La deuxième loi de Newton : des forces à l'accélération

En seconde, le principe d'inertie vous a donné une réponse en oui ou non. Si la somme des forces qui s'exercent sur un système est nulle, alors son vecteur vitesse ne varie pas : il est immobile, ou il avance en ligne droite à vitesse constante. Et réciproquement, si son vecteur vitesse varie — parce qu'il gagne de la vitesse, parce qu'il en perd, ou simplement parce qu'il tourne —, c'est que la somme des forces n'est pas nulle.

Le problème. Cette loi dit qu'il se passe quelque chose. Elle ne dit pas combien. Une voiture de $1\,200$ kg et un chariot de course de $40$ kg tirés par la même force ne partent pas de la même façon : le chariot bondit, la voiture démarre lentement. Le principe d'inertie ne fait pas la différence entre les deux, puisque dans les deux cas la somme des forces est simplement « non nulle ». Il manque une relation quantitative entre la cause — les forces — et l'effet — la variation du vecteur vitesse.

La grandeur qui mesure l'effet est le vecteur accélération, vu dans la leçon précédente : il est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps. La variation sur une durée finie, divisée par cette durée, donne l’accélération moyenne, il s'exprime en mètres par seconde carrée. La loi que voici le relie aux forces.

Deuxième loi de Newton. Dans un référentiel galiléen, pour un système de masse $m$ constante modélisé par un point matériel,

$$\sum \vec{F} = m\,\vec{a},$$

où $\sum \vec{F}$ est la somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées au système, $m$ sa masse en kilogrammes et $\vec{a}$ son vecteur accélération en mètres par seconde carrée.

Ce que cette égalité vectorielle raconte. Trois choses, à lire séparément.

Lorsque la résultante est non nulle, le vecteur accélération a sa direction et son sens ; si elle est nulle, l’accélération est le vecteur nul, sans direction ni sens définis. Diviser un vecteur par une masse, qui est un nombre positif, ne change ni sa direction ni son sens. Autrement dit, c’est la variation du vecteur vitesse qui est du côté de la résultante, pas nécessairement le déplacement. Ce n'est pas le côté où il va — une voiture qui freine avance vers l'avant tandis que la résultante des forces est dirigée vers l'arrière.

La masse mesure la résistance au changement. À somme des forces égale, une grande masse donne une petite accélération, puisque $\vec{a} = \dfrac{1}{m}\sum \vec{F}$. C'est le sens physique de la masse : elle n'est pas seulement « la quantité de matière », elle est la mesure de l'inertie, c'est-à-dire de la difficulté à faire varier le vecteur vitesse. Un camion et une bille lancés à la même vitesse ne s'arrêtent pas avec la même force.

Le principe d'inertie est un cas particulier. Posez $\sum \vec{F} = \vec{0}$ dans la deuxième loi : il vient $\vec{a} = \vec{0}$, donc un vecteur vitesse constant si cette égalité vaut sur tout l’intervalle étudié ; une accélération nulle à un instant isolé ne suffit pas. La première loi n'est pas abrogée, elle est contenue dans la deuxième. Inversement, un mouvement rectiligne uniforme prouve que la somme des forces est nulle — pas qu'il n'y a aucune force.

Le newton, enfin défini. L'égalité fixe l'unité de force : une force de $1$ newton communique à une masse de $1$ kilogramme une accélération de $1$ mètre par seconde carrée. Le newton n'est donc pas une unité indépendante : $1$ N vaut $1$ kg·m·s⁻², c'est-à-dire un kilogramme multiplié par un mètre par seconde carrée. Cette équivalence sert de contrôle d'homogénéité à chaque calcul.

Deux précautions dans l'énoncé de la loi. D'abord, le référentiel galiléen : la relation n'est vraie que dans un référentiel où le principe d'inertie s'applique. Pour les situations et les échelles choisies ici, on assimile le référentiel terrestre ou géocentrique approprié à un référentiel galiléen ; cette approximation dépend du problème. Dans un référentiel en rotation ou en accélération — un manège, un train qui freine —, la relation prend une autre forme, et cela n'est pas au programme. Ensuite, les forces extérieures : on ne compte que les forces exercées sur le système par ce qui l'entoure. Une force que le système exerce sur autre chose n'appartient pas à son bilan — elle appartient au bilan de l'autre. C'est le sens de la troisième loi de Newton, dite loi des actions réciproques : deux corps en interaction exercent l'un sur l'autre des forces de même valeur, de même direction et de sens opposés, mais ces deux forces s’appliquent à deux corps différents : elles ne se compensent pas dans le bilan extérieur de chacun pris séparément. Si les deux corps appartiennent à un même système composite, cette paire devient intérieure et sa somme s’annule dans le bilan global.

Pourquoi cette loi est le cœur de la mécanique. Parce qu'elle est un pont à double sens. Si vous connaissez les forces, vous obtenez l'accélération, donc — dans les leçons suivantes — la vitesse puis la trajectoire : c'est la physique prédictive, celle qui calcule où retombe un projectile et quelle orbite décrit un satellite. Et si vous mesurez l'accélération, vous remontez à la force : c'est ainsi qu'on pèse une planète qu'on n'a jamais touchée. Une seule relation, deux usages.

La deuxième loi est une égalité entre deux vecteurs. Un vecteur ne se calcule pas directement : on le projette sur des axes. Toute la difficulté d'un exercice de mécanique tient dans les quatre étapes qui mènent à cette projection, et l'ordre de ces étapes n'est pas décoratif — chacune fournit ce dont la suivante a besoin.

Premier temps : définir le système. Écrivez explicitement ce que vous étudiez : « le système est la caisse », « le système est la cabine et ses passagers ». Cette phrase décide de tout le reste, car elle sépare l'intérieur de l'extérieur. Si vous prenez la cabine seule, le poids des passagers ne figure pas dans votre bilan, mais la force qu'ils exercent sur le plancher, si. Si vous prenez l'ensemble, leur poids y figure et la force sur le plancher devient intérieure, donc absente. Deux systèmes différents, deux bilans différents, deux calculs corrects.

Deuxième temps : choisir le référentiel et le déclarer galiléen. Une accélération n'existe que par rapport à un référentiel. On écrit : « référentiel terrestre, supposé galiléen ». Cette mention n'est pas une formule de politesse : elle est la condition de validité de la loi qu'on va appliquer.

Troisième temps : faire le bilan des forces extérieures. Procédez toujours dans le même ordre, c'est ainsi qu'on n'oublie rien.

• D'abord les actions à distance. Dans les modèles mécaniques étudiés ici, l’action à distance retenue est généralement le poids $\vec{P}$, vertical, dirigé vers le bas, de valeur $P = mg$ avec $g = 9{,}81$ m·s⁻² au voisinage du sol.
• Ensuite les actions de contact. Regardez ce qui touche le système, objet par objet. Un support en contact exerce une réaction : sa composante perpendiculaire au support est la réaction normale $\vec{R}$, sa composante parallèle est la force de frottement $\vec{f}$, opposée au glissement relatif lorsqu’il existe ; le frottement statique peut agir sans glissement et être moteur. Un câble exerce une tension $\vec{T}$, dirigée le long du câble, vers le point d'attache. Une main ou un vérin peuvent exercer une force motrice ou résistante selon la scène. Pour un véhicule motorisé pris comme système, la force d’adhérence exercée par la route sur les roues est extérieure, tandis que les actions du moteur sur les pièces sont intérieures.
• Rien d'autre. Il n'existe ni « force de mouvement », ni « force d'élan », ni « force acquise » : le mouvement n'est pas une force. Il n'existe pas non plus de « force centrifuge » dans un référentiel galiléen : la sensation d'être poussé vers l'extérieur d'un virage est bien réelle, mais elle ne correspond à aucune force dans le bilan.

Quatrième temps : orienter des axes, puis projeter. Choisissez les axes en fonction du mouvement, pas de l'habitude. Sur un plan horizontal, un axe horizontal dans le sens du mouvement et un axe vertical vers le haut. Sur un plan incliné, un axe parallèle au plan, orienté vers le bas de la pente, et un axe perpendiculaire au plan : ce choix-là fait disparaître la réaction de l'équation utile. Écrivez ensuite l'orientation choisie dans votre copie — sans elle, aucun signe n'a de sens.

La projection obéit à trois règles, et à trois seulement. Une force dirigée dans le sens de l'axe compte positivement, une force de sens contraire compte négativement, une force perpendiculaire à l'axe ne compte pas — sa composante est nulle. Le membre de droite suit la même règle : sur un axe vertical orienté vers le haut, l'accélération d'une cabine qui accélère vers le haut est $a_z = +a$, celle d'une cabine qui accélère vers le bas est $a_z = -a$.

Le point qui fait perdre le plus de points : le signe de l'accélération. L'énoncé décrit une phase du mouvement ; c'est elle qui donne le sens du vecteur accélération, pas le sens du déplacement. Retenez ce tableau de lecture.

Pour les phases rectilignes verticales de ce tableau, l’accélération est dans le sens de la vitesse lorsque sa norme augmente, en sens contraire lorsqu’elle diminue. Cette règle n’est pas une description générale des mouvements courbes. Une cabine qui freine à la descente a une accélération dirigée vers le haut alors qu'elle descend — cela paraît étrange, c'est pourtant ce que dit sa vitesse qui diminue, et c'est pourquoi le câble tire alors plus fort que le poids.

Les trois situations canoniques. Cette leçon se concentre sur trois modèles usuels, sans couvrir tous les exercices de terminale.

Translation horizontale avec frottements. Quatre forces : le poids et la réaction normale, verticales, qui se compensent puisque le mouvement est horizontal ; la force motrice et les frottements, horizontales. Sur l'axe horizontal orienté dans le sens du mouvement : $F - f = m a$. On en tire soit l'accélération, $a = \dfrac{F - f}{m}$, soit la force motrice, $F = m a + f$. Lecture : la force motrice sert d'abord à vaincre les frottements, et seul l'excédent accélère.

Cabine suspendue à un câble. Deux forces seulement : le poids et la tension. Sur l'axe vertical orienté vers le haut : $T - mg = m a_z$, d'où $T = m(g + a_z)$. Quand l'accélération est vers le haut, la tension dépasse le poids ; quand elle est vers le bas, elle lui est inférieure ; quand la cabine monte à vitesse constante, elle l'égale exactement. C'est aussi l'explication de la sensation de lourdeur au démarrage d'un ascenseur qui monte.

Plan incliné sans frottement. Deux forces : le poids et la réaction, perpendiculaire au plan. Sur l'axe parallèle au plan orienté vers le bas de la pente, la réaction n'a pas de composante, et le poids en a une, égale à $mg\sin\alpha$ où $\alpha$ est l'angle du plan avec l'horizontale. D'où $mg\sin\alpha = ma$, puis $a = g\sin\alpha$ : la masse se simplifie. Deux corps de masses différentes glissent identiquement sur le même plan sans frottement — c'est le résultat de Galilée, retrouvé par le calcul.

Ce que cette leçon ne fait pas. Elle s'arrête à l'accélération. Passer de l'accélération à la vitesse, puis à la position, demande d'intégrer : c'est l'objet des leçons suivantes, sur le mouvement rectiligne uniformément accéléré puis sur le mouvement dans un champ de pesanteur uniforme. On ne traite pas non plus les frottements fluides, dont la valeur dépend de la vitesse : ils conduisent à une équation différentielle et à une vitesse limite, hors de cette leçon. Enfin, le système est toujours un point de masse constante : la rotation d'un solide sur lui-même et les systèmes qui perdent de la masse, comme une fusée, relèvent de l'enseignement supérieur.

Trois situations, la même méthode en quatre temps. Dans les trois, $g = 9{,}81$ m·s⁻².

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Situation 1 — une caisse poussée sur un sol horizontal.

Une caisse de masse $m = 40$ kg est poussée en ligne droite sur le sol horizontal d'un entrepôt. Le manutentionnaire exerce une force horizontale de valeur $F = 150$ N ; les forces de frottement ont une valeur totale $f = 50$ N. Calculer la valeur $a$ de l'accélération de la caisse.

Système : la caisse. Référentiel : terrestre, supposé galiléen.

Bilan des forces : le poids $\vec{P}$, vertical vers le bas ; la réaction normale $\vec{R}$ du sol, verticale vers le haut ; la force de poussée $\vec{F}$, horizontale dans le sens du mouvement ; les frottements $\vec{f}$, horizontaux et opposés au mouvement.

Axes : un axe horizontal orienté dans le sens du mouvement, un axe vertical orienté vers le haut. Le mouvement étant horizontal, l'accélération n'a pas de composante verticale : sur l'axe vertical, $R - mg = 0$, ce qui donne $R = mg = 40 \times 9{,}81 = 392{,}4$ N — utile pour connaître la réaction, inutile pour l'accélération.

Projection sur l'axe horizontal : la poussée compte positivement, les frottements négativement, le poids et la réaction sont perpendiculaires à l'axe et ne comptent pas.

Lecture. Seule la résultante accélère la caisse : les $150$ N de poussée sont amputés des $50$ N de frottement, et ce sont les $100$ N restants qui comptent. Si le manutentionnaire poussait avec exactement $50$ N, la résultante serait nulle et la caisse avancerait à vitesse constante — sans s'arrêter pour autant.

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Situation 2 — une cabine d'ascenseur qui arrive en haut.

Une cabine d'ascenseur et ses passagers, de masse totale $m = 800$ kg, sont suspendus à un câble. La cabine arrive au dernier étage : sa vitesse, dirigée vers le haut, diminue jusqu'à l'arrêt, avec une accélération de valeur $a = 1{,}2$ m·s⁻². On oriente l'axe vertical vers le haut. Calculer la valeur $T$ de la tension du câble.

Système : la cabine et ses passagers. Référentiel : terrestre, supposé galiléen.

Bilan des forces : deux seulement, le poids $\vec{P}$ vers le bas et la tension $\vec{T}$ du câble vers le haut.

Sens de l'accélération : la vitesse est vers le haut et diminue, donc le vecteur accélération est dirigé vers le bas. Sur un axe orienté vers le haut, sa composante est négative : $a_z = -a = -1{,}2$ m·s⁻².

Projection sur l'axe vertical orienté vers le haut :

soit $T \approx 6{,}89 \times 10^{3}$ N avec trois chiffres significatifs.

Contrôle. Le poids vaut $mg = 800 \times 9{,}81 = 7\,848$ N. La tension trouvée lui est inférieure, ce qui est cohérent : la résultante est dirigée vers le bas, comme l'accélération. Si l'on avait trouvé une tension supérieure au poids, le signe de $a_z$ aurait été faux.

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Situation 3 — un chariot sur un plan incliné sans frottement.

Un chariot glisse sans frottement le long d'un rail incliné qui fait un angle $\alpha = 30°$ avec l'horizontale. Calculer la valeur $a$ de son accélération.

Système : le chariot. Référentiel : terrestre, supposé galiléen.

Bilan des forces : le poids $\vec{P}$, vertical vers le bas ; la réaction $\vec{R}$ du rail, perpendiculaire au plan puisqu'il n'y a pas de frottement.

Axes : un axe parallèle au plan, orienté vers le bas de la pente ; un axe perpendiculaire au plan. Ce choix est décisif : sur l'axe parallèle, la réaction n'a aucune composante.

Projection sur l'axe parallèle au plan : la composante du poids le long de la pente vaut $mg\sin\alpha$.

soit $a \approx 4{,}91$ m·s⁻² avec trois chiffres significatifs.

Lecture. La masse a disparu de l'équation : elle figurait des deux côtés et s'est simplifiée. Un chariot chargé et un chariot vide accélèrent donc identiquement sur ce rail. Vérifiez aussi l'encadrement : $a = 4{,}91$ m·s⁻² est inférieur à $g = 9{,}81$ m·s⁻², ce qui est nécessaire — un plan incliné ne peut pas faire tomber plus vite qu'une chute libre. À la limite $\alpha = 90°$, on retrouverait bien $a = g$.

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Contrôler ses trois résultats. Les unités d'abord : une accélération en mètres par seconde carrée, une force en newtons — jamais l'inverse. Les ordres de grandeur ensuite : quelques mètres par seconde carrée pour un mobile courant, quelques milliers de newtons pour un ascenseur chargé. Le sens enfin : la résultante que vous avez calculée pointe-t-elle du même côté que l'accélération décrite dans l'énoncé ? Si les deux se contredisent, l'erreur est dans un signe de projection.

La caisse illustre le bilan extérieur et la projection : 150 N vers l’avant et 50 N vers l’arrière donnent une résultante de 100 N, donc 2,5 m/s² pour 40 kg. Les forces verticales se compensent dans ce mouvement horizontal.

L’ascenseur montre pourquoi il faut distinguer vitesse et accélération : démarrer vers le haut demande une tension supérieure au poids ; freiner en montant donne une accélération vers le bas et une tension inférieure au poids. Le plan incliné montre l’intérêt d’un axe parallèle au support : la réaction n’y a pas de composante et $a=g\sin\alpha$.

Les vignettes barrées rappellent de ne pas ajouter une force d’élan, une force centrifuge dans le référentiel galiléen retenu, ni une force exercée par le système sur son environnement à son propre bilan extérieur.