonctions qui vérifient la relation.

Le cas fondateur : $y' = ay$. Chercher une fonction égale à sa propre dérivée, à un facteur $a$ près, c'est exactement la propriété qui définit l'exponentielle. On démontre en terminale que les solutions sur $\mathbb{R}$ de

sont toutes les fonctions $x \mapsto C\,e^{a x}$, où $C$ est une constante réelle. Il y en a une infinité — une par valeur de $C$ — et il n'y en a pas d'autres.

Deux erreurs de forme à écarter tout de suite. La constante multiplie l'exponentielle, elle ne s'y ajoute pas : $x \mapsto e^{ax}+C$ n’est pas solution si $aC\neq0$, car sa dérivée vaut $a\,e^{ax}$ alors que $a$ fois la fonction vaut $a\,e^{ax} + aC$. Et le coefficient $a$ se retrouve dans l'exposant, pas devant.

Le cas affine : $y'=ay+b$. Les coefficients a et b sont constants. Si $a=0$, on intègre $y'=b$ : $y(x)=bx+C$. Si $b=0$ aussi, toutes les solutions sont constantes ; sinon aucune n’est constante. Pour la méthode suivante, on suppose $a\neq0$ et on ajoute un terme constant. La méthode tient en trois temps, toujours les mêmes :

1. l'équation homogène $y' = ay$ a pour solutions $x \mapsto C\,e^{ax}$ ;
2. une solution particulière constante : on cherche une fonction constante $y = k$. Sa dérivée est nulle, donc $k$ doit vérifier $0 = a k + b$, c'est-à-dire $k = -\dfrac{b}{a}$ ;
3. la somme : les solutions de $y' = ay + b$ sont les fonctions

Le terme $-\dfrac{b}{a}$ n'est pas un détail décoratif : c'est lui qui distingue l'équation avec second membre de l'équation homogène, et l’oublier change en général l’équation résolue.

Une seule solution : la condition initiale. Une infinité de solutions, cela ne décrit aucun phénomène précis. Une condition initiale — le plus souvent $y(0) = y_0$ — en sélectionne exactement une. On remplace $x$ par $0$ dans l'expression, on se souvient que $e^{0} = 1$, et l'on résout l'équation du premier degré obtenue :

Quand la condition donnée porte sur $f(0)$, c’est la valeur de la fonction qu’il faut utiliser. Une condition sur la dérivée serait une autre donnée ; on ne les intervertit pas.

À quoi cela sert. Lorsque l’on suppose une variation proportionnelle à une grandeur ou à son écart à une valeur constante, on obtient ce modèle sur le domaine de validité retenu : décroissance radioactive, charge et décharge d'un condensateur, refroidissement d'un corps, cinétique chimique d'ordre 1, croissance d'une population limitée par un prélèvement constant.

Le comportement à l’infini, pour $a\neq0$. Écrivons la solution sous la forme $f(x) = C\,e^{ax} + \ell$ avec $\ell = -\dfrac{b}{a}$. Deux régimes, selon le signe de $a$ :

• si $a < 0$, alors $e^{ax} \to 0$ quand $x \to +\infty$, et $f(x) \to \ell$. La solution tend vers l'équilibre $-\dfrac{b}{a}$, quelle que soit la condition initiale. C'est le cas de tous les modèles de relaxation : un condensateur qui se charge, un corps qui prend la température de la pièce ;
• si $a > 0$, alors $e^{ax} \to +\infty$ et, si $C\neq0$, la solution s’éloigne indéfiniment de $\ell$ (vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $C$). Si $C=0$, la solution reste au contraire constante, même pour $a>0$.

L'équilibre $\ell$ est aussi la solution constante de l'équation : partir exactement à $y_0 = \ell$ donne $C = 0$ et une fonction constante. C'est le seul cas où l'exponentielle disparaît.

Sens de variation et signe de l'écart. Puisque $f(x) - \ell = C\,e^{ax}$ et que l'exponentielle est strictement positive, l'écart à l'équilibre garde le signe de $C$ pour tout $x$ : une solution ne traverse jamais son équilibre. Et $f'(x) = aC\,e^{ax}$ garde lui aussi un signe constant : toute solution de $y' = ay + b$ est monotone sur $\mathbb{R}$.

Le temps caractéristique. En sciences, on écrit souvent l'équation sous la forme

où $\tau > 0$ est le temps caractéristique (ou constante de temps). La solution s'écrit alors $y(t) = \ell + (y_0 - \ell)\,e^{-t/\tau}$, et $\tau$ se lit directement : au bout d'une durée $\tau$, l'écart à l'équilibre a été divisé par $e \approx 2{,}718$, soit environ $37\ \%$ de l'écart initial restant ; au bout de $5\tau$, il en reste moins de $1\ \%$. C'est ce qui rend $\tau$ utile : il donne l'ordre de grandeur de la durée du régime transitoire, sans aucun calcul.

La demi-vie. Pour une équation homogène $y' = -\lambda y$ avec $\lambda > 0$ — la décroissance radioactive, par exemple —, la demi-vie est la durée $T$ au bout de laquelle il reste la moitié de la quantité initiale. Elle vérifie $e^{-\lambda T} = \dfrac{1}{2}$, d'où

Remarquable : elle ne dépend pas de la quantité initiale. Cette indépendance de la quantité initiale découle ici de la loi exponentielle à taux constant. Pour un échantillon radioactif fini, N représente une valeur moyenne du modèle, pas un nombre individuel nécessairement divisé exactement par deux.

Trois modèles à reconnaître. Ils ont tous la même forme mathématique, et c'est le point de la leçon.

Ces modèles supposent respectivement un inventaire fermé à taux constant, un circuit RC idéal avec R,C strictement positifs et tension E constante, et un corps à température homogène dans un milieu extérieur constant avec coefficient k positif constant. Dans les trois cas, on reconnaît $y' = ay + b$ avec $a < 0$, et l'équilibre $-\dfrac{b}{a}$ est la valeur physique vers laquelle le système relaxe. Savoir passer de la phrase (« la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart de température ») à l'équation est la moitié du travail.

Contrôler sa réponse. Deux vérifications, toutes deux rapides et toutes deux obligatoires : dériver la fonction trouvée et la reporter dans l'équation ; puis calculer sa valeur en $0$ et la comparer à la condition initiale. Une expression peut vérifier l'équation sans vérifier la condition — c'est le cas de toute autre valeur de $C$ — et réciproquement.

Une grandeur y suit $y'=-y+2$ pour $0\leqslant t<1$, avec $y(0)=0$. À t=1, l’apport est arrêté : pour $t>1$, elle suit $y'=-y$. On impose que y reste continue à la transition. Ces équations sont posées comme modèle, sans mesure physique attribuée.

Premier régime. L’équilibre vaut 2. Les solutions sont $y(t)=Ce^{-t}+2$ et $y(0)=0$ donne C=−2, donc $y(t)=2(1-e^{-t})$. La valeur de raccordement est $y(1)=2(1-e^{-1})$.

Second régime. Utilisons le temps écoulé depuis l’arrêt : $y(t)=De^{-(t-1)}$. La continuité impose $D=2(1-e^{-1})$. La solution raccordée est ainsi

Contrôler les équations et le maximum. Avant l’arrêt, $y'=2e^{-t}>0$ et $-y+2=2e^{-t}$. Après l’arrêt, y est positive et $y'=-y<0$. Le maximum est donc $2(1-e^{-1})\approx1{,}2642$, atteint à t=1. Ensuite y tend vers 0.

Portée du raccordement. Les dérivées à gauche et à droite valent respectivement $2/e$ et $-2(1-e^{-1})$ ; elles sont différentes. La fonction est continue mais non dérivable à t=1. Elle satisfait les deux équations sur leurs intervalles respectifs, pas une unique équation à coefficients constants sur toute la durée.

Figure (fig.math.ode-solution-family, SVG programmatique existant) : deux panneaux.

• Panneau gauche — le faisceau. Repère $(x\,;\,y)$, $x$ de $-0{,}5$ à $3$, $y$ de $-3$ à $8$. Sept courbes de la famille $x \mapsto C\,e^{-2x} + 3$ sont tracées en trait fin pour $C = -5, -2, -1, 0, 1, 2, 5$ ; celle de $C = 0$, la droite horizontale $y = 3$, est en trait épais et pointillé, légendée « solution constante : l'équilibre $-\dfrac{b}{a} = 3$ ». Toutes les autres courbes s'y écrasent vers la droite, sans jamais la traverser. La courbe $C = -2$ est en trait plein épais, avec un point marqué en $(0\,;\,1)$ légendé « la condition $f(0) = 1$ choisit CETTE courbe », et un second point en $(1\,;\,2{,}729)$. Un cartouche : « une infinité de solutions, une seule condition initiale ».
• Panneau droit — les deux régimes. Deux mini-repères côte à côte, même échelle. À gauche, trois solutions de $y' = -2y + 6$ (donc $a < 0$) qui convergent toutes vers la droite $y = 3$, avec l'étiquette « $a < 0$ : relaxation vers l'équilibre ». À droite, trois solutions de $y' = 2y - 6$ (donc $a > 0$, même équilibre $3$) qui s'écartent de la droite $y = 3$ vers le haut ou vers le bas selon le signe de $C$, avec l'étiquette « $a > 0$ : divergence ». Sous les deux, un bandeau : « même équilibre, comportements opposés — c'est le SIGNE de $a$ qui décide ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau gauche montre ce que « résoudre une équation différentielle » veut dire : on obtient une famille de courbes, et la condition initiale est ce qui en désigne une. Il montre aussi, visuellement, que l'écart à l'équilibre ne change jamais de signe — aucune courbe ne traverse la droite horizontale. Le panneau droit isole le rôle du signe de $a$ : l’équilibre existe dans les deux cas non nuls. Les solutions non constantes l’approchent asymptotiquement pour a négatif ; la solution initialement à l’équilibre y reste pour les deux signes.

La figure en détail : la figure comprend deux parties. À gauche, un repère montre sept courbes d'une même famille de solutions, qui toutes s'aplatissent vers une droite horizontale de hauteur trois lorsqu'on va vers la droite ; cette droite, tracée en pointillé épais, est elle-même une solution, la solution constante correspondant à l'équilibre. Une des courbes, tracée en trait plein épais, passe par le point d'abscisse zéro et d'ordonnée un, ce qui illustre le rôle de la condition initiale, et un second point marqué sur elle a pour abscisse un et pour ordonnée environ deux virgule sept trois. À droite, deux petits repères comparent deux équations de même équilibre : dans le premier, où le coefficient est négatif, les courbes non constantes approchent asymptotiquement la droite d’équilibre ; dans le second, où il est positif, elles s'en éloignent vers le haut ou vers le bas.