Mathématiques · Prépa 2e année · 2 leçons

Fiche de révision : Probabilités

L’essentiel de chaque leçon du chapitre, tel qu’il est écrit dans le cours : à relire, à imprimer, puis à vérifier par l’entraînement.

Les notions de cette fiche

Probabilités sur un univers dénombrable — Tribu et espace probabilisable, probabilité comme application σ-additive, propriétés de continuité croissante et décroissante, système complet dénombrable d'événements, formule des probabilités totales pour une famille dénombrable, formule de Bayes, indépendance d'une famille infinie d'événements, événements négligeables et presque sûrs, modélisation d'une expérience dont le nombre d'épreuves n'est pas borné a priori.
Variables aléatoires discrètes et lois usuelles — Variable aléatoire discrète, loi, fonction de répartition, lois usuelles infinies (loi géométrique et absence de mémoire, loi de Poisson et son rôle d'approximation de la loi binomiale), espérance et condition de sommabilité, théorème de transfert, variance et écart type, variables indépendantes, somme de deux variables de Poisson indépendantes, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

Probabilités sur un univers fini — Espace probabilisé fini, système complet d'événements, probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales et formule de Bayes, indépendance deux à deux et indépendance mutuelle, variables aléatoires finies, loi, espérance et sa linéarité, variance et formule de König-Huygens, lois usuelles finies (uniforme, de Bernoulli, binomiale).
Probabilités conditionnelles et indépendance — P_A(B), arbre pondéré, formule des probabilités totales, indépendance de deux événements.
Limites de suites — Limite finie ou infinie, opérations sur les limites, théorèmes de comparaison et des gendarmes, suites monotones bornées, raisonnement par récurrence.
Variables aléatoires — Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète, espérance, variance, écart-type, interprétation en moyenne sur un grand nombre de répétitions.
Loi binomiale — Épreuve et schéma de Bernoulli, coefficients binomiaux, loi B(n, p), espérance np, variance np(1 − p), calculs avec la calculatrice.

Le début de la fiche

Extrait de la leçon « Probabilités sur un univers dénombrable », tel qu’il figure sur la fiche.

Retenir les relations

$\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac1{1-q}\quad(|q|<1)$
$P(X=k)=(1-q)q^k,\quad \mathbb E X=\frac q{1-q}$

Avant une probabilité ou une espérance, vérifiez support, positivité et normalisation. Utilisez les sommes géométriques avec leur condition de convergence $|q|<1$ . Une espérance infinie peut exister au sens étendu pour une variable positive, même si la loi est parfaitement normalisée.

La suite de la fiche (1 autre notion, les pièges à éviter et la version imprimable) est réservée à votre compte.

S’entraîner sur ces notions

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