Équations différentielles linéaires du second ordre

En terminale, vous avez résolu $y' = ay + b$ : une famille de solutions à un paramètre, fixé par une seule condition initiale. Le second ordre change l'échelle du problème, et pas seulement d'un cran.

L'équation. On cherche les fonctions $y$, deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$, telles que

$$y'' + a\,y' + b\,y = f(x),$$

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles et $f$ une fonction continue sur $\mathbb R$, appelée second membre. Quand $f$ est la fonction nulle, l'équation est dite homogène.

Pourquoi elle est partout. La loi de Newton appliquée à une masse rappelée par un ressort, la loi des mailles dans un circuit RLC, certains modèles linéaires couplés peuvent conduire à cette forme, sous leurs hypothèses respectives. Ce n'est pas un hasard — dès qu'une accélération dépend linéairement d'une position et d'une vitesse, on y est. La leçon de physique sur l'oscillateur harmonique, dans ce même cycle, correspond au cas $a=0$, $b>0$ ; l’oscillateur à amortissement visqueux positif correspond à $a>0$, $b>0$, et non à tous les coefficients réels.

La structure des solutions, à connaître avant tout calcul. L'application $y \mapsto y'' + a y' + b y$ est linéaire : elle transforme une somme en somme et un multiple en multiple. Deux conséquences, qui structurent toute la résolution.

1. Les solutions de l'équation homogène forment un espace vectoriel de dimension 2 : il existe deux solutions $y_1$ et $y_2$ non proportionnelles telles que toute solution homogène s'écrive $A\,y_1 + B\,y_2$, avec $A$ et $B$ réels.
2. La solution générale de l'équation avec second membre est

$$y = \underbrace{A\,y_1 + B\,y_2}_{\text{solution générale de l'homogène}} \ + \ \underbrace{y_p}_{\text{une solution particulière}}.$$

C'est le même schéma qu'au premier ordre, à ceci près qu'il y a maintenant deux constantes. Deux constantes, donc deux conditions pour les fixer : c'est le rôle du problème de Cauchy.

Théorème de Cauchy linéaire. Pour tout $x_0$ et tout couple $(y_0, v_0)$ de réels, il existe une et une seule solution vérifiant $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = v_0$.

Une valeur seule laisse une infinité de solutions. Deux données de Cauchy, valeur et dérivée au même point, fixent la solution. Deux conditions aux bornes distinctes n’ont pas automatiquement cette propriété. Une troisième donnée est à tester : elle peut être compatible ou contradictoire. Physiquement, cela se dit en une phrase : pour prédire le mouvement d'un oscillateur, il faut connaître sa position et sa vitesse au départ.

L'idée qui résout l'homogène. Cherchons une solution de la forme $y = e^{rx}$, avec $r$ à déterminer. Alors $y' = r e^{rx}$ et $y'' = r^{2} e^{rx}$, donc

Comme l'exponentielle ne s'annule jamais, cette expression est nulle si et seulement si $r^{2} + ar + b = 0$.

Équation caractéristique. $r^{2} + a r + b = 0$. Son discriminant $\Delta = a^{2} - 4b$ décide de la forme des solutions.

Tout le reste de la leçon est la lecture des trois cas de ce discriminant — et la raison pour laquelle chacun donne la forme qu'il donne.

Cas 1 : $\Delta > 0$, deux racines réelles distinctes $r_1 \ne r_2$. On dispose de deux solutions $e^{r_1 x}$ et $e^{r_2 x}$, manifestement non proportionnelles. La solution générale de l'homogène est

Le comportement dépend des modes dont les coefficients sont non nuls. Si les deux racines sont négatives, toutes les solutions tendent vers zéro. Une racine positive produit une divergence seulement si son mode est présent. Pour un oscillateur à rappel et amortissement positifs, deux racines réelles distinctes décrivent le régime apériodique.

Cas 2 : $\Delta = 0$, une racine double $r = -a/2$. L'exponentielle $e^{rx}$ ne fournit plus qu'UNE direction, et il en faut deux. La seconde est $x\,e^{rx}$ — vérifions-le, car c'est l'endroit où l'on perd le plus de points. Posons $y = x e^{rx}$ ; alors $y' = e^{rx} + r x e^{rx}$ et $y'' = 2r\,e^{rx} + r^{2} x e^{rx}$, d'où

Le second crochet est nul puisque $r$ est racine ; le premier l'est aussi, précisément parce que $r = -a/2$, donc $2r + a = 0$. C'est cette double annulation, et elle seule, qui autorise le facteur $x$. La solution générale est

Pour l’oscillateur usuel à rappel et amortissement positifs, c’est le régime critique. Une affirmation de retour le plus rapide ou sans dépassement demande de fixer les conditions initiales et le critère de comparaison ; elle ne vaut pas pour toutes les solutions.

Cas 3 : $\Delta < 0$, deux racines complexes conjuguées $r = \alpha \pm i\beta$ avec $\alpha = -a/2$ et $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2} > 0$. Les fonctions $e^{(\alpha + i\beta)x}$ et $e^{(\alpha - i\beta)x}$ sont solutions, mais à valeurs complexes. Comme les coefficients $a$ et $b$ sont réels, la partie réelle et la partie imaginaire d'une solution complexe sont elles-mêmes solutions ; les formules d'Euler donnent alors deux solutions réelles indépendantes, $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ et $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ :

On peut aussi l'écrire $y(x) = C\,e^{\alpha x}\cos(\beta x + \varphi)$ avec $C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$ : c'est la forme amplitude-phase, plus parlante en physique. Pour C>0, la phase est choisie par $\cos\varphi=A/C$, $\sin\varphi=-B/C$ ; pour C=0, la solution est nulle et la phase est indéterminée. Les enveloppes sont $\pm Ce^{\alpha x}$ : leur amplitude décroît si $\alpha<0$, reste constante si $\alpha=0$ et croît si $\alpha>0$ ; et $\beta$ est la pulsation des oscillations. C'est le régime pseudo-périodique.

Pour les racines complexes, alpha est leur partie réelle commune ; pour deux racines réelles distinctes, −a/2 est leur moyenne, pas leur valeur individuelle. L’interprétation de a comme amortissement et de b comme rappel concerne le modèle physique à coefficients positifs.

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Le second membre exponentiel, et la résonance. Soit à résoudre

On cherche une solution particulière de la forme $y_p = C\,e^{mx}$. En substituant, $y_p'' + a y_p' + b y_p = C(m^{2} + am + b)e^{mx}$, donc

c'est-à-dire à condition que $m$ ne soit pas racine de l'équation caractéristique. Si $m$ l'est, cette formule divise par zéro, et c'est un signal, pas un accident : la forme essayée est déjà solution de l'homogène, elle ne peut pas produire le second membre. Pour k non nul, la règle tient en trois lignes ; pour k=0, on résout directement l’homogène :

On monte donc d'un degré en $x$ par ordre de multiplicité — exactement comme le facteur $x$ était apparu dans le cas $\Delta = 0$, et pour la même raison algébrique. Il s’agit ici d’une résonance algébrique entre le second membre exponentiel et un mode homogène. Elle n’implique pas à elle seule une croissance non bornée : un polynôme multiplié par une exponentielle décroissante tend encore vers zéro. La résonance d’un oscillateur forcé sinusoïdal nécessite une analyse physique distincte.

Le principe de superposition. Si le second membre est une somme $f_1 + f_2$, une solution particulière est la somme des solutions particulières associées à $f_1$ et à $f_2$. C'est la linéarité, et c'est ce qui permet de traiter séparément chaque morceau d'un second membre compliqué.

Comment on fixe les constantes. Une fois écrite la solution générale $y = A y_1 + B y_2 + y_p$, on impose $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = v_0$. Cela donne un système linéaire de deux équations à deux inconnues $A$ et $B$, toujours inversible d'après le théorème de Cauchy. Deux avertissements pratiques : il faut dériver la solution complète, second membre compris — la solution particulière contribue à $y'(x_0)$ ; et il faut dériver avant de remplacer $x$ par $x_0$, jamais l'inverse.

Résolvons $y''+2y'+y=e^{-x}$ avec $y(0)=0$ et $y'(0)=0$. Le polynôme caractéristique est $(r+1)^2$ : la racine −1 est double. Le second membre utilise précisément ce mode.

Changer l’inconnue pour voir la multiplicité. Posons $y=e^{-x}z$. Alors $y'=e^{-x}(z'-z)$ et $y''=e^{-x}(z''-2z'+z)$. En additionnant, $y''+2y'+y=e^{-x}z''$. L’équation devient $z''=1$, donc $z=x^2/2+Ax+B$.

Imposer les deux données. À x=0, y(0)=B=0 et y'(0)=A−B=0. Ainsi

La substitution précédente vérifie exactement l’équation ; la solution et sa dérivée valent bien zéro au départ.

Étudier la réponse pour x positif ou nul. $y'=e^{-x}x(1-x/2)$. Elle croît sur [0;2], puis décroît sur [2;+∞[. Son maximum est $2e^{-2}\approx0{,}2707$ et sa limite est zéro. L’adjonction du facteur x² traduit ici la résonance algébrique, sans provoquer une divergence.

Distinguer les parties. La solution générale complète est $e^{-x}(x^2/2+Ax+B)$. La solution particulière $x^2e^{-x}/2$ ne remplace pas la famille homogène ; les conditions initiales ont ici annulé ses deux coefficients.

Figure (fig.math.second-order-linear, SVG programmatique existant) : deux panneaux, les racines à gauche, les solutions à droite.

• Panneau gauche — le plan des racines. Un plan complexe, axe réel horizontal, axe imaginaire vertical, origine marquée. Trois configurations superposées dans trois vignettes empilées, chacune avec sa mention. (1) $\Delta > 0$ : deux points sur l'axe réel, en $3$ et $-2$, mention « deux racines réelles ». (2) $\Delta = 0$ : un seul point sur l'axe réel, en $-3$, doublé d'un petit cercle concentrique, mention « racine double : la seconde solution porte un facteur $x$ ». (3) $\Delta < 0$ : deux points symétriques par rapport à l'axe réel, en $-1 + 2i$ et $-1 - 2i$, reliés à l'axe réel par un trait pointillé qui matérialise $\alpha = -1$, et à l'axe imaginaire par un trait qui matérialise $\beta = 2$, mention « $\alpha$ amortit, $\beta$ fait osciller ».
• Panneau droit — les trois allures. Un même repère, $x$ de $0$ à $4$, $y$ de $-1$ à $3$, axe des abscisses tracé en trait plein (la position d'équilibre). Trois courbes, dans trois styles de trait distincts et étiquetées en toutes lettres, jamais par la seule couleur : (a) « apériodique, $\Delta > 0$ » — la courbe $2e^{-x} - e^{-2x}$, qui décroît vers $0$ sans jamais le traverser ; (b) « critique, $\Delta = 0$ » — la courbe $(2 + 7x)e^{-3x}$, qui monte brièvement puis retombe vers $0$ ; (c) « pseudo-périodique, $\Delta < 0$ » — la courbe $e^{-x}(3\cos 2x + 2\sin 2x)$, qui oscille en s'amortissant, avec ses deux enveloppes $\pm\sqrt{13}\,e^{-x}$ en pointillé fin et la pseudo-période $\pi$ cotée entre deux passages successifs par zéro dans le même sens.
• Bandeau du bas : une frise en trois cases, « une condition initiale : une infinité de solutions » / « deux conditions : une solution et une seule » / « troisième donnée : tester la compatibilité ». Chaque case porte une miniature du faisceau de courbes correspondant.

Ce qu'il faut lire. Les panneaux illustrent les mêmes types de racines, sans toujours représenter la même équation : le premier plan a les racines 3 et −2, tandis que la courbe apériodique à droite utilise −1 et −2. Les autres exemples se correspondent. L’allure dépend aussi des coefficients des modes. Une racine réelle négative, c'est une exponentielle qui s'éteint ; une paire complexe, c'est une oscillation dont la partie réelle donne l'enveloppe et la partie imaginaire la pulsation ; une racine double, c'est le cas frontière où apparaît le facteur $x$. Le bandeau, lui, montre le rôle des deux données de Cauchy indépendantes : c'est la dimension 2 de l'espace des solutions, rendue visible.

La figure en détail : la figure comprend deux parties. À gauche, trois petits plans complexes empilés montrent où se placent les racines de l'équation caractéristique dans chacun des trois cas : deux points distincts sur l'axe des réels quand le discriminant est positif ; un point unique, marqué comme double, quand il est nul ; et deux points symétriques par rapport à l'axe des réels quand il est négatif, avec leur partie réelle et leur partie imaginaire matérialisées par des traits pointillés. À droite, un même repère porte trois courbes de solutions, tracées dans des styles de trait différents et étiquetées en toutes lettres. La première décroît régulièrement vers l'axe des abscisses sans le traverser : c'est le régime apériodique. La deuxième monte brièvement avant de retomber vers zéro : c'est le régime critique. La troisième oscille de part et d'autre de l'axe en perdant de l'amplitude à chaque passage, encadrée par deux courbes enveloppes en pointillé, et sa pseudo-période est cotée entre deux passages successifs par zéro dans le même sens : c'est le régime pseudo-périodique. En bas, une frise de trois cases rappelle qu'une seule condition initiale laisse une infinité de solutions, que deux conditions en déterminent une et une seule, et qu’une donnée supplémentaire doit être compatible avec la solution de Cauchy.