Spectroscopie UV-visible : doser par la lumière

Une solution de permanganate de potassium est violette ; une solution de sulfate de cuivre est bleue. En seconde, tu comparais l'intensité de ces teintes à l'œil, sur une échelle de solutions de concentrations connues. La première remplace l'œil par un instrument, le spectrophotomètre, et la comparaison par une loi.

Ce que fait une solution colorée. La lumière blanche contient toutes les radiations visibles, de $380$ nm (violet) à $780$ nm (rouge). Une espèce colorée en solution absorbe certaines radiations et laisse passer les autres ; c'est la lumière transmise que ton œil reçoit. La couleur d'une solution est donc la complémentaire de la couleur absorbée : le permanganate absorbe le vert (autour de $530$ nm) et paraît violet ; une solution qui absorbe le bleu paraît jaune. Une solution ne « contient » pas sa couleur — elle retire de la lumière blanche la couleur opposée.

L'absorbance. Le spectrophotomètre envoie dans la solution une lumière d'une seule longueur d'onde $\lambda$ et compare l'intensité qui sort à celle qui entre. Il en tire l'absorbance $A$, une grandeur sans unité : $A = 0$ si toute la lumière traverse, $A$ d'autant plus grande que la solution absorbe. Le rapport intensité sortante sur intensité entrante s'appelle la transmittance ; l'absorbance en est une autre expression, qui a l'avantage de croître avec la quantité d'espèce absorbante — c'est elle qu'on exploite.

Le spectre d'absorption. Mesurer $A$ pour chaque $\lambda$ du visible et tracer $A$ en fonction de $\lambda$ donne le spectre d'absorption de l'espèce. Il présente en général un maximum, à une longueur d'onde notée $\lambda_{\max}$ : c'est là que la solution absorbe le plus, et c'est là qu'on se placera pour doser, parce que la mesure y est la plus sensible. Le spectre est une carte d'identité — deux espèces différentes n'ont pas le même — et la lecture de $\lambda_{\max}$ donne la couleur absorbée, donc la couleur perçue.

Loi de Beer-Lambert. À une longueur d'onde donnée, l'absorbance d'une solution est proportionnelle à la concentration $C$ de l'espèce absorbante et à la longueur $\ell$ de solution traversée : $A = \varepsilon \, \ell \, C$, où $\varepsilon$ est le coefficient d'absorption molaire de l'espèce à cette longueur d'onde.

Le coefficient $\varepsilon$ dépend de l'espèce, de la longueur d'onde et du solvant ; il se lit dans une table ou se déduit d'un étalonnage, jamais de mémoire. La loi n'est valable que pour des solutions diluées : au-delà d'une absorbance de l'ordre de $1$ à $1{,}5$, la proportionnalité cesse, et une mesure hors de ce domaine ne peut pas être exploitée par la formule.

Lire la loi. $A = \varepsilon \, \ell \, C$ relie quatre grandeurs. La cuve fixe $\ell$ (le plus souvent $1$ cm), la table ou l'étalonnage fixe $\varepsilon$ ; il reste une proportionnalité entre $A$ et $C$. Doubler la concentration double l'absorbance ; doubler l'épaisseur de cuve aussi. Les unités doivent être cohérentes : avec $\ell$ en cm et $C$ en mol/L, $\varepsilon$ s'exprime en $\mathrm{L \cdot mol^{-1} \cdot cm^{-1}}$, et $A$ est bien sans unité — le produit des trois unités se simplifie. La loi se retourne dans tous les sens : $C = A / (\varepsilon \ell)$ pour doser, $\ell = A / (\varepsilon C)$ pour choisir une cuve.

Le domaine de validité. Beer-Lambert est une loi de solutions diluées, à une longueur d'onde fixée, pour une espèce absorbante unique. Trois conséquences pratiques. Un énoncé donne un seuil (souvent $A \leqslant 1{,}5$) : une absorbance de $2{,}4$ ne se convertit pas en concentration, il faut diluer la solution et recommencer. On mesure à $\lambda_{\max}$, où $\varepsilon$ est le plus grand — la mesure y est la plus précise, et c'est à cette longueur d'onde que la table donne $\varepsilon$. Et si deux espèces absorbent à la même longueur d'onde, la loi ne sépare pas leurs contributions.

Le dosage par étalonnage. Le plus souvent, $\varepsilon$ n'est pas connu, ou l'on préfère ne pas s'y fier. On prépare alors une gamme d'étalonnage : plusieurs solutions de l'espèce, de concentrations connues $C_1, C_2, \ldots$, dont on mesure les absorbances $A_1, A_2, \ldots$ à $\lambda_{\max}$, dans la même cuve. Les points $(C_i, A_i)$ s'alignent sur une droite passant par l'origine — c'est la loi de Beer-Lambert qui le garantit, et c'est aussi un test de sa validité : un point qui décroche signale la sortie du domaine linéaire. On mesure ensuite l'absorbance $A$ de la solution inconnue, et l'on lit sa concentration sur la droite — ou, ce qui revient au même, on calcule le coefficient de proportionnalité $k = A_i / C_i$ (qui vaut $\varepsilon \ell$) et l'on écrit $C = A / k$.

Pourquoi l'étalonnage vaut mieux que la formule. Il mesure $\varepsilon \ell$ dans les conditions exactes du TP — même appareil, même cuve, même solvant, même température — et neutralise les écarts que la valeur tabulée ne connaît pas. En contrepartie, la concentration inconnue doit tomber dans la gamme : extrapoler au-delà du dernier point, c'est supposer que la droite continue, ce que rien ne prouve.

Ce que dose l'absorbance. La mesure porte sur l'espèce absorbante à la longueur d'onde choisie. Doser une solution de permanganate de potassium par spectrophotométrie, c'est mesurer la concentration en ions $\mathrm{MnO_4^-}$ ; les ions potassium, incolores, n'y contribuent pas. Une espèce incolore ne se dose pas ainsi — sauf à la faire réagir pour former une espèce colorée, ce qui sort du cadre de la première.

Énoncé. Le spectre d'absorption d'une solution de permanganate de potassium présente un maximum à $\lambda_{\max} = 530$ nm, où le coefficient d'absorption molaire des ions permanganate vaut $\varepsilon = 2\,300\ \mathrm{L \cdot mol^{-1} \cdot cm^{-1}}$. Une solution de concentration inconnue, placée dans une cuve de $\ell = 1{,}0$ cm, a une absorbance $A = 0{,}46$ à $530$ nm. La loi de Beer-Lambert est vérifiée pour $A \leqslant 1{,}5$.

Questions. Quelle est la couleur de la solution ? Calculer sa concentration. Que ferait-on si l'absorbance mesurée avait été $2{,}4$ ?

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1. La couleur. La solution absorbe au maximum à $530$ nm, dans le vert. La couleur perçue est la complémentaire du vert : la solution paraît violette (magenta). Ce n'est pas la solution qui « est verte » : c'est le vert qui lui manque.

2. Vérifier le domaine de validité. $A = 0{,}46 \leqslant 1{,}5$ : la mesure est dans le domaine linéaire, la loi s'applique.

3. Retourner la loi. $A = \varepsilon \, \ell \, C$ donne $C = \dfrac{A}{\varepsilon \, \ell}$. Les unités : $A$ sans unité, $\varepsilon$ en $\mathrm{L \cdot mol^{-1} \cdot cm^{-1}}$, $\ell$ en cm — le résultat sort en mol/L, sans conversion.

4. Calculer.

Le quotient est un décimal exact : $0{,}46 / 2\,300 = 0{,}000\,20$.

La solution contient $C = 2{,}0 \times 10^{-4}$ mol/L d'ions permanganate, avec deux chiffres significatifs comme l'absorbance.

5. Contrôler dans l'autre sens. $\varepsilon \, \ell \, C = 2\,300 \times 1{,}0 \times 2{,}0 \times 10^{-4} = 0{,}46$ ✔. On peut aussi vérifier l'ordre de grandeur : les solutions dosées en spectrophotométrie sont très diluées, de $10^{-5}$ à $10^{-2}$ mol/L — une réponse de $0{,}2$ mol/L aurait signalé une erreur de puissance de dix.

6. Si $A$ avait valu $2{,}4$. La mesure est hors du domaine de linéarité : la formule donnerait $2{,}4 / 2\,300 \approx 1{,}0 \times 10^{-3}$ mol/L, mais rien ne garantit que $A$ soit encore proportionnelle à $C$ à cette absorbance. La bonne réponse est expérimentale : diluer la solution d'un facteur connu (par exemple $10$), mesurer l'absorbance de la solution diluée, en déduire sa concentration, puis multiplier par le facteur de dilution.

7. Variante par étalonnage. Si $\varepsilon$ n'était pas donné, une gamme de quatre solutions à $0{,}50$, $1{,}0$, $1{,}5$ et $2{,}0 \times 10^{-4}$ mol/L aurait fourni $A = 0{,}115$, $0{,}230$, $0{,}345$ et $0{,}460$ : un coefficient $k = A / C = 2\,300\ \mathrm{L/mol}$ constant, et la même concentration $C = 0{,}46 / 2\,300$ pour l'inconnue — sans jamais avoir eu besoin de la table.

Figure (fig.chemistry.beer-lambert, SVG programmatique à produire) : trois panneaux, du principe de la mesure à la droite d'étalonnage.

• Panneau de gauche — la cuve. Une source à gauche, étiquetée « lumière monochromatique, $\lambda = \lambda_{\max}$ », un faisceau qui traverse une cuve rectangulaire de largeur cotée $\ell$, un détecteur à droite. Le faisceau entrant est dessiné épais, le faisceau sortant plus fin, avec la mention « ce qui manque a été absorbé ». Sous la cuve, le mot « absorbance $A$ — sans unité » et la loi $A = \varepsilon \, \ell \, C$.
• Panneau du milieu — le spectre. Un graphique $A$ en fonction de $\lambda$ (de $380$ à $780$ nm), avec la courbe d'absorption des ions permanganate : un maximum arrondi vers $530$ nm, marqué par une ligne verticale en tirets et l'étiquette « $\lambda_{\max} = 530$ nm ». Sous l'axe des longueurs d'onde, une bande représentant le spectre visible, distinguée par des textures autant que par des teintes ; au-dessus du maximum, une flèche vers un petit disque « absorbé : vert », et à côté un second disque « perçu : violet (complémentaire) ». Les deux disques sont reliés par une double flèche portant « couleurs complémentaires ».
• Panneau de droite — l'étalonnage. Un graphique $A$ en fonction de $C$ : quatre points de la gamme, alignés sur une droite passant par l'origine, prolongée en tirets au-delà du dernier point avec la mention « ne pas extrapoler ». Une ligne horizontale part de l'ordonnée $A = 0{,}46$ (la mesure), rejoint la droite, puis descend en pointillés vers l'abscisse $C = 2{,}0 \times 10^{-4}$ mol/L. Une zone hachurée au-dessus de $A = 1{,}5$ porte « hors domaine de linéarité : diluer ».
• Cartouche du bas. « Pente de la droite $= \varepsilon \, \ell$ ; l'inconnue se lit sur la droite, dans la gamme ».

Ce qu'il faut lire. De gauche à droite, la figure raconte la mesure : on choisit $\lambda_{\max}$ sur le spectre (panneau du milieu), on mesure $A$ dans une cuve d'épaisseur connue (panneau de gauche), on convertit $A$ en concentration par la droite d'étalonnage (panneau de droite). Les deux disques du milieu sont le rappel anti-piège : la couleur lue sur le spectre est la couleur absorbée, et la solution montre l'autre.

La figure en détail : à gauche, une source lumineuse, un faisceau épais qui entre dans une cuve rectangulaire dont la largeur est cotée, un faisceau plus fin qui en ressort vers un détecteur, avec la mention que ce qui manque a été absorbé. Au centre, un graphique de l'absorbance en fonction de la longueur d'onde, de trois cent quatre-vingts à sept cent quatre-vingts nanomètres : une bosse arrondie culmine vers cinq cent trente nanomètres, marquée d'une ligne verticale en tirets ; sous l'axe, une bande représente le spectre visible avec des textures ; au-dessus du maximum, deux petits disques reliés par une double flèche, l'un pour la couleur absorbée, le vert, l'autre pour la couleur perçue, le violet. À droite, un graphique de l'absorbance en fonction de la concentration : quatre points alignés sur une droite qui passe par l'origine, prolongée en tirets au-delà du dernier point avec la mention de ne pas extrapoler ; une ligne horizontale part de l'absorbance mesurée, zéro virgule quarante-six, touche la droite, puis descend en pointillés vers la concentration cherchée ; une zone hachurée au-dessus de un virgule cinq porte la consigne de diluer.

Les unités. $A$ n'a pas d'unité ; la transmittance non plus. Avec $\varepsilon$ en $\mathrm{L \cdot mol^{-1} \cdot cm^{-1}}$ et $\ell$ en cm, $C$ sort directement en mol/L. Une cuve de $10$ mm est une cuve de $1$ cm.

Les couleurs complémentaires (cercle chromatique à six secteurs) : violet ↔ jaune-vert, bleu ↔ jaune, vert ↔ magenta, et réciproquement. Elles se lisent sur le cercle, pas de mémoire.

Vers la suite. La spectroscopie infrarouge, leçon suivante, utilise le même principe — une absorption sélective — mais pour identifier des groupes d'atomes plutôt que pour doser. En terminale, l'absorbance servira à suivre l'évolution d'une réaction au cours du temps.

1. Donner à la solution la couleur qu'elle absorbe. Le spectre montre ce que la solution retire de la lumière blanche ; ce que l'œil voit, c'est le reste. Le permanganate absorbe le vert et paraît violet. La question « quelle est sa couleur ? » se résout en deux temps : lire $\lambda_{\max}$, puis prendre la complémentaire.
2. Appliquer la loi hors de son domaine de linéarité. Au-delà du seuil donné (souvent $1{,}5$), l'absorbance n'est plus proportionnelle à la concentration ; la formule donne un nombre, mais ce nombre est faux. La réponse est de diluer et de remesurer, pas de calculer.
3. Donner une unité à l'absorbance. $A$ est un nombre sans unité, comme la transmittance. Écrire « $A = 0{,}46$ mol/L » ou « $0{,}46$ cm » trahit une confusion sur ce que mesure l'appareil.
4. Confondre absorbance et transmittance. Les deux décrivent la même mesure, mais en sens inverse : la transmittance vaut $1$ pour une solution qui laisse tout passer, l'absorbance vaut $0$. C'est l'absorbance qui est proportionnelle à la concentration, et elle seule entre dans Beer-Lambert.
5. Mélanger les unités de $\varepsilon$, $\ell$ et $C$. Si $\varepsilon$ est en $\mathrm{L \cdot mol^{-1} \cdot cm^{-1}}$, $\ell$ doit être en cm et $C$ en mol/L — pas en mm ni en g/L. Une cuve de $10$ mm vaut $1$ cm ; une concentration massique doit être convertie par la masse molaire.
6. Extrapoler la droite d'étalonnage. La droite n'est connue qu'entre le premier et le dernier point de la gamme. Une absorbance supérieure à celle du dernier étalon ne se lit pas : il faut diluer l'inconnue, ou compléter la gamme.
7. Croire que l'absorbance mesure « la solution ». Elle mesure l'espèce qui absorbe à la longueur d'onde choisie. Les ions incolores, le solvant, un autre soluté transparent à $\lambda_{\max}$ n'y contribuent pas ; à l'inverse, une seconde espèce colorée fausserait le dosage.
8. Se tromper de puissance de dix. Les concentrations dosées sont petites ($10^{-5}$ à $10^{-2}$ mol/L). Un résultat de $0{,}2$ ou de $2 \times 10^{-7}$ mol/L doit déclencher une vérification du calcul de $A / (\varepsilon \ell)$ — le contrôle inverse, $\varepsilon \, \ell \, C$, doit redonner $A$.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire une espèce colorée réelle — ions permanganate à $530$ nm, ions cuivre (II) hydratés dont le maximum est à $810$ nm, dans le proche infrarouge — avec son coefficient $\varepsilon$ donné, et demande l'absorbance, la concentration ou l'épaisseur de cuve ; ou bien il présente une gamme d'étalonnage sous forme de table $(C_i, A_i)$ et demande la concentration d'une solution d'absorbance mesurée. Toute absorbance servie est dans le domaine de linéarité. Un modèle voisin, à choix multiples, fait travailler la couleur perçue, la conduite à tenir hors domaine et la distinction absorbance-transmittance.

Énoncé type. Une gamme d'étalonnage d'ions cuivre (II) est mesurée à $810$ nm dans une cuve de $1{,}0$ cm.

Une solution inconnue a une absorbance $A = 0{,}60$ dans les mêmes conditions. Déterminer sa concentration.

Corrigé complet.

1. Vérifier la proportionnalité. $0{,}24 / 0{,}020 = 12$ ; $0{,}48 / 0{,}040 = 12$ ; $0{,}72 / 0{,}060 = 12$ ; $0{,}96 / 0{,}080 = 12$. Le rapport $A / C$ est constant : les points sont alignés sur une droite passant par l'origine, de coefficient $k = 12\ \mathrm{L/mol}$ — c'est la loi de Beer-Lambert, avec $k = \varepsilon \, \ell$.

2. Situer la mesure. $A = 0{,}60$ est comprise entre $0{,}48$ et $0{,}72$ : l'inconnue est dans la gamme, la lecture est légitime.

3. Calculer.

La solution inconnue contient $C = 5{,}0 \times 10^{-2}$ mol/L d'ions cuivre (II).

4. Contrôler. $12 \times 0{,}050 = 0{,}60$ ✔, et $0{,}050$ mol/L est bien entre $0{,}040$ et $0{,}060$, comme $0{,}60$ est entre $0{,}48$ et $0{,}72$. Au passage, $k = \varepsilon \, \ell$ avec $\ell = 1{,}0$ cm donne $\varepsilon = 12\ \mathrm{L \cdot mol^{-1} \cdot cm^{-1}}$ : les ions cuivre (II) absorbent très peu, ce qui explique que leur gamme soit cent fois plus concentrée que celle du permanganate.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Ai-je vérifié que l'absorbance est dans le domaine de linéarité — et dans la gamme, s'il y a une gamme ? Mes unités sont-elles cohérentes ($\ell$ en cm, $C$ en mol/L, $A$ sans unité) ? Et si l'on me demande une couleur, ai-je pris la complémentaire de celle qui est absorbée ?