S’entraîner : Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Ce que vous travaillez

Équation caractéristique, discriminant, solutions réelles (cas Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0), solution particulière, conditions initiales.

Les exercices de cette séance font aussi appel à :

• Nombres complexes — Forme algébrique, conjugué, module, argument, forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, résolution dans ℂ du second degré.
• Oscillateur harmonique — Système masse-ressort, équation ẍ + ω₀² x = 0, pulsation propre, solution sinusoïdale, énergie ; pendule simple aux petits angles.
• Développements limités — Formule de Taylor-Young, DL usuels en 0 (e^x, ln(1+x), (1+x)^α, sin, cos), opérations sur les DL, applications aux limites et équivalents.
• Oscillateur harmonique amorti — Oscillateur à un degré de liberté soumis à un frottement fluide : mise sous forme canonique avec la pulsation propre et le facteur de qualité, les trois régimes (apériodique, critique, pseudo-périodique), pseudo-période, décrément logarithmique, temps de relaxation et décroissance de l'énergie mécanique.

À maîtriser avant de commencer

Ces notions sont utilisées ici. Relisez-les si l’une d’elles vous échappe.

• Équations différentielles y' = ay + b — Solutions de y' = ay, de y' = ay + b, solution vérifiant une condition initiale, interprétation (décroissance radioactive, charge d'un condensateur).
• Fonctions sinus et cosinus — Fonctions trigonométriques : périodicité, parité, dérivées, courbes, résolution d'équations trigonométriques simples.
• Équations du second degré — Discriminant, racines réelles, forme canonique, forme factorisée, signe du trinôme.
• Cercle trigonométrique et radians — Enroulement de la droite des réels, radian, cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables, angles associés.
• Deuxième loi de Newton — Σ F = m a dans un référentiel galiléen ; méthode : système, référentiel, bilan des forces, projection, intégration.
• Dérivée d'une fonction composée — (g∘u)' = u' × g'∘u ; cas e^u, ln u, u^n, √u, cos u, sin u.
• Intégrale et calcul d'aires — Intégrale d'une fonction continue, aire sous la courbe, théorème fondamental, propriétés (linéarité, Chasles, positivité), valeur moyenne, intégration par parties.

Comment se déroule la séance

Cette séance s’appuie sur 6 exercices vérifiés. Chacun produit un nouvel énoncé à chaque ouverture, avec une solution calculée.

Formats de réponse : Réponse numérique (3), QCM (2), Texte à trous (1). Difficulté de 3 à 4 sur 5. Environ 34 minutes pour un premier passage.

Dans votre compte : aide graduée (indice, rappel de cours, aide au démarrage), corrigé pas à pas après chaque tentative, suivi de vos progrès.

Essayez un exercice, sans compte

Un exercice réel de cette séance, le même pour chaque visiteur. Répondez, puis vérifiez : la correction est calculée, et le corrigé s’affiche après votre tentative.

Pour aller plus loin

• Lire le début du cours : Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
• Fiche de révision : Analyse (Prépa 1re année)
• Fiche de révision : Analyse (Licence 1)
• Notion suivante : Séries numériques : convergence
• Tous les entraînements de Mathématiques