La mole : compter les entités par paquets

Vous comptez déjà par paquets sans y penser. Les œufs s'achètent par douzaines : « deux douzaines » dit 24 œufs sans les compter un à un. Le papier s'achète par ramettes de 500 feuilles : personne ne compte les feuilles, on compte les paquets. Le paquet est une unité de dénombrement — un nombre fixé une fois pour toutes, qui transforme un comptage impossible en un comptage facile.

La chimie a le même besoin, en infiniment plus criant. Une goutte d'eau de masse supposée $0{,}030$ g contient de l'ordre de $10^{21}$ molécules. L'ordre de grandeur dépend de la taille de la goutte. Compter les molécules une à une n'a aucun sens ; compter par douzaines n'aiderait guère. Il faut un paquet à la (dé)mesure des entités chimiques.

La mole (symbole mol) est le paquet des chimistes : une mole contient exactement $6{,}022\,140\,76 \times 10^{23}$ entités. Ce nombre d'entités par mole est la constante d'Avogadro, notée $N_A$, exprimée en $\text{mol}^{-1}$ (« par mole »).

Le mot entité désigne l'objet compté, quel qu'il soit : atome, molécule, ion. Comme la douzaine, la mole ne précise pas ce qu'elle empaquette — une mole d'atomes de fer, une mole de molécules d'eau, une mole d'ions chlorure.

La grandeur qui compte les paquets s'appelle la quantité de matière, notée $n$, d'unité la mole. Elle est reliée au nombre d'entités $N$ (sans unité) exactement comme le nombre de douzaines est relié au nombre d'œufs :

En pratique, on retiendra la valeur arrondie $N_A \approx 6{,}02 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ — elle est de toute façon rappelée dans les énoncés.

D'où vient ce nombre étrange ? $N_A$ n'est pas tombé du ciel : il a été choisi pour que la mole fasse le pont entre la masse des atomes (minuscule) et les masses qu'on pèse au laboratoire (des grammes). Depuis la redéfinition du Système international en 2019, la valeur $6{,}022\,140\,76 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ est exacte : elle définit la mole, comme « 12 » définit la douzaine.

Compter en pesant. Une balance peut donner accès indirectement à un nombre d'entités si le modèle de composition et la masse par entité sont connus. L'idée tient en une phrase — dans le modèle d'un échantillon composé d'entités de même masse (ou avec une masse moyenne adaptée à sa composition isotopique), sa masse est le nombre d'entités multiplié par cette masse :

où $m$ est la masse de l'échantillon et $m_{\text{entité}}$ la masse d'une entité, donnée par l'énoncé (elle se mesure par spectrométrie de masse ; elle est fournie dans les exercices de cette leçon). Les deux masses doivent être dans la même unité — le plus souvent le kilogramme, car les masses d'entités s'écrivent naturellement en kilogrammes : une molécule d'eau a pour masse $m_{\text{entité}} \approx 2{,}99 \times 10^{-26}$ kg.

La chaîne complète, de la balance à la quantité de matière, s'écrit donc :

Ordres de grandeur. Dans les exemples choisis, les masses par entité sont minuscules, les nombres d'entités très grands et les quantités de matière de l'ordre de fractions de mole ou de quelques moles. Ce ne sont pas des bornes universelles : l'échelle dépend de l'échantillon et de l'entité. Une estimation et le contrôle des unités permettent de repérer une formule inversée.

Une autre méthode. La masse molaire $M$ relie directement masse et quantité par $n=m/M$. Une autre leçon la développe ; ici nous entraînons la chaîne $m\to N\to n$ avec une masse par entité fournie. Ce choix de progression n'interdit pas les autres méthodes cohérentes.

Un échantillon contient $m = 36{,}0$ g d'eau pure, modélisée par des molécules de même masse. Données : masse d'une molécule d'eau $m_{\text{entité}} = 2{,}99 \times 10^{-26}$ kg ; $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}$ mol⁻¹.

1. Mettre les masses dans la même unité. La masse d'une molécule est en kilogrammes ; convertissons celle de l'échantillon : $m = 36{,}0$ g $= 3{,}60 \times 10^{-2}$ kg.

2. Compter les entités. L'échantillon est un empilement de molécules identiques :

Plus d'un million de milliards de milliards de molécules dans un fond de verre — le nombre est vertigineux, et c'est bien pourquoi on va l'empaqueter.

3. Regrouper en paquets.

Le verre contient environ 2,00 moles de molécules d'eau : un nombre de l’ordre de dix puissance24 est devenu une quantité proche de deux moles, maniable et parlant.

4. Contrôle de cohérence. Dans l'autre sens : $2{,}00 \times 6{,}02 \times 10^{23} \approx 1{,}20 \times 10^{24}$ molécules, et $1{,}20 \times 10^{24} \times 2{,}99 \times 10^{-26} \approx 3{,}59 \times 10^{-2}$ kg $\approx 36{,}0$ g — on retombe sur la masse pesée, aux arrondis près.

Chiffres significatifs : toutes les données portent 3 chiffres significatifs, les résultats sont donc donnés avec 3 chiffres significatifs ; les valeurs intermédiaires sont conservées avec la précision de la calculatrice, et on n'arrondit qu'à la fin.

Lisez la figure existante : trois étages qui font passer l'idée de paquet du quotidien au laboratoire.

• Étage du haut — les paquets familiers. Deux vignettes : une boîte de 12 œufs avec l'égalité « 2 boîtes $= 2 \times 12 = 24$ œufs » ; une ramette étiquetée « 500 feuilles » avec « 3 ramettes $= 1\,500$ feuilles ». Au-dessus, la règle commune en toutes lettres : « nombre d'objets $=$ nombre de paquets $\times$ taille du paquet ».
• Étage du milieu — le paquet des chimistes. La même structure, transposée : un sac symbolique étiqueté « 1 mol » contenant une myriade de points (nuage dense, non dénombrable au trait), l'égalité « $N = n \times N_A$ » alignée exactement sous « objets $=$ paquets $\times$ taille », chaque terme relié au terme familier correspondant par un trait fin ; la valeur arrondie $N_A \approx 6{,}02 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ dans un cartouche. Une double flèche verticale rappelle les deux sens : « $\times\,N_A$ » vers les entités, « $\div\,N_A$ » vers les moles.
• Étage du bas — compter en pesant. La chaîne $m \to N \to n$ en trois cartes reliées par deux flèches étiquetées « $\div\,m_{\text{entité}}$ » puis « $\div\,N_A$ », illustrée par l'exemple du verre d'eau : « $36{,}0$ g » sur une balance dessinée, « $1{,}20 \times 10^{24}$ molécules », « $2{,}00$ mol ». Sous la chaîne, la mise en garde : « même unité pour $m$ et $m_{\text{entité}}$ : ici les kilogrammes ».
• Bandeau final. « En première, un raccourci remplacera la première flèche : la masse molaire. »

Ce qu'il faut lire. L'alignement vertical des trois étages est le message : la relation $N = n \times N_A$ n'est pas une formule nouvelle à mémoriser, c'est la règle des douzaines avec un paquet plus grand. Et la chaîne du bas montre que la balance, instrument utilisé dans ce modèle, donne accès aux deux grandeurs de comptage — en divisant pour aller de la masse aux entités puis aux moles ; le trajet inverse emploie des multiplications.