Masse, volume et masse volumique

Voici la devinette la plus connue de tout le collège. Qu'est-ce qui est le plus lourd : un kilogramme de plumes, ou un kilogramme de plomb ?

Ni l'un ni l'autre. Ils ont exactement la même masse : un kilogramme, c'est un kilogramme. Ce qui change, c'est la place que chacun occupe. Le kilogramme de plumes remplirait un grand sac ; le kilogramme de plomb tiendrait dans le creux de la main.

Cette leçon donne un nom à ce qui les sépare vraiment. Mais commençons par les deux grandeurs que tu connais déjà.

La masse mesure la quantité de matière d'un objet. On la mesure avec une balance, en grammes (g) ou en kilogrammes (kg). Un kilogramme vaut mille grammes.

Le volume mesure la place qu'occupe un objet. Pour un liquide, on le mesure avec une éprouvette graduée, en millilitres (mL) ou en litres (L). Pour un solide, on l'exprime souvent en centimètres cubes (cm³).

Une égalité très commode relie ces deux façons de compter : 1 mL = 1 cm³. Ce sont deux écritures du même volume, et l'on passe de l'une à l'autre sans rien calculer.

La nouvelle grandeur de la leçon. La masse volumique d'une matière est la masse d'un volume donné de cette matière — par exemple la masse d'un centimètre cube. Elle se note avec la lettre grecque $\rho$, qui se prononce « rhô », et se calcule ainsi :

• $m$ : la masse de l'échantillon, en grammes (g) ;
• $V$ : le volume de ce même échantillon, en centimètres cubes (cm³) ;
• $\rho$ : la masse volumique, en grammes par centimètre cube (g/cm³).

Reviens maintenant à la devinette. La masse volumique du plomb vaut 11,3 g/cm³ : un seul centimètre cube de plomb pèse 11,3 g. Celle des plumes est bien plus petite. Le plomb n'est donc pas « plus lourd » que les plumes — il est plus dense, c'est-à-dire qu'à volume égal il a plus de masse.

La phrase à retenir. « Lourd » compare deux objets. « Dense » compare deux matières, à volume égal. Un camion de polystyrène est plus lourd qu'une bille de plomb, et pourtant le plomb reste bien plus dense.

Une propriété capitale. La masse volumique ne dépend pas de la quantité de matière. Un petit clou en fer et une poutre en fer ont la même masse volumique, 7,87 g/cm³. Leurs masses sont très différentes, leurs volumes aussi, mais le quotient des deux, lui, ne change pas. C'est précisément ce qui rend la masse volumique utile : elle caractérise la matière elle-même.

Puisque la masse volumique ne dépend pas de la quantité, elle sert de carte d'identité à une matière. La leçon précédente laissait une question sans réponse : comment reconnaître un corps pur, puisque l'aspect ne prouve rien ? Voici la réponse : en mesurant sa masse volumique et en la comparant à une table.

Quelques valeurs à savoir lire (à température ordinaire, la glace à 0 °C) :

Tu n'as pas à retenir ces nombres : ils te seront toujours donnés. Ce qu'il faut savoir, c'est s'en servir.

Reconnaître un métal en deux mesures. On pèse un objet : 216 g. On mesure son volume en le plongeant dans une éprouvette graduée : le niveau d'eau monte de 80 cm³. On calcule alors

On cherche cette valeur dans la table : c'est l'aluminium. Deux mesures et une division ont suffi à identifier un métal sans le détruire. C'est ainsi qu'on démasque un faux lingot d'or : l'or vaut 19,3 g/cm³, et rien d'autre ne s'en approche.

La méthode de l'éprouvette, en trois gestes. Pour mesurer le volume d'un solide qui ne se dissout pas et qui coule :

1. verse de l'eau dans une éprouvette graduée et lis le niveau, par exemple 50 mL ;
2. plonge l'objet entièrement, puis lis le nouveau niveau, par exemple 130 mL ;
3. le volume de l'objet est la différence : 130 − 50 = 80 mL, soit 80 cm³.

Deux unités, et une conversion à connaître. Les chimistes écrivent volontiers les masses volumiques en g/cm³, parce que les nombres y sont commodes. L'unité du Système international est pourtant le kg/m³. Le passage de l'une à l'autre se fait par un facteur mille :

L'eau vaut donc 1,00 g/cm³, ce qui s'écrit aussi 1000 kg/m³. Le fer vaut 7,87 g/cm³, c'est-à-dire 7870 kg/m³. Écrire « 1 g/cm³ = 1 kg/m³ » est une faute qui multiplie ou divise le résultat par mille.

Pourquoi mille, et pas dix ? Parce qu'un mètre vaut 100 centimètres, donc un mètre cube vaut $100 \times 100 \times 100 = 1\,000\,000$ centimètres cubes ; et un kilogramme vaut 1000 grammes. En divisant un million par mille, on retrouve bien le facteur 1000.

Flotter ou couler : la comparaison avec l'eau. Un objet plongé dans l'eau flotte ou coule selon sa masse volumique comparée à celle de l'eau, qui vaut 1,00 g/cm³ :

• si $\rho < 1{,}00$ g/cm³, l'objet flotte ;
• si $\rho > 1{,}00$ g/cm³, l'objet coule.

La glace en est le plus bel exemple : 0,92 g/cm³, donc moins dense que l'eau liquide, donc elle flotte. C'est pourquoi les glaçons remontent dans un verre et les icebergs dérivent en mer. L'eau est d'ailleurs l'une des rares matières dont la forme solide est moins dense que la forme liquide, et sans cette particularité les lacs gèleraient du fond vers la surface.

Ce que la relation permet, dans les deux sens. De $\rho = \dfrac{m}{V}$, on tire deux autres écritures utiles :

La première donne la masse d'un objet dont on connaît le volume ; la seconde donne le volume d'un objet dont on connaît la masse. C'est la même relation, lue de trois façons.

Un pont vers la leçon suivante. L'égalité $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$, jointe à la masse volumique de l'eau, donne un résultat qui servira beaucoup : un millilitre d'eau a une masse d'un gramme. Cent millilitres d'eau pèsent donc 100 g. La leçon sur la dissolution s'en sert à chaque exercice.

Un élève dispose de deux échantillons métalliques et d'une éprouvette graduée. On donne la masse volumique du fer : 7,87 g/cm³.

1. Le premier échantillon est en fer et son volume vaut 60 cm³. Quelle est sa masse ?

L'inconnue est la masse. On part de la relation et on l'écrit dans le bon sens :

soit 472 g arrondi au gramme.

Contrôle de l'ordre de grandeur. Un centimètre cube de fer pèse environ 8 g ; 60 centimètres cubes doivent donc peser environ $8 \times 60 = 480$ g. Les 472 g trouvés sont cohérents.

2. Le second échantillon est en fer lui aussi, et sa masse vaut 236 g. Quel est son volume ?

L'inconnue est cette fois le volume :

À remarquer. Le second échantillon a une masse deux fois plus petite que le premier, et l'on trouve un volume deux fois plus petit : 30 cm³ au lieu de 60 cm³. C'est normal, la masse et le volume sont proportionnels pour une même matière.

Et surtout. Les deux échantillons ont des masses différentes et des volumes différents, mais la même masse volumique, 7,87 g/cm³ : ce sont deux morceaux de la même matière. La masse volumique ne dépend pas de la quantité, et c'est bien cela qu'on vérifie ici.

3. Un troisième objet, de matière inconnue, a une masse de 216 g et un volume de 80 cm³. De quel métal s'agit-il ?

On calcule sa masse volumique :

On compare à la table : c'est l'aluminium. Aucun autre métal de la table n'a cette valeur.

Pourquoi ce n'est pas du plomb ni de l'or. Le plomb vaut 11,3 g/cm³ et l'or 19,3 g/cm³ : à volume égal, ils seraient bien plus massifs. Un objet en or de 80 cm³ pèserait $19{,}3 \times 80 = 1544$ g, plus d'un kilogramme et demi.

4. Ce troisième objet flotte-t-il sur l'eau ?

On compare sa masse volumique à celle de l'eau, 1,00 g/cm³. Ici $2{,}70 > 1{,}00$ : l'objet coule. Sa masse ne joue aucun rôle dans cette réponse ; seule compte la comparaison des deux masses volumiques.

5. Exprime la masse volumique de cet objet en kg/m³.

On applique la conversion $1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3$ :

Le nombre change, la matière non : ce sont deux écritures de la même masse volumique.

Figure (fig.chemistry.density-cubes, SVG programmatique à produire) : trois panneaux dans la teinte chimie de la charte, construits pour séparer une bonne fois « lourd » et « dense ».

• Panneau 1 — le même volume, trois matières. Trois cubes dessinés en perspective, rigoureusement de la même taille, arête 1 cm, cotée par une double flèche sur chacun. Ils portent trois textures différentes (points serrés, hachures obliques, quadrillage), et non pas seulement trois couleurs. Sous chaque cube, une balance à plateau miniature affiche : « aluminium — 2,70 g », « fer — 7,87 g », « or — 19,3 g ». Une accolade horizontale sous les trois cubes porte la mention « même volume : 1 cm³ ». Titre du panneau : « à volume égal, la masse change ».
• Panneau 2 — la même masse, trois volumes. Une balance à deux plateaux, en équilibre parfait, le fléau horizontal. Sur le plateau de gauche, un grand sac de plumes de grande taille ; sur celui de droite, un petit cube de plomb. Les deux sont étiquetés « 1 kg ». Le fléau porte, en son centre, la mention « même masse ». Deux cotes verticales indiquent les hauteurs très différentes des deux objets, avec la mention « volumes très différents ». Titre du panneau : « à masse égale, le volume change ».
• Panneau 3 — mesurer le volume d'un solide. Deux éprouvettes graduées côte à côte. La première contient de l'eau jusqu'à la graduation 50 mL, avec une flèche indiquant la lecture au bas du ménisque. La seconde contient la même eau plus un objet métallique immergé, le niveau étant monté à 130 mL. Entre les deux, une grande accolade et le calcul « 130 − 50 = 80 mL = 80 cm³ ». En dessous, la division posée « 216 g ÷ 80 cm³ = 2,70 g/cm³ » et, en regard, une ligne de la table des masses volumiques dont la case « aluminium » est encadrée en trait épais.
• Bandeau du bas : une règle graduée horizontale portant les masses volumiques de la table, de 0 à 20 g/cm³, avec un repère vertical en trait plein à 1,00 g/cm³ étiqueté « eau ». À gauche du repère, la zone est étiquetée « flotte » ; à droite, « coule ». La glace y figure à 0,92, juste à gauche du repère, ce qui se voit immédiatement.

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 et le panneau 2 racontent la même chose de deux façons opposées, et c'est voulu : la masse volumique n'a de sens que si l'on fixe l'un des deux termes. Fixe le volume, et la masse révèle la matière. Fixe la masse, et c'est le volume qui la révèle. Le bandeau du bas montre enfin que la flottaison ne dépend d'aucune masse : seulement de la position d'une matière par rapport au repère de l'eau.

La figure en détail : trois panneaux. Le premier montre trois cubes identiques d'une arête d'un centimètre, de textures différentes, chacun posé sur une petite balance affichant 2,70 g pour l'aluminium, 7,87 g pour le fer et 19,3 g pour l'or, avec la mention que le volume est le même. Le deuxième montre une balance à deux plateaux en équilibre : un grand sac de plumes d'un kilogramme d'un côté, un petit cube de plomb d'un kilogramme de l'autre, avec deux cotes indiquant des hauteurs très différentes. Le troisième montre deux éprouvettes graduées, l'une avec de l'eau à cinquante millilitres, l'autre avec le même volume plus un objet immergé montant à cent trente millilitres ; la différence de quatre-vingts millilitres, égale à quatre-vingts centimètres cubes, est divisée en deux cent seize grammes pour donner 2,70 gramme par centimètre cube, valeur encadrée dans la ligne « aluminium » de la table. En bas, une règle graduée de zéro à vingt grammes par centimètre cube porte un repère à 1,00 pour l'eau : à gauche du repère, les matières flottent, à droite, elles coulent, la glace figurant à 0,92 juste à gauche.

Les unités doivent aller ensemble. Une masse en grammes et un volume en centimètres cubes donnent une masse volumique en grammes par centimètre cube. Si la masse est en kilogrammes et le volume en mètres cubes, on obtient des kg/m³. Mélanger les deux systèmes dans un même calcul donne un résultat faux.

Les conversions à ne pas manquer.

• $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$ : ce sont deux noms du même volume ;
• $1 \text{ L} = 1000 \text{ mL} = 1000 \text{ cm}^3$ ;
• $1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$ ;
• $1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3$, et non pas 1 kg/m³.

Un cas particulier très utile. La masse volumique de l'eau valant 1,00 g/cm³, un millilitre d'eau a une masse d'un gramme, et un litre d'eau a une masse d'un kilogramme. Cette égalité ne vaut que pour l'eau : un litre d'huile ou un litre de sable n'ont pas cette masse.

Domaine de validité. La relation suppose que l'échantillon est plein et fait d'une seule matière : ni creux, ni troué, ni composé de plusieurs morceaux différents. Une bouteille en verre vide et un morceau de verre plein n'ont pas la même masse volumique apparente, alors que le verre, lui, n'a pas changé.

Ce que la masse volumique ne dit pas. Elle ne dit pas si un objet est gros ou petit, ni s'il est lourd à porter : elle décrit la matière, pas l'objet. Elle dépend aussi un peu de la température, ce qui explique que les tables précisent toujours à quelle température les valeurs sont données. La poussée d'Archimède, qui explique en détail pourquoi un objet flotte, n'est pas au programme du collège.

1. Dire que le plomb est plus lourd que les plumes. C'est le piège fondateur du chapitre. Un kilogramme de plumes et un kilogramme de plomb ont la même masse. Le plomb est plus dense : à volume égal, il a plus de masse. « Lourd » compare deux objets, « dense » compare deux matières.
2. Croire que la masse volumique dépend de la quantité. Un clou et une poutre en fer ont tous deux 7,87 g/cm³. Doubler l'échantillon double la masse et le volume : le quotient, lui, ne bouge pas. C'est justement ce qui permet d'identifier une matière.
3. Écrire $\rho = \dfrac{V}{m}$ au lieu de $\rho = \dfrac{m}{V}$. Le nom de la grandeur donne l'ordre : masse volumique, c'est une masse rapportée à un volume, donc une masse divisée par un volume. Les unités confirment : des grammes par centimètre cube.
4. Convertir 1 g/cm³ en 1 kg/m³. La bonne conversion est $1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3$. L'eau vaut 1,00 g/cm³, c'est-à-dire 1000 kg/m³, pas 1 kg/m³. Un résultat mille fois trop petit vient presque toujours de là.
5. Oublier de convertir les millilitres en centimètres cubes… alors qu'il n'y a rien à convertir. L'inverse existe aussi : certains élèves multiplient par 1000 sans raison. $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$, exactement, sans facteur.
6. Croire qu'un gros objet coule et qu'un petit flotte. La taille ne joue aucun rôle : un paquebot en acier flotte, un caillou minuscule coule. Ce qui décide, c'est la comparaison de la masse volumique avec celle de l'eau, 1,00 g/cm³ — et, pour un bateau, le fait qu'il soit creux.
7. Lire le volume d'un solide directement sur l'éprouvette. Le volume de l'objet est la différence entre le niveau après immersion et le niveau avant. Lire le niveau final tout seul donne le volume de l'eau et de l'objet réunis.
8. Donner un résultat sans unité, ou avec l'unité de départ. Une masse se donne en grammes, un volume en centimètres cubes, une masse volumique en grammes par centimètre cube. Une réponse sans unité n'est pas une réponse en sciences.

Exercice type. L'exercice donne la masse volumique d'un métal de la table, puis demande soit la masse d'un échantillon dont on connaît le volume, soit le volume d'un échantillon dont on connaît la masse. Un tirage sur trois présente deux échantillons de la même matière, de tailles différentes : c'est là que se vérifie que la masse volumique ne dépend pas de la quantité. La réponse est toujours une masse en grammes ou un volume en centimètres cubes — jamais une masse volumique.

Énoncé. La masse volumique du fer vaut 7,87 g/cm³. Un premier échantillon de fer a un volume de 30 cm³ et une masse de 236 g. Un second échantillon de fer a un volume de 60 cm³. Quelle est la masse de cet échantillon ? Donne le résultat en grammes. Arrondis au gramme.

Correction complète.

Étape 1 — repérer l'inconnue. On cherche une masse, et l'on connaît un volume ainsi que la masse volumique. C'est donc la relation $m = \rho \times V$ qu'il faut écrire.

Étape 2 — se servir du premier échantillon, ou plutôt ne pas s'en servir. Le premier échantillon est fait de la même matière : sa masse volumique est la même, 7,87 g/cm³. Ses valeurs à lui ne servent qu'à te le rappeler ; elles n'entrent pas dans le calcul du second.

Étape 3 — vérifier les unités avant de multiplier. La masse volumique est en g/cm³ et le volume en cm³ : les deux vont ensemble, le résultat sortira en grammes. Rien à convertir.

Étape 4 — calculer.

soit 472 g une fois arrondi au gramme, comme le demande l'énoncé.

Étape 5 — contrôler l'ordre de grandeur. Un centimètre cube de fer pèse environ 8 g, donc 60 cm³ pèsent environ 480 g. La valeur trouvée est cohérente. Si l'on avait obtenu 7,6 g ou 47 kg, il faudrait tout reprendre.

Étape 6 — vérifier par la proportionnalité. Le second échantillon a un volume deux fois plus grand que le premier (60 au lieu de 30). Sa masse doit donc être deux fois plus grande : $236 \times 2 = 472$ g. On retrouve exactement le résultat. Cette vérification est gratuite et attrape presque toutes les erreurs.

Auto-contrôle en deux gestes. Est-ce que je multiplie quand je cherche une masse, et est-ce que je divise quand je cherche un volume ? Mon résultat porte-t-il l'unité demandée, avec un ordre de grandeur crédible ?