Limites et continuité : lire, lever, conclure

Les limites de suites vous ont donné le vocabulaire : converger, diverger, forme indéterminée. Les fonctions reprennent tout cela, avec une nouveauté : une suite ne se regarde qu'en $+\infty$, une fonction se regarde en $+\infty$, en $-\infty$, et en n'importe quel point de la droite réelle — y compris en un point où elle n'est pas définie.

Limite en l'infini. $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ s'approche indéfiniment de $\ell$ quand $x$ grandit sans borne. Géométriquement, la droite d'équation $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ : la courbe s'en approche sans jamais s'en écarter durablement. Elle peut fort bien la traverser — une asymptote n'est pas une barrière.

Limite en un point. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ s'approche de $\ell$ quand $x$ s'approche de $a$, avec $x\neq a$. Cette précision est capitale : la limite en $a$ ne dit rien de $f(a)$, et se calcule très souvent en un point où $f$ n'est pas définie. Quand la limite est infinie, la droite d'équation $x = a$ est asymptote verticale.

Continuité. Une fonction $f$ est continue en $a$ lorsque $f$ est définie en $a$ et que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ : la limite et la valeur coïncident. Intuitivement, la courbe se trace sans lever le crayon. Deux faits à retenir pour ne pas perdre de temps en contrôle :

• les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$ ; les fonctions rationnelles, racine carrée, exponentielle, logarithme, sinus et cosinus sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition ; sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues le sont aussi ;
• une fonction dérivable sur un intervalle y est continue. La réciproque est fausse : $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ sans y être dérivable.

Attention au sens des mots. Croissante n'entraîne pas continue : une fonction en escalier est croissante et pleine de sauts. Et « avoir une limite en $a$ » n'entraîne pas « être continue en $a$ » : il faut de plus que $f(a)$ existe et vaille cette limite.

Pourquoi ce chapitre existe. Deux usages, tous deux au programme et tous deux au baccalauréat. D'abord décrire le comportement d'une courbe : asymptotes, branches infinies, position limite. Ensuite démontrer qu'une équation a une solution — c'est le théorème des valeurs intermédiaires, un outil pour établir l’existence d’une solution sans l’exprimer explicitement ; d’autres arguments d’existence sont possibles.

Les quatre formes indéterminées sont les mêmes que pour les suites :

« Indéterminée » signifie que la règle générale ne conclut pas : il faut réécrire. On présente ici trois techniques utiles, sans prétendre résoudre toute indétermination.

1. Quotient de polynômes en $\pm\infty$ — on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, on simplifie, et les termes en $\frac{1}{x}$ s'évanouissent. Conséquence pratique : en l'infini, un quotient de polynômes se comporte comme le quotient de ses termes de plus haut degré.
2. Forme $\frac{0}{0}$ en un point $a$ — pour un quotient de polynômes, si $a$ annule le numérateur et le dénominateur, chacun possède un facteur $(x-a)$. On simplifie pour $x \ne a$, puis on examine ce qui reste : si le dénominateur simplifié ne s’annule plus en $a$, la continuité donne une limite finie par substitution. Sinon une asymptote peut subsister, par exemple $x/x^2=1/x$ pour $x\neq0$. Retenez la nuance : les écritures coïncident sur le domaine initial. Si la nouvelle expression est définie au point exclu $a$ et qu’on l’y utilise, on construit un prolongement distinct. Une simplification comme $x/x^2=1/x$ ne change en revanche pas le domaine $\mathbb R^*$ ni la fonction. Deux fonctions de même limite ne sont pas égales pour autant.
3. Différence de racines — on multiplie par la quantité conjuguée pour transformer $\infty - \infty$ en un quotient.

Croissances comparées. À connaître par cœur, elles règlent d'un coup une famille entière d'indéterminations : en $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, et toute puissance l'emporte sur le logarithme :

Asymptote verticale : la bonne procédure. Pour un quotient, on cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. Deux cas se présentent, et les confondre coûte cher :

• pour un quotient de polynômes, le numérateur ne s’y annule pas : les limites unilatérales sont infinies, avec des signes à déterminer ; il y a une asymptote verticale ;
• le numérateur s’y annule aussi : forme $\frac00$, il faut comparer les facteurs. $x/x$ a un trou supprimable en 0 ; $x/x^2$ garde une asymptote verticale. L’annulation commune ne tranche donc pas.

Le théorème des valeurs intermédiaires. Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$. Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a\,;\,b]$, cette solution est unique.

Trois points à distinguer.

• Ce qui donne quoi. La continuité donne l'EXISTENCE ; la stricte monotonie donne l'UNICITÉ. Attribuer l'unicité à la continuité est une faute : une fonction continue peut prendre plusieurs fois la même valeur.
• Comment justifier chaque hypothèse. La continuité se justifie par la NATURE de la fonction (polynôme, rationnelle sur son domaine, composée de fonctions continues), la croissance seule ne suffit pas. La monotonie peut se justifier par le signe de la dérivée sur tout l’intervalle, ou directement par comparaison d’images pour deux abscisses quelconques ; la seule comparaison des deux extrémités ne suffit pas : une fonction peut monter puis descendre et vérifier $f(a) < f(b)$.
• L'encadrement de $k$. Pour une solution intérieure, on peut utiliser $f(a)<k<f(b)$ ou l’ordre inverse ; le TVI accepte aussi les égalités, qui peuvent donner une solution à une borne. Dire « $f(a) < f(b)$ » ne dit rien de la position de $k$.

Localiser la solution. Le théorème prouve l'existence sans donner la valeur. Pour encadrer $\alpha$, on calcule les images d'entiers consécutifs jusqu'à un changement de signe, puis on affine par dichotomie : on coupe l'intervalle en deux, on garde la moitié où le changement de signe persiste, et on recommence. Chaque étape divise l'amplitude par $2$.

Pour $x\neq0$, on pose $F(x)=\sin x/x$. On utilise le résultat de référence $\lim_{x\to0}\sin x/x=1$ ; il n’est pas obtenu en remplaçant simplement $x$ par 0.

Prolonger sans confondre les fonctions. Définissons $G(x)=F(x)$ si $x\neq0$ et $G(0)=1$. La limite calculée coïncide alors avec la valeur : $G$ est continue en 0. La fonction initiale $F$ n’y est pas définie. Si on avait posé $G(0)=2$, la limite resterait 1 mais le prolongement ne serait pas continu.

Comparer un autre quotient indéterminé. Pour $x\neq0$, $H(x)=x/x^2=1/x$. Il s’agit aussi d’une forme $0/0$ au départ, mais $\lim_{x\to0^+}H(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to0^-}H(x)=-\infty$. La droite $x=0$ est une asymptote verticale ; il n’existe aucun prolongement continu réel en 0.

Existence par continuité. Considérons $J(x)=x-\cos x$ sur $[0;1]$. Elle est continue, $J(0)=-1<0$ et $J(1)=1-\cos1>0$, car 1 rad n’est pas un multiple de $2\pi$. Le TVI donne une racine intérieure. De plus $J'(x)=1+\sin x>0$ sur $[0;1]$ : elle est unique sur cet intervalle.

Dichotomie. $J(1/2)=1/2-\cos(1/2)<0$ et $J(3/4)=3/4-\cos(3/4)>0$ (valeurs approchées −0,3776 et 0,0183). La racine est dans $]1/2;3/4[$. Les évaluations numériques servent à encadrer, non à remplacer la justification de continuité ou d’unicité.

Figure (fig.math.limits-continuity-panorama, SVG programmatique existant) : trois panneaux.

• Panneau gauche — les deux asymptotes. Courbe de $f(x) = \dfrac{3x - 5}{2x + 4}$ dans un repère, $x$ de $-8$ à $8$, $y$ de $-6$ à $8$, avec les deux branches séparées. Une droite horizontale en pointillé d'équation $y = 1{,}5$, étiquetée « asymptote horizontale : limite en $\pm\infty$ ». Une droite verticale en pointillé d'équation $x = -2$, étiquetée « asymptote verticale : le dénominateur s'annule, pas le numérateur ». Deux flèches suivent la courbe vers le haut et vers le bas de part et d'autre de $x = -2$.
• Panneau central — le trou. Courbe de $g(x) = \dfrac{x^{2} - x - 6}{x - 3}$ : c'est la droite d'équation $y = x + 2$, tracée en trait plein, mais avec un cercle vide bien visible au point de coordonnées $(3\,;\,5)$, et une bulle « $g$ n'est pas définie en $3$, et pourtant sa limite y vaut $5$ ». Sous le dessin, deux cadres côte à côte : « $g(x) = \dfrac{x^{2}-x-6}{x-3}$, définie pour $x \ne 3$ » et « $x \mapsto x + 2$, définie partout », reliés par une double flèche portant « même limite en $3$, fonctions différentes ».
• Panneau droit — le théorème des valeurs intermédiaires. Courbe de $h(x) = x^{3} + 2x - 5$ pour $x$ de $0$ à $2{,}5$, strictement croissante. L'axe des abscisses est tracé en trait plein. Les points $(1\,;\,-2)$ et $(2\,;\,7)$ sont marqués et étiquetés. Un segment vertical en pointillé descend de $(1\,;\,-2)$ et monte de $(2\,;\,7)$ jusqu'à l'axe, et la portion d'axe entre $1$ et $2$ est épaissie avec l'étiquette « la courbe traverse ici, et une seule fois ». Un cartouche récapitule : « continue $\Rightarrow$ elle traverse ; strictement croissante $\Rightarrow$ une seule fois ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau gauche montre que les deux sortes d'asymptotes se cherchent à deux endroits différents : l'une à l'infini, l'autre aux valeurs interdites. Le panneau central est le seul moyen de voir la différence entre « avoir une limite en $3$ » et « être définie en $3$ » : le cercle vide est exactement cette différence. Le panneau droit sépare visuellement les deux conclusions du théorème — traverser, et ne traverser qu'une fois.

La figure en détail : la figure comprend trois parties. À gauche, la courbe d'une fonction rationnelle est tracée en deux branches, avec une droite horizontale en pointillé qu'elle approche à l'infini et une droite verticale en pointillé le long de laquelle elle s'échappe vers le haut d'un côté et vers le bas de l'autre. Au centre, la courbe d'une autre fonction rationnelle se confond avec une droite, à ceci près qu'un petit cercle vide marque le point d'abscisse trois, où la fonction n'est pas définie alors que sa limite y existe et vaut cinq ; deux cadres rappellent que deux expressions de même limite ne définissent pas la même fonction. À droite, la courbe d'une fonction polynôme strictement croissante passe du dessous au dessus de l'axe horizontal entre les abscisses un et deux ; les images de ces deux abscisses, moins deux et sept, sont marquées, et la portion d'axe où la courbe traverse est mise en évidence pour illustrer l'existence et l'unicité de la solution.