Fiche de révision : Analyse

Les notions de cette fiche

• Calcul différentiel à plusieurs variables — Dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables, fonction de classe C^1, développement limité d'ordre 1 et différentielle, gradient et son interprétation géométrique, règle de la chaîne pour une composée, dérivées partielles secondes et théorème de Schwarz, points critiques et recherche d'extremums.
• Intégration sur un intervalle quelconque — Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert ou non borné, convergence et divergence, intégrales de référence (Riemann en +∞ et en 0, exponentielle), critères de comparaison et d'équivalence pour les fonctions positives, intégrabilité et convergence absolue.
• Séries de Fourier — Coefficients de Fourier réels et complexes d'une fonction périodique continue par morceaux, série de Fourier associée, théorème de Dirichlet et convergence en un point de discontinuité, formule de Parseval et interprétation énergétique.
• Suites et séries de fonctions : modes de convergence — Convergence simple et convergence uniforme d'une suite de fonctions, norme de la convergence uniforme, convergence normale d'une série de fonctions ; théorèmes de transfert : continuité de la limite, interversion de la limite et de l'intégrale sur un segment, dérivation terme à terme.
• Théorèmes d'interversion limite et intégrale — Théorème de convergence dominée, théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions, continuité et dérivation d'une intégrale à paramètre ; hypothèse de domination et son rôle, contre-exemples où l'interversion est fausse.
• Séries entières : rayon de convergence et somme — Rayon de convergence d'une série entière et lemme d'Abel, règle de d'Alembert et règle de Cauchy appliquées aux coefficients, convergence normale sur tout disque fermé de rayon strictement inférieur, propriétés de la somme (continuité, dérivation et intégration terme à terme), développements en série entière des fonctions usuelles et unicité des coefficients.
• Équations et systèmes différentiels linéaires — Équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients continus et sa résolution par variation de la constante, structure affine de l'ensemble des solutions, problème de Cauchy et unicité, systèmes X' = AX résolus par réduction de la matrice A, équations linéaires du second ordre à coefficients variables et wronskien.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

• Dérivée d'une fonction composée — (g∘u)' = u' × g'∘u ; cas e^u, ln u, u^n, √u, cos u, sin u.
• Variations et optimisation — Signe de la dérivée et sens de variation, tableau de variations, extremums locaux, problèmes d'optimisation.
• Produit scalaire — Définitions (norme-angle, coordonnées, projection), propriétés, orthogonalité, formule d'Al-Kashi.
• Intégrale et calcul d'aires — Intégrale d'une fonction continue, aire sous la courbe, théorème fondamental, propriétés (linéarité, Chasles, positivité), valeur moyenne, intégration par parties.
• Limites et continuité de fonctions — Limites en l'infini et en un point, asymptotes, croissances comparées, continuité, théorème des valeurs intermédiaires.
• Fonction logarithme népérien — Réciproque de l'exponentielle, ln(ab) = ln a + ln b, ln(a^n) = n ln a, variations, dérivée 1/x, résolution d'équations e^x = k.
• Fonctions sinus et cosinus — Fonctions trigonométriques : périodicité, parité, dérivées, courbes, résolution d'équations trigonométriques simples.
• Nombres complexes — Forme algébrique, conjugué, module, argument, forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, résolution dans ℂ du second degré.
• Séries numériques : convergence — Somme partielle et nature d'une série, condition nécessaire de convergence, séries de référence (géométriques, séries de Riemann), critères de comparaison et d'équivalence pour les séries à termes positifs, convergence absolue.
• Limites de suites — Limite finie ou infinie, opérations sur les limites, théorèmes de comparaison et des gendarmes, suites monotones bornées, raisonnement par récurrence.
• Développements limités — Formule de Taylor-Young, DL usuels en 0 (e^x, ln(1+x), (1+x)^α, sin, cos), opérations sur les DL, applications aux limites et équivalents.
• Suites arithmétiques et géométriques — Définition par récurrence et forme explicite, raison, sens de variation, somme des termes, modélisation d'évolutions.
• Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants — Équation caractéristique, discriminant, solutions réelles (cas Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0), solution particulière, conditions initiales.
• Équations différentielles y' = ay + b — Solutions de y' = ay, de y' = ay + b, solution vérifiant une condition initiale, interprétation (décroissance radioactive, charge d'un condensateur).
• Matrices et systèmes linéaires — Opérations sur les matrices, produit, inverse d'une matrice 2 × 2, écriture matricielle d'un système, puissances de matrices.
• Diagonalisation — Endomorphisme et matrice diagonalisables, critères de diagonalisabilité (base de vecteurs propres, somme des dimensions des sous-espaces propres égale à la dimension de l'espace, polynôme caractéristique scindé dont chaque multiplicité égale la dimension du sous-espace propre, cas suffisant de n valeurs propres distinctes), construction de la matrice de passage et de la matrice diagonale semblable, applications : puissances d'une matrice, suites récurrentes couplées, systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.
• Primitives — Définition, primitives des fonctions usuelles, linéarité, primitives de u'e^u, u'/u, u'u^n ; unicité à une constante près.

S’entraîner sur ces notions

• S’entraîner : Différentielle, gradient et directions
• S’entraîner : Intégrales impropres et critères de convergence
• S’entraîner : Coefficients et séries de Fourier
• S’entraîner : Convergences simple et uniforme
• S’entraîner : Passer une limite sous l’intégrale
• S’entraîner : Séries entières : rayon de convergence et somme
• S’entraîner : Systèmes différentiels linéaires

Pour aller plus loin

• Espaces euclidiens
• Probabilités
• Réduction des endomorphismes
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