Cinétique michaélienne et inhibitions enzymatiques

Le modèle étudié décrit une vitesse initiale sous conditions fixées : un substrat, enzyme active stable, produit encore peu accumulé et substrat libre suffisamment abondant devant l’enzyme. On utilise $v=V S/(K+S)$ avec $V>0$, $K>0$ et $S\geq0$. Toutes les enzymes ne suivent pas cette loi.

K est une concentration : pour S=K, la vitesse vaut V/2. V dépend notamment de la quantité d’enzyme active et n’est donc pas une propriété du seul nom du couple enzyme/substrat. Pour S fini, la valeur exacte du modèle reste inférieure à V ; un plateau expérimental peut cependant être indiscernable de cette limite à la précision de mesure.

Pour le mécanisme simple $E+S\rightleftharpoons ES\to E+P$, l’approximation quasi stationnaire donne $K=(k_{-1}+k_{cat})/k_1$. La constante de dissociation $K_d=k_{-1}/k_1$ n’est pas généralement égale à K. Un K plus petit ne démontre donc pas à lui seul une meilleure affinité thermodynamique.

Exemple de distinction : à $k_1=2$ et $k_{-1}=2$ dans des unités cohérentes, passer de $k_{cat}=2$ à 18 fait passer K de 2 à 10, tandis que Kd reste 1. Les paramètres sont fictifs ; le calcul montre la limite de l’interprétation, sans introduire une mesure réelle.

Pour $0<v<V$, la concentration est $S=Kv/(V-v)$. Si S et V sont donnés, $K=S(V-v)/v$ exige v>0. Une vitesse négative ou supérieure à V ne convient pas à ce modèle ; cela peut signaler une mauvaise donnée, une incertitude ou un modèle inadapté.

Pour S>0, le double inverse donne $1/v=(K/V)(1/S)+1/V$. L’intersection en abscisse négative est une extrapolation, pas une concentration physique négative. Cette transformation modifie les erreurs : elle ne crée pas automatiquement une estimation plus rigoureuse. Le choix d’un ajustement doit considérer les données et leurs incertitudes.

Le modèle d’inhibition compétitive réversible retient une fixation mutuellement exclusive avec le substrat ; elle n’exige pas toujours une ressemblance structurale simple. Avec $\alpha=1+I/K_i$, $I\geq0$, $K_i>0$, on obtient $K_{app}=\alpha K$ et $V_{app}=V$.

L’inhibition non compétitive pure suppose une même affinité de l’inhibiteur pour E et ES : $K_{app}=K$, $V_{app}=V/\alpha$. Une fixation « ailleurs » ne suffit pas à prouver ce cas ; des inhibitions mixtes existent. « Enzyme hors service en permanence » ne convient pas à toute fixation réversible. Ces lois sont des modèles de mécanismes, pas des conseils de traitement médical.

Modèle construit. Deux fractions enzymatiques indépendantes agissent sur le même substrat. Elles ont le même K = 4 µmol/L et des vitesses limites respectives 30 et 70 µmol/(L·min) dans le mélange final. Pas d’interaction ni de déplétion notable du substrat pendant la mesure.

À S = 6 µmol/L, la somme des vitesses est $(30+70)6/(4+6)=60$ µmol/(L·min). La somme suit ici une même hyperbole parce que les deux K sont identiques ; ce ne serait pas une règle générale avec des K différents.

On dilue ensuite les deux fractions par deux et on rétablit S=6 dans le volume final. Les V sont divisées par deux, K reste 4 : la vitesse devient 30. La dilution ne suffit donc pas à affirmer que la constante K change.

Dans une expérience alternative sur cette préparation diluée, on ajoute un inhibiteur compétitif avec I/Ki=2. Alors α=3, Kapp=12 et Vapp=50, d’où $v=50\times6/(12+6)=50/3\approx16{,}667$ µmol/(L·min). Le rapport au mélange initial est $5/18\approx27{,}78$ %, et non la moitié seulement.

Contrôle. On a distingué la quantité d’enzyme, la concentration finale de substrat et le changement de modèle par inhibition. Les paramètres apparents ne sont pas des constantes nouvelles universelles de l’enzyme.

Le SVG fourni illustre une préparation fictive K=200µmol/L et V=120µmol/(L·min). Les points S=200,v=60 et S=600,v=90 vérifient l’équation. Les zones « ordre 1 » et « ordre 0 » sont des repères asymptotiques : il faut S très petit ou très grand devant K, pas simplement à gauche ou à droite de K.

À droite, les droites correspondent aux modèles compétitif et non compétitif pur, avec facteur 2. Les schémas de sites sont des illustrations, pas une preuve structurale issue des seules droites. Un jeu de points bruités demande des contrôles et ne garantit pas une identification mécanique unique.

L’inverse1/S n’est défini que pour S>0 ; les prolongements vers les abscisses négatives servent à lire une intersection. Les axes ont des unités différentes ; leur pente visuelle dépend des échelles.