Mathématiques · Licence 2 · 1 leçon

Fiche de révision : Intégration

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Mesure et intégrale de Lebesgue (introduction) — Tribu et mesure, mesure de Lebesgue sur la droite réelle, ensembles négligeables et propriétés vraies presque partout, fonctions mesurables, intégrale des fonctions mesurables positives puis des fonctions intégrables, théorème de convergence monotone, lemme de Fatou, théorème de convergence dominée, comparaison avec l'intégrale de Riemann.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Intégrale et calcul d'aires — Intégrale d'une fonction continue, aire sous la courbe, théorème fondamental, propriétés (linéarité, Chasles, positivité), valeur moyenne, intégration par parties.
Limites et continuité de fonctions — Limites en l'infini et en un point, asymptotes, croissances comparées, continuité, théorème des valeurs intermédiaires.
Espaces métriques : ouverts, fermés, adhérence — Distance et espace métrique, boules ouvertes et fermées, parties ouvertes et fermées, intérieur, adhérence et frontière, densité, caractérisation séquentielle de l'adhérence et de la continuité, distances équivalentes et topologie induite.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Mesure et intégrale de Lebesgue », tel qu’il figure sur la fiche.

Retenir les relations

$\int\sum_i a_i\mathbf1_{A_i}\,d\mu=\sum_i a_i\mu(A_i)$
$f\in L^1\iff\int|f|\,d\mu<\infty$

Précisez l'espace mesuré et la mesure utilisée. Pour une fonction étagée, rendez les supports disjoints ou utilisez la linéarité correctement. Les modifications sur un ensemble de mesure nulle ne changent pas l'intégrale, dès lors que les fonctions considérées restent mesurables.

Les pièges à éviter et la version imprimable sont réservés à votre compte.

S’entraîner sur ces notions

S’entraîner : Mesure et intégrale de Lebesgue

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