La mole : compter les entités par paquets

Tu comptes déjà par paquets sans y penser. Les œufs s'achètent par douzaines : « deux douzaines » dit 24 œufs sans les compter un à un. Le papier s'achète par ramettes de 500 feuilles : personne ne compte les feuilles, on compte les paquets. Le paquet est une unité de dénombrement — un nombre fixé une fois pour toutes, qui transforme un comptage impossible en un comptage facile.

La chimie a le même besoin, en infiniment plus criant. Une seule goutte d'eau contient environ $10^{21}$ molécules : plus de cent milliards de fois plus que d'humains sur Terre. Compter les molécules une à une n'a aucun sens ; compter par douzaines n'aiderait guère. Il faut un paquet à la (dé)mesure des entités chimiques.

La mole (symbole mol) est le paquet des chimistes : une mole contient exactement $6{,}022\,140\,76 \times 10^{23}$ entités. Ce nombre d'entités par mole est la constante d'Avogadro, notée $N_A$, exprimée en $\text{mol}^{-1}$ (« par mole »).

Le mot entité désigne l'objet compté, quel qu'il soit : atome, molécule, ion. Comme la douzaine, la mole ne précise pas ce qu'elle empaquette — une mole d'atomes de fer, une mole de molécules d'eau, une mole d'ions chlorure.

La grandeur qui compte les paquets s'appelle la quantité de matière, notée $n$, d'unité la mole. Elle est reliée au nombre d'entités $N$ (sans unité) exactement comme le nombre de douzaines est relié au nombre d'œufs :

En pratique, on retiendra la valeur arrondie $N_A \approx 6{,}02 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ — elle est de toute façon rappelée dans les énoncés.

D'où vient ce nombre étrange ? $N_A$ n'est pas tombé du ciel : il a été choisi pour que la mole fasse le pont entre la masse des atomes (minuscule) et les masses qu'on pèse au laboratoire (des grammes). Depuis la redéfinition du Système international en 2019, la valeur $6{,}022\,140\,76 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ est exacte : elle définit la mole, comme « 12 » définit la douzaine.

Compter en pesant. Au laboratoire, personne ne voit les entités : on les compte avec une balance. L'idée tient en une phrase — un échantillon d'un corps pur est un empilement d'entités identiques, donc sa masse est un multiple de la masse d'une seule :

où $m$ est la masse de l'échantillon et $m_{\text{entité}}$ la masse d'une entité, donnée par l'énoncé (elle se mesure par spectrométrie de masse ; en seconde, on te la fournit toujours). Les deux masses doivent être dans la même unité — le plus souvent le kilogramme, car les masses d'entités s'écrivent naturellement en kilogrammes : une molécule d'eau pèse $m_{\text{entité}} \approx 2{,}99 \times 10^{-26}$ kg.

La chaîne complète, de la balance à la quantité de matière, s'écrit donc :

Les ordres de grandeur comme garde-fous. Chaque grandeur de la chaîne vit à son échelle, et ces échelles détectent les erreurs : $m_{\text{entité}}$ se compte en $10^{-27}$ à $10^{-25}$ kg ; $N$ en $10^{21}$ à $10^{25}$ pour un échantillon de laboratoire ; $n$ en millimoles ou en moles — quelques unités tout au plus. Un $n$ qui vaudrait $10^{20}$ mol signale une formule inversée, immédiatement.

Où s'arrête la seconde. Tu remarqueras qu'il faut connaître $m_{\text{entité}}$ pour appliquer la méthode. En première, tu apprendras un raccourci qui s'en passe : la masse molaire $M$, masse d'une mole d'entités, lue directement dans le tableau périodique, et la relation $n = m / M$. C'est l'objet de la leçon « La mole et la masse molaire : compter en pesant » — inutile de l'anticiper, tout le programme de seconde se traite avec la chaîne ci-dessus.

Un petit verre contient $m = 36{,}0$ g d'eau. Données : masse d'une molécule d'eau $m_{\text{entité}} = 2{,}99 \times 10^{-26}$ kg ; $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}$ mol⁻¹.

1. Mettre les masses dans la même unité. La masse d'une molécule est en kilogrammes ; convertissons celle de l'échantillon : $m = 36{,}0$ g $= 3{,}60 \times 10^{-2}$ kg.

2. Compter les entités. L'échantillon est un empilement de molécules identiques :

Plus d'un million de milliards de milliards de molécules dans un fond de verre — le nombre est vertigineux, et c'est bien pourquoi on va l'empaqueter.

3. Regrouper en paquets.

Le verre contient environ 2,00 moles de molécules d'eau : le nombre à 24 chiffres est devenu un nombre à un chiffre, maniable et parlant.

4. Contrôle de cohérence. Dans l'autre sens : $2{,}00 \times 6{,}02 \times 10^{23} = 1{,}20 \times 10^{24}$ molécules, et $1{,}20 \times 10^{24} \times 2{,}99 \times 10^{-26} \approx 3{,}59 \times 10^{-2}$ kg $\approx 36{,}0$ g — on retombe sur la masse pesée, aux arrondis près.

Chiffres significatifs : toutes les données portent 3 chiffres significatifs, les résultats sont donc donnés avec 3 chiffres significatifs ; les valeurs intermédiaires gardent un chiffre de plus en mémoire de calculatrice, et on n'arrondit qu'à la fin.

Figure (fig.chemistry.mole-packets, SVG programmatique à produire) : trois étages qui font passer l'idée de paquet du quotidien au laboratoire.

• Étage du haut — les paquets familiers. Deux vignettes : une boîte de 12 œufs avec l'égalité « 2 boîtes $= 2 \times 12 = 24$ œufs » ; une ramette étiquetée « 500 feuilles » avec « 3 ramettes $= 1\,500$ feuilles ». Au-dessus, la règle commune en toutes lettres : « nombre d'objets $=$ nombre de paquets $\times$ taille du paquet ».
• Étage du milieu — le paquet des chimistes. La même structure, transposée : un sac symbolique étiqueté « 1 mol » contenant une myriade de points (nuage dense, non dénombrable au trait), l'égalité « $N = n \times N_A$ » alignée exactement sous « objets $=$ paquets $\times$ taille », chaque terme relié au terme familier correspondant par un trait fin ; la valeur $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ dans un cartouche. Une double flèche verticale rappelle les deux sens : « $\times\,N_A$ » vers les entités, « $\div\,N_A$ » vers les moles.
• Étage du bas — compter en pesant. La chaîne $m \to N \to n$ en trois cartes reliées par deux flèches étiquetées « $\div\,m_{\text{entité}}$ » puis « $\div\,N_A$ », illustrée par l'exemple du verre d'eau : « $36{,}0$ g » sur une balance dessinée, « $1{,}20 \times 10^{24}$ molécules », « $2{,}00$ mol ». Sous la chaîne, la mise en garde : « même unité pour $m$ et $m_{\text{entité}}$ : les kilogrammes ».
• Bandeau final. « En première, un raccourci remplacera la première flèche : la masse molaire. »

Ce qu'il faut lire. L'alignement vertical des trois étages est le message : la relation $N = n \times N_A$ n'est pas une formule nouvelle à mémoriser, c'est la règle des douzaines avec un paquet plus grand. Et la chaîne du bas montre que la balance, seul instrument disponible, donne accès aux deux grandeurs de comptage — à condition de diviser dans le bon ordre, jamais de multiplier.

Domaine de validité. Ces relations comptent des entités identiques : elles s'appliquent à un corps pur, pas à un mélange. La relation $n = m / M$ (masse molaire) n'est volontairement pas dans ce tableau : elle appartient au programme de première, où une leçon lui est consacrée.

1. Multiplier au lieu de diviser : $n = N \times N_A$. C'est l'erreur la plus répandue de la leçon. Passer des objets aux paquets, c'est diviser par la taille du paquet — 24 œufs font $24 \div 12 = 2$ douzaines, pas $24 \times 12$. Garde-fou : $n$ doit être un nombre modeste (des moles, pas des milliards de moles) ; si ton résultat dépasse $N$, la formule est inversée.
2. Confondre mole et molécule. Les deux mots se ressemblent, les objets non : la molécule est une entité, la mole en est un paquet de $6{,}02 \times 10^{23}$. Une mole de dioxygène $\mathrm{O_2}$ contient $6{,}02 \times 10^{23}$ molécules — et deux fois plus d'atomes d'oxygène, puisque chaque molécule en contient deux : préciser l'entité comptée n'est jamais du luxe.
3. Croire qu'une mole « pèse » toujours pareil. La mole fixe le nombre d'entités, pas leur masse : une mole de molécules d'eau pèse environ 18 g, une mole d'atomes de fer environ 56 g. Deux paquets de même taille, des contenus plus ou moins lourds — comme une douzaine d'œufs de caille et une douzaine d'œufs d'autruche.
4. Mélanger grammes et kilogrammes dans $N = m / m_{\text{entité}}$. La masse d'une entité est presque toujours donnée en kilogrammes ; peser en grammes et diviser sans convertir fausse le résultat d'un facteur 1 000. Convertir la masse pesée en kilogrammes est la première ligne du calcul, pas une option.
5. Voir en $N_A$ un nombre à mémoriser à la décimale près. Depuis 2019, sa valeur est exacte par définition — mais elle est donnée dans tout énoncé. Ce qu'il faut savoir sans hésiter, c'est son rôle (la taille du paquet), son unité ($\text{mol}^{-1}$) et son ordre de grandeur ($6 \times 10^{23}$).

Exercice type — celui que produit le modèle d'entraînement associé à cette leçon : convertir entre nombre d'entités et quantité de matière, ou remonter de la masse pesée d'un échantillon au nombre d'entités puis aux moles, la masse d'une entité étant fournie.

Énoncé. On pèse un lot de clous en fer : la balance indique $m = 27{,}9$ g. La masse d'un atome de fer vaut $m_1 = 9{,}27 \times 10^{-26}$ kg. Donnée : $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}$ mol⁻¹.

1. Calculer le nombre $N$ d'atomes de fer de l'échantillon, avec 3 chiffres significatifs.
2. En déduire la quantité de matière $n$ de fer, en moles, avec 3 chiffres significatifs.

Corrigé.

1. Même unité d'abord : $m = 27{,}9$ g $= 2{,}79 \times 10^{-2}$ kg. Puis $N = \dfrac{m}{m_1} = \dfrac{2{,}79 \times 10^{-2}}{9{,}27 \times 10^{-26}} \approx 3{,}01 \times 10^{23}$ atomes.
2. $n = \dfrac{N}{N_A} = \dfrac{3{,}01 \times 10^{23}}{6{,}02 \times 10^{23}} \approx 5{,}00 \times 10^{-1}$ mol, soit environ une demi-mole.

Auto-contrôle : $N$ est gigantesque et $n$ modeste — les deux ordres de grandeur attendus. Un $n$ plus grand que $N$ aurait trahi la multiplication par $N_A$ ; un $N$ mille fois trop grand, l'oubli de la conversion en kilogrammes.