Le champ électrique : une propriété de l'espace, pas d'une charge

La loi de Coulomb, que vous connaissez déjà, donne la force entre deux charges : $F = k \dfrac{\lvert q_A \rvert \lvert q_B \rvert}{d^2}$. Deux acteurs, une force. Posez maintenant une question plus étrange : autour d'une charge $Q$ seule, sans aucune autre charge, y a-t-il « quelque chose » ? L'expérience répond oui. Si vous amenez une petite charge d'essai $q$ en un point $M$, elle subit une force ; si vous doublez $q$, la force double ; si vous changez le signe de $q$, la force se retourne. La force dépend de $q$ — mais le quotient $\vec{F}/q$, lui, n'en dépend pas : il ne dépend que de $Q$ et du point $M$. Ce quotient est une propriété de l'espace autour de $Q$, présente que l'on y mette une charge ou non. On l'appelle le champ électrique.

Modèle. Le champ étudié est celui des sources extérieures fixées, en électrostatique. La charge d’essai est assez petite pour ne pas modifier sensiblement leur répartition ; on exclut son propre champ de la force qu’elle subit. Les formules ponctuelles utilisent le vide, ou l’air assimilé au vide.

Champ électrique. En un point $M$ de l'espace règne un champ électrique $\vec{E}(M)$ si une charge $q$ placée en $M$ subit la force $\vec{F} = q\,\vec{E}(M)$. Le champ est un vecteur ; sa valeur s'exprime en volts par mètre (V/m), ou, ce qui est la même unité, en newtons par coulomb (N/C).

La relation se lit dans les deux sens. Connaissant le champ, on obtient la force sur n'importe quelle charge : $F = \lvert q \rvert \times E$ pour la valeur, et pour le sens, le signe de $q$ décide. Une charge positive subit une force de même sens que $\vec{E}$ ; une charge négative subit une force de sens opposé à $\vec{E}$. Le champ, lui, ne change pas : c'est la charge qui le lit à l'endroit ou à l'envers.

Le champ d'une charge ponctuelle. Divisez la loi de Coulomb par la charge d'essai : autour d'une charge $Q$ ponctuelle, à la distance $d$,

Sa direction est la droite joignant $Q$ au point $M$ ; son sens fuit $Q$ si $Q > 0$, pointe vers $Q$ si $Q < 0$. Sa valeur décroît comme l'inverse du carré de la distance : deux fois plus loin, quatre fois plus faible.

Le champ uniforme. Entre deux plaques métalliques planes et parallèles soumises à une tension $U$, distantes de $d$, le champ est approximativement uniforme loin des bords, lorsque leur écartement est petit devant leurs dimensions — même valeur, même direction, même sens dans cette région —, perpendiculaire aux plaques, dirigé de la plaque au potentiel le plus élevé vers l'autre, et sa valeur est

Cette relation n'est pas au programme de première : les énoncés la donnent, et vous l’appliquez ; c'est la terminale qui l'établira, avec le condensateur plan et la notion de potentiel. Retenez surtout ce qu'elle dit — un champ uniforme ne dépend pas de la position entre les plaques, et il est d'autant plus intense que les plaques sont proches.

Pourquoi V/m et N/C sont la même unité. De $F = qE$, un champ est une force par unité de charge : des newtons par coulomb. De $E = U/d$, c'est une tension par unité de longueur : des volts par mètre. Les deux coïncident parce qu'un volt est un joule par coulomb ($1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$, la définition que vous utilisez depuis $E = U I t$) et qu'un joule est un newton-mètre : $\dfrac{\text{V}}{\text{m}} = \dfrac{\text{J}}{\text{C} \cdot \text{m}} = \dfrac{\text{N} \cdot \text{m}}{\text{C} \cdot \text{m}} = \dfrac{\text{N}}{\text{C}}$. Le programme retient V/m ; l'exercice accepte les deux, et il faut savoir dire pourquoi.

Les lignes de champ : dessiner l'invisible. Une ligne de champ est une courbe tangente en chaque point au vecteur $\vec{E}$, orientée dans son sens. Autour d'une charge ponctuelle positive, les lignes sont des droites rayonnantes qui partent de la charge ; autour d'une charge négative, les mêmes droites, mais dirigées vers la charge. Elles divergent en s’éloignant. C’est la valeur du champ qui décroît en $1/d^2$ ; l’espacement apparent de lignes sur un dessin en deux dimensions ne suit pas cette même loi. Entre deux plaques parallèles, les lignes sont des segments parallèles, également espacés, perpendiculaires aux plaques : uniforme signifie « même densité de lignes partout ». Dans une région où le champ est non nul, deux lignes de champ ne se croisent pas : le vecteur n’y a qu’une direction et un sens.

Le champ existe sans charge d'essai. C'est le renversement de cette leçon, et il mérite d'être dit crûment : une sphère chargée seule dans une pièce crée un champ dans toute la pièce, mesurable par la force qu'aurait une charge qu'on y placerait, mais présent même si l'on n'y place rien. Le champ est la façon dont une charge modifie l'espace autour d'elle ; la force est ce qui arrive quand une autre charge rencontre cette modification.

Le parallèle avec la pesanteur. Le programme met les deux champs côte à côte, et l’analogie est utile dans les modèles étudiés. La Terre crée autour d'elle un champ de gravitation : en un point, une masse $m$ subit $\vec{P} = m\,\vec{g}$, et $\vec{g}$ existe que la masse soit là ou non — $g = \dfrac{G\,M_T}{d^2}$, en newtons par kilogramme, dirigé vers le centre de la Terre, décroissant en $1/d^2$ comme le champ d'une charge ponctuelle. Dans le modèle d’une Terre sphérique, rotation négligée, on assimile ici gravitation et pesanteur. Au voisinage du sol, ce champ est approximativement uniforme à l’échelle d’une salle : $\vec{g}$ a partout la même valeur, $9{,}81$ N/kg, et la même direction — comme le champ entre deux plaques. Une différence importante dans cette comparaison introductive : la masse est toujours positive, le champ de pesanteur attire toujours ; la charge a un signe, et le champ électrique peut repousser.

Ordres de grandeur. Entre les plaques d'un condensateur de laboratoire, $10^3$ à $10^5$ V/m. La rigidité diélectrique usuelle de l’air sec à pression atmosphérique est de l’ordre de $3 \times 10^{6}$ V/m. Le claquage dépend aussi de la géométrie, de l’écartement, de la pression et de l’humidité : cet ordre de grandeur n’est ni un seuil universel ni une garantie d’absence d’étincelle en dessous. Le champ à $1$ cm d'une charge de $1$ nC vaut $9 \times 10^{4}$ V/m ; celui d'une charge de $1$ C serait inconcevable à cette distance, et c'est pourquoi les charges de laboratoire se comptent en nanocoulombs.

Énoncé. Partie A. Deux plaques métalliques planes et parallèles, distantes de $d = 2{,}5$ cm, sont soumises à une tension $U = 500$ V. On étudie une région loin des bords, sans perturbation notable des sources par l’électron ; on y admet que le champ entre les plaques est uniforme, de valeur $E = U/d$. 1. Calculer $E$. 2. Un électron se trouve entre les plaques ; calculer la valeur de la force électrique qu'il subit et préciser son sens. On donne $e = 1{,}60 \times 10^{-19}$ C.

Partie B. Une charge ponctuelle $Q = +2{,}0$ nC est placée en un point $O$. 3. Calculer la valeur du champ qu'elle crée en un point $M$ situé à $d = 3{,}0$ cm de $O$, et préciser son sens. 4. Que devient cette valeur si l'on double la distance ? Et dans la partie A, si l'on double $d$ à tension fixée ? On donne $k = 9{,}0 \times 10^{9}$ N·m²·C⁻².

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1. Le champ uniforme. La distance en mètres : $d = 2{,}5$ cm $= 0{,}025$ m.

Cette valeur est très inférieure à l’ordre de grandeur usuel de claquage de l’air sec ; cela constitue un contrôle du modèle, pas une garantie de sécurité ou d’absence d’étincelle. Le champ est perpendiculaire aux plaques, dirigé de la plaque au potentiel le plus élevé vers l'autre.

2. La force sur l'électron. Sa charge vaut $q = -e$, de valeur absolue $e$.

La charge est négative : la force est de sens opposé au champ, donc dirigée vers la plaque au potentiel le plus élevé. Le champ, lui, n'a pas changé de sens ; c'est le signe de $q$ qui retourne la force. Pour l'échelle : le poids de l'électron ($m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}$ kg) vaut $9{,}11 \times 10^{-31} \times 9{,}81 \approx 8{,}9 \times 10^{-30}$ N — la force électrique est environ $3{,}6 \times 10^{14}$ fois plus grande. Dans cet exemple précis, cette comparaison justifie de négliger le poids de l’électron devant la force électrique. Dans un autre champ, il faut refaire la comparaison.

3. Le champ de la charge ponctuelle. Conversions : $Q = 2{,}0$ nC $= 2{,}0 \times 10^{-9}$ C ; $d = 3{,}0$ cm $= 0{,}030$ m.

Même valeur que dans la partie A — par construction de l'exemple — mais la géométrie est tout autre : ce champ est radial, porté par la droite $(OM)$, et comme $Q > 0$ il fuit la charge, de $O$ vers $M$.

4. Doubler la distance. Pour la charge ponctuelle, $E$ est en $1/d^2$ : à $6{,}0$ cm, $E = \dfrac{2{,}0 \times 10^{4}}{4} = 5{,}0 \times 10^{3}$ V/m — quatre fois plus faible. Pour les plaques, $E = U/d$ : à $d = 5{,}0$ cm sous $500$ V, $E = 1{,}0 \times 10^{4}$ V/m — deux fois plus faible, mais toujours uniforme : entre les plaques, s'éloigner d'une plaque ne change rien, c'est l'écartement des plaques qui change le champ. Deux lois de décroissance différentes, parce que deux géométries différentes.

5. Contrôler. Unités : V/m partout, obtenues à partir de V et m, ou de N·m²·C⁻² × C / m² ✔. Signes : force sur l'électron opposée au champ ✔. Ordres de grandeur : $10^4$ V/m, typique d'un banc de laboratoire, sous le seuil disruptif ✔.

Figure (fig.physics.electric-field, SVG programmatique disponible) : trois panneaux et un bandeau.

La figure en détail : à gauche, une charge ponctuelle positive, disque marqué « $+$ », d'où partent douze lignes de champ rectilignes et régulièrement réparties, fléchées vers l'extérieur ; sur l'une d'elles, trois points aux distances $d$, $2d$ et $3d$ portent des vecteurs $\vec{E}$ de longueurs $E$, $E/4$ et $E/9$, cotées. Juste en dessous, la même figure pour une charge négative, disque marqué « $-$ », flèches dirigées vers le centre, vecteurs de mêmes longueurs. Au centre, deux plaques verticales parallèles, la gauche marquée « potentiel le plus élevé » et la droite « potentiel le plus bas », reliées à un générateur portant « $U$ », distantes de « $d$ » coté en bas ; entre elles, sept lignes de champ horizontales, parallèles, également espacées, fléchées de gauche à droite, et trois vecteurs $\vec{E}$ de même longueur dessinés à trois positions différentes, avec la mention « uniforme : même vecteur partout ». Dans ce panneau, deux charges d'essai sont posées : un « $+$ » avec une flèche de force dans le sens du champ, un « $-$ » avec une flèche de force de sens opposé, chacune étiquetée $\vec{F} = q\,\vec{E}$. À droite, le parallèle gravitationnel : la Terre en disque, ses lignes de champ de gravitation convergentes vers le centre, et un agrandissement d'une salle au niveau du sol où les lignes sont parallèles et verticales, étiquetées « $\vec{g}$ uniforme, $9{,}81$ N/kg ». Le bandeau du bas aligne trois cases : « $E = k \lvert Q \rvert / d^2$ : radial, en $1/d^2$ », « $E = U/d$ : uniforme, perpendiculaire aux plaques », « $\vec{F} = q \vec{E}$ : le signe de $q$ retourne la force, pas le champ ».

Ce qu'il faut lire. Les lignes de champ font voir la valeur autant que la direction : divergentes à gauche, où la valeur du champ décroît en $1/d^2$, également espacées au centre — dans le modèle de plaques représenté, les vecteurs de même longueur, direction et sens illustrent l’uniformité. Les deux charges d'essai du panneau central sont le cœur de la leçon : même champ, deux forces opposées, parce que le signe de $q$ lit le champ à l'endroit ou à l'envers. Le panneau de droite montre que la pesanteur suit la même logique — radiale à l'échelle de la planète, uniforme à l'échelle d'une salle.