Résoudre une équation du premier degré

Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu, désigné par une lettre — le plus souvent $x$. Cette lettre s'appelle l'inconnue.

Cette égalité n'est ni vraie ni fausse en soi : tout dépend de la valeur de $x$. Pour $x = 1$, le membre de gauche vaut $-3$ et l'égalité est fausse. Pour $x = 3$, il vaut $15 - 8 = 7$ : l'égalité est vraie. On dit que $3$ est solution de l'équation.

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.

Le signe $=$ partage l'équation en deux membres : le membre de gauche et le membre de droite. Ne les confonds pas avec les deux côtés d'un calcul ordinaire : ici, ils sont égaux, et tout ce que tu feras devra préserver cette égalité.

L'image de la balance. Imagine une balance à deux plateaux, en équilibre. Le plateau de gauche porte $5x - 8$, celui de droite porte $7$. L'équilibre traduit le signe $=$.

Que peux-tu faire sans rompre l'équilibre ?

• Ajouter ou retirer la même masse des deux côtés. Si tu ajoutes $8$ à gauche, tu dois ajouter $8$ à droite. La balance reste en équilibre.
• Multiplier ou diviser les deux plateaux par un même nombre non nul. Si tu divises tout le contenu de gauche par $5$, tu dois diviser tout le contenu de droite par $5$.

Ces deux gestes suffisent ici, avec les réécritures algébriques exactes, à transformer l’équation en une équation équivalente, c'est-à-dire qui a exactement les mêmes solutions. Toute la résolution consiste à les enchaîner jusqu'à obtenir $x = \text{quelque chose}$.

Le mécanisme, sur l'exemple. On veut isoler $x$, c'est-à-dire le laisser seul d'un côté.

Étape 1 — faire disparaître le $-8$. On ajoute $8$ aux deux membres :

Étape 2 — faire disparaître le facteur $5$. On divise les deux membres par $5$ :

Étape 3 — vérifier. On remplace $x$ par $3$ dans l'équation de départ : $5 \times 3 - 8 = 15 - 8 = 7$. C'est bien le membre de droite. La solution est $3$.

Un ordre pratique. Ici, enlever d’abord le terme constant (le $-8$), puis diviser par le coefficient de $x$ (le $5$), évite des fractions intermédiaires. Diviser d’abord tous les termes par $5$, puis ajouter $8/5$, serait aussi valable. C'est l'ordre inverse de celui dans lequel on lit l'expression : $5x - 8$ se lit « multiplier par $5$, puis retirer $8$ », donc pour défaire, on remet d'abord le $8$, puis on divise par $5$. Comme pour se déshabiller : on enlève d'abord le manteau.

Quand l'inconnue apparaît dans les deux membres. L'équation générale du premier degré s'écrit

Le principe ne change pas : on garde les deux gestes autorisés, et on s'organise pour rassembler les termes en $x$ d'un côté et les nombres seuls de l'autre. Sur $7x - 3 = 4x + 12$ :

1. On retire $4x$ aux deux membres, pour vider le membre de droite de son $x$ :

2. On ajoute $3$ aux deux membres :

3. On divise par $3$ :

« Changer de membre, changer de signe » : d'où ça vient. Tu entendras souvent ce raccourci. Il est juste, mais ce n'est pas une règle magique : c'est le résumé du geste « je retire la même chose des deux côtés ». Retirer $4x$ à gauche et à droite fait effectivement passer le $4x$ de droite à gauche, en $-4x$. Si tu appliques le raccourci sans comprendre, tu risques d’oublier tôt ou tard de changer le signe. En cas de doute, écris le geste en entier.

Un choix qui simplifie la vie. Rassemble les $x$ du côté où le coefficient est le plus grand, pour éviter de finir avec un coefficient négatif. Sur $2x + 9 = 6x - 3$, il vaut mieux retirer $2x$ des deux côtés (on obtient $9 = 4x - 3$) que retirer $6x$ (on obtiendrait $-4x + 9 = -3$). Le résultat est le même, mais le second chemin multiplie les occasions de se tromper de signe.

Diviser par un nombre négatif. Si tu arrives à $-3x = 12$, tu divises les deux membres par $-3$ :

Le signe change parce qu'on divise par un négatif — et il change des deux côtés à la fois, puisqu'on divise les deux membres. Écris le nombre négatif entre parenthèses au dénominateur, $\dfrac{12}{(-3)}$, pour ne pas accoler deux signes.

La solution n'est pas toujours entière. $4x = 10$ donne $x = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$. Une fraction irréductible est une réponse parfaitement acceptable, souvent préférable à une valeur décimale approchée.

Mettre un problème en équation. C'est la compétence la plus utile, et la plus exigeante. Quatre étapes, toujours les mêmes :

1. Choisir l'inconnue et la nommer, en une phrase précise : « Soit $x$ la largeur du rectangle, en centimètres. »
2. Exprimer les autres grandeurs en fonction de $x$ : « la longueur vaut alors $x + 4$ ».
3. Traduire l'énoncé par une égalité : « le périmètre vaut $36$ cm » devient $2 \times \left(x + (x + 4)\right) = 36$.
4. Résoudre, puis revenir à la question posée : $x$ est la largeur, mais si la question demande la longueur, il reste un calcul à faire.

Ne saute pas l'étape 1. Une équation dont on ne sait plus ce que représente $x$ ne se relit pas, et sa solution ne s'interprète pas.

Vérifier n'est pas facultatif. Reporter la valeur trouvée dans l'équation de départ — pas dans une ligne intermédiaire, qui pourrait contenir l'erreur — prouve que cette valeur est bien une solution. Pour montrer qu’on les a toutes trouvées, on s’appuie en plus sur les transformations équivalentes de la résolution et, ici, sur le coefficient non nul.

Un cas particulier, pour ta curiosité. Il arrive que l'inconnue disparaisse en cours de route. Si l'on obtient une égalité fausse comme $0 = 5$, aucune valeur de $x$ ne convient : l'équation n'a pas de solution. Si l'on obtient une égalité toujours vraie comme $0 = 0$, tous les nombres conviennent. Ces situations sont rares au collège, mais si elles se présentent, elles ne signifient pas que tu as fait une erreur.

Énoncé. Pour louer du matériel d’atelier, la formule A coûte $11$ € de frais fixes puis $4$ € par séance. La formule B coûte $29$ € de frais fixes puis $2$ € par séance. Pour quel nombre de séances les coûts sont-ils égaux ? On suppose qu’il n’existe aucun autre frais ni réduction.

Choisir l’inconnue et son domaine. On note $n$ le nombre de séances : dans la situation concrète, c’est un entier positif ou nul. Les coûts sont $11+4n$ et $29+2n$, en euros.

Traduire l’égalité puis conserver les solutions.

On soustrait $2n$ aux deux membres, puis $11$ :

On divise enfin les deux membres par le nombre non nul $2$ :

Ces transformations sont réversibles ; l’équation a donc cette unique solution réelle, qui appartient bien au domaine concret.

Vérifier dans les deux formules. Pour $9$ séances, A coûte $11+4\times9=47$ € et B coûte $29+2\times9=47$ €. Les tarifs sont égaux pour 9 séances.

Contrôle de sens. Pour $3$ séances, A coûte $23$ € et B coûte $35$ € : les frais fixes et le prix par séance agissent différemment. Cette comparaison ne démontre pas l’égalité à $9$ ; la résolution et la substitution la justifient.

Figure (fig.math.equation-balance, SVG programmatique existant) : la résolution de $5x - 8 = 7$ représentée en trois états de balance empilés verticalement, plus un encart sur le geste interdit.

• État 1, en haut — la situation de départ. Une balance à fléau horizontal, parfaitement équilibrée. Sur le plateau gauche : cinq sachets identiques marqués $x$, et une case creuse marquée $-8$, dessinée en creux (contour en tirets, fond vide) pour signifier une masse retirée. Sur le plateau droit : un bloc marqué $7$. Sous la balance, l'équation $5x - 8 = 7$.
• État 2, au milieu — après avoir ajouté $8$ des deux côtés. Même balance, toujours équilibrée. À gauche, la case creuse $-8$ est comblée par un bloc $+8$ : les deux s'annulent, il ne reste que les cinq sachets $x$. À droite, un bloc $+8$ a été ajouté à côté du bloc $7$, formant $15$. Deux flèches identiques, une de chaque côté, portent l'annotation « $+8$ » — le point clé est qu'elles sont identiques et simultanées. Sous la balance, $5x = 15$.
• État 3, en bas — après avoir divisé par $5$. Le plateau gauche ne porte plus qu'un sachet $x$ ; le plateau droit un bloc $3$. Les quatre autres sachets et les douze unités correspondantes sont dessinés en gris pâle à côté de la balance, avec l'annotation « on garde un cinquième de chaque côté ». Sous la balance, $x = 3$. Un cadre épais entoure ce dernier état : c'est la solution.
• Encart d'avertissement, à droite des trois états, séparé par un filet vertical : la même balance avec $+8$ ajouté seulement à gauche. Le fléau est nettement penché, et la mention barrée « on n'agit jamais d'un seul côté » figure sous le dessin. Le déséquilibre est visible sans lire le texte.
• Une bande de contrôle, tout en bas, montre la vérification : le sachet $x$ remplacé par un bloc $3$ dans la balance de l'état 1, et le calcul $5 \times 3 - 8 = 7$, avec les deux plateaux de nouveau au même niveau.

Ce qu'il faut lire. Le fléau horizontal illustre les transformations valables pour la solution considérée. L’équivalence signifie plus précisément que l’ensemble des solutions est conservé ; la balance est une analogie, notamment avec sa case virtuelle $-8$. Les deux flèches $+8$ sont jumelles, jamais solitaires — c'est la seule chose à retenir des transformations autorisées. Et l'encart montre, sans calcul, ce que produit le geste interdit : la balance penche, l’équation obtenue n’est plus justifiée comme équivalente ; une égalité vraie pourrait réapparaître plus loin, mais cela ne réparerait pas la démonstration.

La figure en détail : trois balances à deux plateaux empilées verticalement. Sur la première, le plateau gauche porte cinq sachets identiques marqués x et une case creuse marquée moins huit, le plateau droit porte un bloc marqué sept, et le fléau est horizontal ; l'équation cinq x moins huit égale sept figure dessous. Sur la deuxième, un bloc plus huit a comblé la case creuse à gauche et un bloc plus huit a été ajouté à droite ; deux flèches identiques annotées plus huit désignent les deux plateaux, le fléau reste horizontal, et l'équation cinq x égale quinze figure dessous. Sur la troisième, le plateau gauche porte un seul sachet x et le plateau droit un bloc trois, les éléments retirés étant dessinés en gris à côté ; l'équation x égale trois figure dessous dans un cadre épais. À droite, séparé par un filet, un encart montre la même balance avec un bloc ajouté seulement à gauche : le fléau penche nettement, sous la mention barrée on n'agit jamais d'un seul côté. En bas, une bande de vérification remplace le sachet x par un bloc trois et montre les deux plateaux de nouveau à égalité.