L'oscillateur harmonique amorti en régime libre

Vous savez déjà écrire l'équation d'un système masse-ressort idéal et en tirer une sinusoïde qui dure éternellement. Aucun oscillateur réel ne se comporte ainsi : une masse suspendue finit par s'arrêter, un pendule aussi, une aiguille de galvanomètre aussi. Il manque une force à l'équation, et cette force change tout.

Le modèle. Masse ponctuelle ou translation sans rotation, ressort de masse négligeable linéaire dans sa plage élastique et support fixe, référentiel assimilé galiléen. Le fluide est au repos ; la traînée linéaire est une hypothèse du régime de vitesse retenu. Masse, raideur et coefficient de frottement sont constants, sans entraînement extérieur. Une masse $m$ est reliée à un ressort de raideur $k$ et subit un frottement fluide, force opposée à la vitesse et proportionnelle à son intensité : $\vec{f} = -\alpha \vec{v}$, avec $\alpha > 0$ en N·s·m⁻¹. En repérant par $x$ l'écart à la position d'équilibre, la deuxième loi de Newton projetée sur l'axe du mouvement donne

(Si le ressort vertical reste linéaire, sans détente ni perte de contact, le poids ne fait que déplacer la position d'équilibre : en repérant $x$ à partir de cette nouvelle position, l'équation est identique. C'est le même argument qu'en régime non amorti.)

La forme canonique, et pourquoi elle existe. On ne garde pas $m$, $k$ et $\alpha$ : on les remplace par deux grandeurs qui ont un sens physique et dont l'une est sans dimension.

$$\ddot{x} + \frac{\omega_0}{Q}\,\dot{x} + \omega_0^{\,2}\,x = 0, \qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad Q = \frac{m\,\omega_0}{\alpha} = \frac{\sqrt{k\,m}}{\alpha}.$$

$\omega_0$ est la pulsation propre — celle qu'aurait l'oscillateur sans frottement — et $Q$ le facteur de qualité, nombre sans unité qui mesure la faiblesse de l'amortissement : $Q$ grand, oscillateur peu amorti.

Vérifiez l’homogénéité, c'est instructif : $\alpha \dot{x}$ est une force, donc $\alpha$ s'exprime en N·s·m⁻¹ = kg·s⁻¹ ; $m\omega_0$ aussi ; leur quotient est donc bien un nombre pur. Tout l'intérêt est là : deux oscillateurs de tailles très différentes qui ont le même $Q$ ont la même équation normalisée ; leurs mouvements ont la même allure si les conditions initiales normalisées correspondent, à un changement d'échelle près sur le temps et sur l'amplitude.

Trois régimes, décidés par un seul test. L'équation caractéristique $r^2 + \dfrac{\omega_0}{Q}\,r + \omega_0^{\,2} = 0$ a pour discriminant

dont le signe ne dépend que de $Q$ comparé à $\dfrac{1}{2}$.

• $Q < \dfrac{1}{2}$ : $\Delta > 0$, deux racines réelles négatives. Le mouvement est la somme de deux exponentielles décroissantes : la masse revient à l'équilibre sans osciller. C'est le régime apériodique (ou fortement amorti).
• $Q = \dfrac{1}{2}$ : $\Delta = 0$, une racine double $r = -\omega_0$. Le mouvement s'écrit $(A + Bt)\,\mathrm{e}^{-\omega_0 t}$ : pas d'oscillation non plus. C'est le régime critique, sans que cela garantisse un retour sans franchissement pour toutes conditions initiales. La comparaison de rapidité exige un protocole précis.
• $Q > \dfrac{1}{2}$ : $\Delta < 0$, deux racines complexes conjuguées. Le mouvement oscille en s'éteignant : c'est le régime pseudo-périodique, celui où une pseudo-période et une enveloppe oscillante sont définies, et le seul que la suite de la leçon détaille.

Comparer des retours. Fixez m et k, les conditions initiales et une tolérance de retour. Pour le lâcher au repos représenté, les courbes critique et apériodique reviennent sans franchissement ; la critique atteint ici le seuil1% avant l’apériodique plus amortie. Ce n’est pas un théorème pour toutes vitesses initiales : en régime critique, $x(t)=(0{,}05-t)e^{-20t}$ franchit zéro à0,05 s. Le retour vers l’équilibre est asymptotique, pas une arrivée exacte en temps fini. Les amortisseurs réels dépendent de leurs contraintes, ils ne suivent pas tous un réglage universel.

Le régime pseudo-périodique ($Q > \frac{1}{2}$) mérite d'être décrit en détail, car sa pseudo-période et le rapport de maxima permettent une caractérisation pratique, sans exclure la mesure des autres régimes.

La solution, et ce qu'elle contient. Les racines de l'équation caractéristique s'écrivent $r = -\dfrac{\omega_0}{2Q} \pm \mathrm{i}\,\omega$, avec

La solution réelle est donc

$A$ et $\varphi$ étant fixés par les conditions initiales. Elle se lit en deux morceaux : un cosinus, qui fait osciller, et une exponentielle décroissante, l'enveloppe, qui écrase progressivement les oscillations.

Ce n'est pas une période, et $\omega$ n'est pas une pulsation propre. Le mouvement n'est pas périodique : $x(t + T) \neq x(t)$, puisque l'enveloppe a baissé entre-temps. Ce qui se répète, c'est le passage par zéro dans le même sens et la succession des extrema. On parle donc de pseudo-pulsation $\omega$ et de pseudo-période

La racine carrée est un nombre strictement compris entre $0$ et $1$ : la pseudo-période est toujours plus grande que la période propre. Le frottement ralentit l'oscillateur, il ne l'accélère jamais. Pour $Q = 10$, l'écart n'est que de $0{,}13\ \%$ : c'est pourquoi, pour un oscillateur peu amorti, on confond en pratique $T$ et $T_0$ — mais on sait dans quel sens on triche.

Le temps de relaxation. L'enveloppe est $A\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$ avec

Dans le régime pseudo-périodique, c’est le temps au bout duquel l’enveloppe a été divisée par $\mathrm{e}$. Notez bien que $\tau$ ne dépend que de $m$ et de $\alpha$ : la raideur intervient dans la pseudo-pulsation, tandis que ce taux exponentiel d’enveloppe vaut alpha/(2m). Dans les régimes non oscillants, le taux lent du retour ne se résume pas à ce seul tau.

Le décrément logarithmique. On mesure sur un enregistrement deux élongations non nulles séparées d’une pseudo-période, $x(t)$ et $x(t + T)$. Leur rapport ne dépend pas de $t$ :

On appelle décrément logarithmique le logarithme de ce rapport :

C'est le logarithme du rapport, pas le rapport : la confusion coûte cher, et elle se repère à l'ordre de grandeur ($\delta$ vaut typiquement quelques dixièmes, le rapport vaut quelques unités). Le décrément est la grandeur qu'on mesure vraiment : il suffit de deux maxima homologues de même signe, séparés de T, lus sur une acquisition pour en tirer $Q$, puis $\alpha$.

En notant $A_n$ les valeurs absolues d’extrema homologues de même signe, après $n$ pseudo-périodes cette amplitude est divisée par $\mathrm{e}^{n\delta}$ :

L’énergie instantanée. Dans ce modèle, $E=\frac12m\dot x^2+\frac12kx^2$ vérifie exactement $E'= -\alpha\dot x^2\le0$. La dissipation peut augmenter les énergies internes du mobile et du fluide ; ce n’est pas une chaleur stockée. L’énergie instantanée n’est pas, en général, exactement $E_0e^{-2t/\tau}$ : à un lâcher au repos sa dérivée initiale est nulle.

Aux mêmes phases espacées de T, x et sa dérivée sont tous deux multipliés par $e^{-T/\tau}$, d’où l’identité exacte $E(t+T)=e^{-2T/\tau}E(t)$. Une loi exponentielle continue pour l’énergie moyenne sur les oscillations est une approximation de faible amortissement, de temps caractéristique $\tau/2$. Dans cette limite,

Le nombre d’oscillations visibles dépend aussi de l’amplitude initiale et du seuil de détection ; Q ne le fixe pas à lui seul.

Retour sur le régime critique. En régime apériodique, une racine lente est $r_+=-\frac{\omega_0}{2Q}(1-\sqrt{1-4Q^2})$. Son temps caractéristique augmente avec alpha à m/k fixés, mais son coefficient dépend des conditions initiales. La comparaison graphique de retours depuis le repos reste donc bornée à ce protocole. La condition critique est $\alpha=2\sqrt{km}$, soit, à k et alpha fixés,

Et le circuit RLC ? Un circuit RLC série obéit à la même équation, avec $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ : trois régimes, pseudo-période, décrément, tout se transpose. C'est l'objet d'une autre fiche du même cycle ; ici, il suffit de savoir que l’analogie est exacte pour composants idéaux linéaires et constants, variables et conditions initiales correspondantes.

Énoncé. Dans les hypothèses du modèle linéaire annoncées, une masse $m = 0{,}200$ kg glisse sur un banc horizontal, reliée à un ressort de raideur $k = 80{,}0$ N·m⁻¹ ; une palette plongée dans un liquide exerce sur elle une force de frottement fluide $\vec{f} = -\alpha\vec{v}$ avec $\alpha = 0{,}800$ N·s·m⁻¹. On l'écarte de $A_0 = 5{,}00$ cm et on la lâche sans vitesse initiale.

1. Déterminer la pulsation propre et le facteur de qualité, et en déduire le régime.
2. Calculer la pseudo-période, et la comparer à la période propre.
3. Calculer le temps de relaxation et le décrément logarithmique.
4. Quelle amplitude reste-t-il après trois pseudo-périodes ?
5. Quelle masse faudrait-il pour que ce même dispositif soit en régime critique ?

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1. Les deux paramètres, et le régime.

Comme $Q = 5{,}00 > \dfrac{1}{2}$, le régime est pseudo-périodique : la masse va osciller en s'amortissant. (On aurait obtenu le même nombre par $Q = \dfrac{\sqrt{km}}{\alpha} = \dfrac{\sqrt{80{,}0 \times 0{,}200}}{0{,}800} = \dfrac{4{,}00}{0{,}800}$.)

2. La pseudo-période. La période propre vaut

et la pseudo-pulsation

d'où

La pseudo-période dépasse la période propre d'environ $0{,}50\ \%$ : l'écart est réel mais faible, comme il se doit pour $Q = 5$. Il est positif, toujours.

3. Relaxation et décrément.

Contrôle par la formule directe, qui n'utilise que $Q$ : $\delta = \dfrac{2\pi}{\sqrt{4Q^2 - 1}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{99}} \approx 0{,}631$. Les deux chemins donnent le même nombre, ce qui valide $T$ au passage. Le rapport de deux maxima successifs vaut $\mathrm{e}^{0{,}631} \approx 1{,}88$ : chaque oscillation conserve $1/1{,}88 \approx 53\ \%$ de l'amplitude précédente, donc en perd $47\ \%$. Retenez la hiérarchie des trois nombres : le rapport $1{,}88$, son logarithme $0{,}631$ — c'est le décrément — et le pourcentage conservé $53\ \%$. Les confondre est la faute la plus fréquente du chapitre.

4. Après trois pseudo-périodes.

Au maximum homologue situé à3T, il reste environ7,5 mm. Entre ces instants homologues, l’énergie est multipliée exactement par $e^{-6\delta}$, soit environ0,0226 : il en reste environ2,3%. Cela ne pose pas une loi exponentielle exacte à tout instant.

5. La masse critique. Le régime critique exige $Q = \dfrac{1}{2}$, soit $\sqrt{km} = \dfrac{\alpha}{2}$, donc

Autrement dit, avec ce ressort et ce fluide, il faudrait une masse cent fois plus légère pour supprimer les oscillations. À l'inverse, l'amortisseur qu'il faudrait pour rendre critique la masse de $200$ g serait $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 2 \times 4{,}00 = 8{,}00$ N·s·m⁻¹, soit dix fois celui du montage.

Contrôle d'ensemble. $T > T_0$ ? Oui, de peu, cohérent avec $Q$ grand. $\delta$ de l'ordre de quelques dixièmes ? Oui. $\tau$ de l'ordre de quelques pseudo-périodes ? $\tau/T \approx 1{,}6$, et le nombre visible demande en plus un seuil de détection et une amplitude initiale. Trois vérifications qui ne coûtent rien et attrapent presque toutes les erreurs de formule.

Lisez les deux panneaux existants. À gauche, les trois solutions analytiques ont le même départ x0=5 cm, une vitesse initiale nulle et omega0=20 rad/s. Les Q5/0,5/0,15 comparent ces seules conditions initiales. La bande au seuil1% illustre un temps d’établissement choisi, pas une arrivée exacte à l’équilibre ni un classement universel.

À droite, les maxima homologues sont5,00 ;2,66 ;1,42 cm aux instants0,T,2T. Les exponentielles repères $\pm x_0e^{-t/\tau}$ passent par ces extrema de même phase ; elles ne constituent pas l’enveloppe stricte de la courbe lancée au repos. Pour celle-ci, le coefficient d’enveloppe strict vaut $A=x_0\sqrt{1+(1/(\omega\tau))^2}\approx5{,}025$ cm. La différence est petite mais conceptuellement nécessaire. Le rapport des maxima donne le décrément ; le cartouche agrandit la différence entre T et T0. Les échelles de temps et de position sont distinctes.