Masse, volume et masse volumique

Voici la devinette la plus connue de tout le collège. Qu'est-ce qui est le plus lourd : un kilogramme de plumes, ou un kilogramme de plomb ?

Ni l'un ni l'autre. Ils ont exactement la même masse : un kilogramme, c'est un kilogramme. Ce qui change, c'est la place que chacun occupe. Le kilogramme de plumes remplirait un grand sac ; le kilogramme de plomb tiendrait dans le creux de la main.

Cette leçon donne un nom à ce qui les sépare vraiment. Mais commençons par les deux grandeurs que tu connais déjà.

La masse est une grandeur caractérisant un objet ; elle est distincte de la quantité de matière, grandeur exprimée en moles dans un autre chapitre. On la mesure avec une balance, en grammes (g) ou en kilogrammes (kg). Un kilogramme vaut mille grammes.

Le volume mesure la place qu'occupe un objet. Pour un liquide, on le mesure avec une éprouvette graduée, en millilitres (mL) ou en litres (L). Pour un solide, on l'exprime souvent en centimètres cubes (cm³).

Une égalité très commode relie ces deux façons de compter : 1 mL = 1 cm³. Ce sont deux écritures du même volume, et l'on passe de l'une à l'autre sans rien calculer.

La nouvelle grandeur de la leçon. La masse volumique d'une matière est la masse d'un volume donné de cette matière — par exemple la masse d'un centimètre cube. Elle se note avec la lettre grecque $\rho$, qui se prononce « rhô », et se calcule ainsi :

• $m$ : la masse de l'échantillon, en grammes (g) ;
• $V$ : le volume de ce même échantillon, en centimètres cubes (cm³) ;
• $\rho$ : la masse volumique, en grammes par centimètre cube (g/cm³).

Reviens maintenant à la devinette. La masse volumique du plomb vaut 11,3 g/cm³ : un seul centimètre cube de plomb pèse 11,3 g. Celle des plumes est bien plus petite. Le plomb n'est donc pas « plus lourd » que les plumes — il est plus dense, c'est-à-dire qu'à volume égal il a plus de masse.

La phrase à retenir. « Lourd » compare deux objets. « Dense » compare deux matières, à volume égal. Un camion de polystyrène est plus lourd qu'une bille de plomb, et pourtant le plomb reste bien plus dense.

Une propriété capitale. La masse volumique ne dépend pas de la quantité de matière. Un petit clou en fer et une poutre en fer ont la même masse volumique, 7,87 g/cm³. Leurs masses sont très différentes, leurs volumes aussi, mais le quotient des deux, lui, ne change pas. C'est précisément ce qui rend la masse volumique utile : elle caractérise la matière elle-même.

À état, température et pression fixés, la masse volumique d'une matière homogène ne dépend pas de la taille de l'échantillon. C'est un indice d'identification parmi des candidats donnés, pas une preuve universelle d'identité ou de pureté. Des matières différentes peuvent avoir la même valeur arrondie.

Quelques valeurs usuelles arrondies à savoir lire (à température ordinaire, la glace à 0 °C) :

Tu utiliseras les valeurs fournies dans ces exercices. Ce qu'il faut savoir, c'est s'en servir.

Reconnaître un métal en deux mesures. On pèse un objet : 216 g. On mesure son volume en le plongeant dans une éprouvette graduée : le niveau d'eau monte de 80 cm³. On calcule alors

Dans cet exercice, l'objet est supposé plein, homogène et constitué de l'un des métaux proposés : la table conduit alors à l'aluminium. Cela ne prouve pas à soi seul sa pureté. Par exemple, les tables de la Royal Society of Chemistry donnent la même valeur arrondie de 19,3 g/cm³ à l'or et au tungstène.

La méthode de l'éprouvette, en trois gestes. Pour mesurer le volume d'un solide qui coule, ne se dissout pas, ne réagit pas avec l'eau et n'est pas poreux : il ne doit ni absorber l'eau ni emprisonner de bulles. Sous ces hypothèses :

1. verse de l'eau dans une éprouvette graduée et lis le niveau, par exemple 50 mL ;
2. plonge l'objet entièrement, puis lis le nouveau niveau, par exemple 130 mL ;
3. le volume de l'objet est la différence : 130 − 50 = 80 mL, soit 80 cm³.

Deux unités, et une conversion à connaître. Les chimistes écrivent volontiers les masses volumiques en g/cm³, parce que les nombres y sont commodes. L'unité du Système international est pourtant le kg/m³. Le passage de l'une à l'autre se fait par un facteur mille :

L'eau vaut donc 1,00 g/cm³, ce qui s'écrit aussi 1000 kg/m³. Le fer vaut 7,87 g/cm³, c'est-à-dire 7870 kg/m³. Écrire « 1 g/cm³ = 1 kg/m³ » est une faute qui multiplie ou divise le résultat par mille.

Pourquoi mille, et pas dix ? Parce qu'un mètre vaut 100 centimètres, donc un mètre cube vaut $100 \times 100 \times 100 = 1\,000\,000$ centimètres cubes ; et un kilogramme vaut 1000 grammes. En divisant un million par mille, on retrouve bien le facteur 1000.

Flotter ou couler : la comparaison avec l'eau. Dans le modèle étudié, l'objet est libre, sans appui ni attache ; on néglige les effets de tension superficielle. On compare sa masse volumique moyenne à celle de l'eau, prise égale à 1,00 g/cm³ dans les conditions choisies :

• si $\rho < 1{,}00$ g/cm³, l'objet flotte ;
• si $\rho > 1{,}00$ g/cm³, l'objet coule ;
• à égalité, un objet entièrement immergé peut rester en équilibre dans ce modèle idéal.

La glace en est le plus bel exemple : 0,92 g/cm³, donc moins dense que l'eau liquide, donc elle flotte. C'est pourquoi les glaçons remontent dans un verre et les icebergs dérivent en mer. L'eau est d'ailleurs l'une des rares matières dont la forme solide est moins dense que la forme liquide.

Ce que la relation permet, dans les deux sens. De $\rho = \dfrac{m}{V}$, on tire deux autres écritures utiles :

La première donne la masse d'un objet dont on connaît le volume ; la seconde donne le volume d'un objet dont on connaît la masse. C'est la même relation, lue de trois façons.

Un pont vers la leçon suivante. L'égalité $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$, jointe à la masse volumique de l'eau, donne un résultat qui servira beaucoup : un millilitre d'eau a une masse d'environ un gramme aux conditions choisies. Le modèle arrondi donne donc 100 g pour 100 mL d'eau. La leçon sur la dissolution s'en sert à chaque exercice.

Un élève dispose de deux échantillons métalliques et d'une éprouvette graduée. On donne la masse volumique du fer : 7,87 g/cm³.

1. Le premier échantillon est en fer et son volume vaut 60 cm³. Quelle est sa masse ?

L'inconnue est la masse. On part de la relation et on l'écrit dans le bon sens :

soit 472 g arrondi au gramme.

Contrôle de l'ordre de grandeur. Un centimètre cube de fer pèse environ 8 g ; 60 centimètres cubes doivent donc peser environ $8 \times 60 = 480$ g. Les 472 g trouvés sont cohérents.

2. Le second échantillon est en fer lui aussi, et sa masse vaut 236 g. Quel est son volume ?

L'inconnue est cette fois le volume :

À remarquer. Le second échantillon a une masse environ deux fois plus petite que le premier, et l'on trouve un volume environ deux fois plus petit : 30 cm³ au lieu de 60 cm³. C'est normal, la masse et le volume sont proportionnels pour une même matière.

Et surtout. Les deux échantillons ont des masses différentes et des volumes différents, mais la même masse volumique, 7,87 g/cm³ : ce sont deux morceaux de la même matière. La masse volumique ne dépend pas de la quantité, et c'est bien cela qu'on vérifie ici.

3. Un troisième objet, de matière inconnue, a une masse de 216 g et un volume de 80 cm³. De quel métal s'agit-il ?

On calcule sa masse volumique :

Sous l'hypothèse d'un objet plein, homogène et formé de l'un des métaux de la table, on retient l'aluminium. Aucun autre candidat de cette table n'a cette valeur.

Pourquoi ce n'est pas du plomb ni de l'or. Le plomb vaut 11,3 g/cm³ et l'or 19,3 g/cm³ : à volume égal, ils seraient bien plus massifs. Un objet en or de 80 cm³ pèserait $19{,}3 \times 80 = 1544$ g, plus d'un kilogramme et demi.

4. Ce troisième objet flotte-t-il sur l'eau ?

On compare sa masse volumique à celle de l'eau, 1,00 g/cm³. Ici $2{,}70 > 1{,}00$ : l'objet coule. Cette conclusion utilise le modèle de flottaison annoncé : objet libre, sans effets de surface significatifs. Elle dépend de la masse volumique moyenne, et non de la masse seule.

5. Exprime la masse volumique de cet objet en kg/m³.

On applique la conversion $1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3$ :

Le nombre change, la matière non : ce sont deux écritures de la même masse volumique.

Figure (fig.chemistry.density-cubes, SVG existant) : trois panneaux dans la teinte chimie de la charte, construits pour séparer une bonne fois « lourd » et « dense ».

• Panneau 1 — le même volume, trois matières. Trois cubes dessinés en perspective, rigoureusement de la même taille, arête 1 cm, cotée par une double flèche sur chacun. Ils portent trois textures différentes (points serrés, hachures obliques, quadrillage), et non pas seulement trois couleurs. Sous chaque cube, une balance à plateau miniature affiche : « aluminium — 2,70 g », « fer — 7,87 g », « or — 19,3 g ». Une accolade horizontale sous les trois cubes porte la mention « même volume : 1 cm³ ». Titre du panneau : « à volume égal, la masse change ».
• Panneau 2 — la même masse, deux volumes. Une balance à deux plateaux, en équilibre parfait, le fléau horizontal. Sur le plateau de gauche, un grand sac de plumes de grande taille ; sur celui de droite, un petit cube de plomb. Les deux sont étiquetés « 1 kg ». Le fléau porte, en son centre, la mention « même masse ». Deux cotes verticales indiquent les hauteurs très différentes des deux objets, avec la mention « volumes très différents ». Titre du panneau : « à masse égale, le volume change ».
• Panneau 3 — mesurer le volume d'un solide. Deux éprouvettes graduées côte à côte. La première contient de l'eau jusqu'à la graduation 50 mL, avec une flèche indiquant la lecture au bas du ménisque. La seconde contient la même eau plus un objet métallique immergé, le niveau étant monté à 130 mL. Entre les deux, une grande accolade et le calcul « 130 − 50 = 80 mL = 80 cm³ ». En dessous, la division posée « 216 g ÷ 80 cm³ = 2,70 g/cm³ » et, en regard, une ligne de la table des masses volumiques dont la case « aluminium » est encadrée en trait épais.
• Bandeau du bas : une règle graduée horizontale portant les masses volumiques de la table, de 0 à 20 g/cm³, avec un repère vertical en trait plein à 1,00 g/cm³ étiqueté « eau ». À gauche du repère, la zone est étiquetée « flotte » ; à droite, « coule ». La glace y figure à 0,92, juste à gauche du repère, ce qui se voit immédiatement.

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 et le panneau 2 racontent la même chose de deux façons opposées, et c'est voulu : pour comparer visuellement des matières par leur masse ou leur volume, on fixe l'un de ces deux termes. Fixe le volume pour comparer les masses, ou fixe la masse pour comparer les volumes. Ces comparaisons aident à distinguer les candidats proposés. Le bandeau applique le modèle de flottaison annoncé : objet libre, masse volumique moyenne et effets de surface négligés.

La figure en détail : trois panneaux. Le premier montre trois cubes identiques d'une arête d'un centimètre, de textures différentes, chacun posé sur une petite balance affichant 2,70 g pour l'aluminium, 7,87 g pour le fer et 19,3 g pour l'or, avec la mention que le volume est le même. Le deuxième montre une balance à deux plateaux en équilibre : un grand sac de plumes d'un kilogramme d'un côté, un petit cube de plomb d'un kilogramme de l'autre, avec deux cotes indiquant des hauteurs très différentes. Le troisième montre deux éprouvettes graduées, l'une avec de l'eau à cinquante millilitres, l'autre avec le même volume plus un objet immergé montant à cent trente millilitres ; la différence de quatre-vingts millilitres, égale à quatre-vingts centimètres cubes, est divisée en deux cent seize grammes pour donner 2,70 gramme par centimètre cube, valeur encadrée dans la ligne « aluminium » de la table. En bas, une règle graduée de zéro à vingt grammes par centimètre cube porte un repère à 1,00 pour l'eau : à gauche du repère, les matières flottent, à droite, elles coulent, la glace figurant à 0,92 juste à gauche.