Le champ électrique : une propriété de l'espace, pas d'une charge

La loi de Coulomb, que tu connais déjà, donne la force entre deux charges : $F = k \dfrac{\lvert q_A \rvert \lvert q_B \rvert}{d^2}$. Deux acteurs, une force. Pose maintenant une question plus étrange : autour d'une charge $Q$ seule, sans aucune autre charge, y a-t-il « quelque chose » ? L'expérience répond oui. Si tu amènes une petite charge d'essai $q$ en un point $M$, elle subit une force ; si tu doubles $q$, la force double ; si tu changes le signe de $q$, la force se retourne. La force dépend de $q$ — mais le quotient $\vec{F}/q$, lui, n'en dépend pas : il ne dépend que de $Q$ et du point $M$. Ce quotient est une propriété de l'espace autour de $Q$, présente que l'on y mette une charge ou non. On l'appelle le champ électrique.

Champ électrique. En un point $M$ de l'espace règne un champ électrique $\vec{E}(M)$ si une charge $q$ placée en $M$ subit la force $\vec{F} = q\,\vec{E}(M)$. Le champ est un vecteur ; sa valeur s'exprime en volts par mètre (V/m), ou, ce qui est la même unité, en newtons par coulomb (N/C).

La relation se lit dans les deux sens. Connaissant le champ, on obtient la force sur n'importe quelle charge : $F = \lvert q \rvert \times E$ pour la valeur, et pour le sens, le signe de $q$ décide. Une charge positive subit une force de même sens que $\vec{E}$ ; une charge négative subit une force de sens opposé à $\vec{E}$. Le champ, lui, ne change pas : c'est la charge qui le lit à l'endroit ou à l'envers.

Le champ d'une charge ponctuelle. Divise la loi de Coulomb par la charge d'essai : autour d'une charge $Q$ ponctuelle, à la distance $d$,

Sa direction est la droite joignant $Q$ au point $M$ ; son sens fuit $Q$ si $Q > 0$, pointe vers $Q$ si $Q < 0$. Sa valeur décroît comme l'inverse du carré de la distance : deux fois plus loin, quatre fois plus faible.

Le champ uniforme. Entre deux plaques métalliques planes et parallèles soumises à une tension $U$, distantes de $d$, le champ est uniforme — même valeur, même direction, même sens en tout point de l'espace entre les plaques —, perpendiculaire aux plaques, dirigé de la plaque au potentiel le plus élevé vers l'autre, et sa valeur est

Cette relation n'est pas au programme de première : les énoncés la donnent, et tu l'appliques ; c'est la terminale qui l'établira, avec le condensateur plan et la notion de potentiel. Retiens surtout ce qu'elle dit — un champ uniforme ne dépend pas de la position entre les plaques, et il est d'autant plus intense que les plaques sont proches.

Pourquoi V/m et N/C sont la même unité. De $F = qE$, un champ est une force par unité de charge : des newtons par coulomb. De $E = U/d$, c'est une tension par unité de longueur : des volts par mètre. Les deux coïncident parce qu'un volt est un joule par coulomb ($1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$, la définition que tu utilises depuis $E = U I t$) et qu'un joule est un newton-mètre : $\dfrac{\text{V}}{\text{m}} = \dfrac{\text{J}}{\text{C} \cdot \text{m}} = \dfrac{\text{N} \cdot \text{m}}{\text{C} \cdot \text{m}} = \dfrac{\text{N}}{\text{C}}$. Le programme retient V/m ; l'exercice accepte les deux, et il faut savoir dire pourquoi.

Les lignes de champ : dessiner l'invisible. Une ligne de champ est une courbe tangente en chaque point au vecteur $\vec{E}$, orientée dans son sens. Autour d'une charge ponctuelle positive, les lignes sont des droites rayonnantes qui partent de la charge ; autour d'une charge négative, les mêmes droites, mais dirigées vers la charge. Elles s'écartent en s'éloignant — c'est la traduction graphique de la décroissance en $1/d^2$ : le champ est intense là où les lignes sont serrées. Entre deux plaques parallèles, les lignes sont des segments parallèles, également espacés, perpendiculaires aux plaques : uniforme signifie « même densité de lignes partout ». Deux lignes de champ ne se croisent jamais — en un point, le champ n'a qu'une direction.

Le champ existe sans charge d'essai. C'est le renversement de cette leçon, et il mérite d'être dit crûment : une sphère chargée seule dans une pièce crée un champ dans toute la pièce, mesurable par la force qu'aurait une charge qu'on y placerait, mais présent même si l'on n'y place rien. Le champ est la façon dont une charge modifie l'espace autour d'elle ; la force est ce qui arrive quand une autre charge rencontre cette modification.

Le parallèle avec la pesanteur. Le programme met les deux champs côte à côte, et l'analogie est exacte. La Terre crée autour d'elle un champ de gravitation : en un point, une masse $m$ subit $\vec{P} = m\,\vec{g}$, et $\vec{g}$ existe que la masse soit là ou non — $g = \dfrac{G\,M_T}{d^2}$, en newtons par kilogramme, dirigé vers le centre de la Terre, décroissant en $1/d^2$ comme le champ d'une charge ponctuelle. Au voisinage du sol, ce champ est uniforme à l'échelle d'une salle : $\vec{g}$ a partout la même valeur, $9{,}81$ N/kg, et la même direction — comme le champ entre deux plaques. Une différence, et une seule : la masse est toujours positive, le champ de pesanteur attire toujours ; la charge a un signe, et le champ électrique peut repousser.

Ordres de grandeur. Entre les plaques d'un condensateur de laboratoire, $10^3$ à $10^5$ V/m. Au-delà de $3 \times 10^{6}$ V/m dans l'air, les molécules s'ionisent et une étincelle jaillit : c'est le champ disruptif de l'air, la limite physique de tout condensateur à air — et le mécanisme de l'éclair. Le champ à $1$ cm d'une charge de $1$ nC vaut $9 \times 10^{4}$ V/m ; celui d'une charge de $1$ C serait inconcevable à cette distance, et c'est pourquoi les charges de laboratoire se comptent en nanocoulombs.

Énoncé. Partie A. Deux plaques métalliques planes et parallèles, distantes de $d = 2{,}5$ cm, sont soumises à une tension $U = 500$ V. On admet que le champ entre les plaques est uniforme, de valeur $E = U/d$. 1. Calculer $E$. 2. Un électron se trouve entre les plaques ; calculer la valeur de la force électrique qu'il subit et préciser son sens. On donne $e = 1{,}60 \times 10^{-19}$ C.

Partie B. Une charge ponctuelle $Q = +2{,}0$ nC est placée en un point $O$. 3. Calculer la valeur du champ qu'elle crée en un point $M$ situé à $d = 3{,}0$ cm de $O$, et préciser son sens. 4. Que devient cette valeur si l'on double la distance ? Et dans la partie A, si l'on double $d$ à tension fixée ? On donne $k = 9{,}0 \times 10^{9}$ N·m²·C⁻².

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1. Le champ uniforme. La distance en mètres : $d = 2{,}5$ cm $= 0{,}025$ m.

Bien en dessous du champ disruptif de l'air ($3 \times 10^6$ V/m) : aucune étincelle. Le champ est perpendiculaire aux plaques, dirigé de la plaque au potentiel le plus élevé vers l'autre.

2. La force sur l'électron. Sa charge vaut $q = -e$, de valeur absolue $e$.

La charge est négative : la force est de sens opposé au champ, donc dirigée vers la plaque au potentiel le plus élevé. Le champ, lui, n'a pas changé de sens ; c'est le signe de $q$ qui retourne la force. Pour l'échelle : le poids de l'électron ($m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}$ kg) vaut $9{,}11 \times 10^{-31} \times 9{,}81 \approx 8{,}9 \times 10^{-30}$ N — la force électrique est environ $3{,}6 \times 10^{14}$ fois plus grande. Dans un champ électrique, le poids d'une particule chargée est négligeable, et cette remarque servira en Terminale.

3. Le champ de la charge ponctuelle. Conversions : $Q = 2{,}0$ nC $= 2{,}0 \times 10^{-9}$ C ; $d = 3{,}0$ cm $= 0{,}030$ m.

Même valeur que dans la partie A — par construction de l'exemple — mais la géométrie est tout autre : ce champ est radial, porté par la droite $(OM)$, et comme $Q > 0$ il fuit la charge, de $O$ vers $M$.

4. Doubler la distance. Pour la charge ponctuelle, $E$ est en $1/d^2$ : à $6{,}0$ cm, $E = \dfrac{2{,}0 \times 10^{4}}{4} = 5{,}0 \times 10^{3}$ V/m — quatre fois plus faible. Pour les plaques, $E = U/d$ : à $d = 5{,}0$ cm sous $500$ V, $E = 1{,}0 \times 10^{4}$ V/m — deux fois plus faible, mais toujours uniforme : entre les plaques, s'éloigner d'une plaque ne change rien, c'est l'écartement des plaques qui change le champ. Deux lois de décroissance différentes, parce que deux géométries différentes.

5. Contrôler. Unités : V/m partout, obtenues à partir de V et m, ou de N·m²·C⁻² × C / m² ✔. Signes : force sur l'électron opposée au champ ✔. Ordres de grandeur : $10^4$ V/m, typique d'un banc de laboratoire, sous le seuil disruptif ✔.

Figure (fig.physics.electric-field, SVG programmatique à produire) : trois panneaux et un bandeau.

La figure en détail : à gauche, une charge ponctuelle positive, disque marqué « $+$ », d'où partent douze lignes de champ rectilignes et régulièrement réparties, fléchées vers l'extérieur ; sur l'une d'elles, trois points aux distances $d$, $2d$ et $3d$ portent des vecteurs $\vec{E}$ de longueurs $E$, $E/4$ et $E/9$, cotées. Juste en dessous, la même figure pour une charge négative, disque marqué « $-$ », flèches dirigées vers le centre, vecteurs de mêmes longueurs. Au centre, deux plaques verticales parallèles, la gauche marquée « potentiel le plus élevé » et la droite « potentiel le plus bas », reliées à un générateur portant « $U$ », distantes de « $d$ » coté en bas ; entre elles, sept lignes de champ horizontales, parallèles, également espacées, fléchées de gauche à droite, et trois vecteurs $\vec{E}$ de même longueur dessinés à trois positions différentes, avec la mention « uniforme : même vecteur partout ». Dans ce panneau, deux charges d'essai sont posées : un « $+$ » avec une flèche de force dans le sens du champ, un « $-$ » avec une flèche de force de sens opposé, chacune étiquetée $\vec{F} = q\,\vec{E}$. À droite, le parallèle gravitationnel : la Terre en disque, ses lignes de champ de gravitation convergentes vers le centre, et un agrandissement d'une salle au niveau du sol où les lignes sont parallèles et verticales, étiquetées « $\vec{g}$ uniforme, $9{,}81$ N/kg ». Le bandeau du bas aligne trois cases : « $E = k \lvert Q \rvert / d^2$ : radial, en $1/d^2$ », « $E = U/d$ : uniforme, perpendiculaire aux plaques », « $\vec{F} = q \vec{E}$ : le signe de $q$ retourne la force, pas le champ ».

Ce qu'il faut lire. Les lignes de champ font voir la valeur autant que la direction : serrées près de la charge et s'écartant en $1/d^2$ à gauche, également espacées au centre — le champ uniforme est celui dont les lignes ne s'écartent jamais. Les deux charges d'essai du panneau central sont le cœur de la leçon : même champ, deux forces opposées, parce que le signe de $q$ lit le champ à l'endroit ou à l'envers. Le panneau de droite montre que la pesanteur suit la même logique — radiale à l'échelle de la planète, uniforme à l'échelle d'une salle.

Les unités et les conversions. Champ en V/m (ou N/C) ; charge en coulombs — $1$ nC $= 10^{-9}$ C, $1$ µC $= 10^{-6}$ C, une charge élémentaire $e = 1{,}60 \times 10^{-19}$ C ; distances en mètres, avant d'élever au carré. Force en newtons.

Le parallèle. Champ de gravitation $\vec{g}$ : $\vec{P} = m \vec{g}$, $g = G M_T / d^2$ en N/kg, radial vers le centre, uniforme au voisinage du sol. Même structure, à une différence près : la masse n'a pas de signe, la charge en a un.

Vers la suite. Ce que fait une charge dans un champ — son mouvement, la trajectoire d'un électron entre deux plaques — est au programme de Terminale, avec la deuxième loi de Newton. Cette leçon donne la force ; la suivante dira le mouvement.

1. Croire que la force a toujours le sens du champ. Vrai pour une charge positive, faux pour une charge négative : un électron dans un champ dirigé vers la droite subit une force vers la gauche. Le champ ne change pas, la charge le lit à l'envers. Vérifie le signe de $q$ avant de dessiner la force.
2. Mélanger V/m et N/C sans savoir pourquoi ce sont les mêmes. Ce sont deux écritures d'une même unité — $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$ et $1\ \text{J} = 1\ \text{N·m}$ — et l'exercice attend la justification, pas seulement l'affirmation.
3. Oublier la décroissance en $1/d^2$ de la charge ponctuelle — ou l'appliquer aux plaques. Deux fois plus loin d'une charge ponctuelle : champ quatre fois plus faible. Entre deux plaques, le champ est uniforme : s'éloigner d'une plaque ne change rien ; c'est l'écartement $d$ des plaques, à $U$ fixée, qui divise le champ.
4. Croire que le champ n'existe que si une charge le subit. Le champ est créé par $Q$ et règne dans tout l'espace, mesuré ou non. La charge d'essai révèle le champ, elle ne le fabrique pas.
5. Confondre champ et force. Le champ est en V/m et ne dépend pas de la charge qui le subit ; la force est en newtons et lui est proportionnelle. Doubler la charge d'essai double la force, pas le champ.
6. Garder les centimètres. $E = U/d$ avec $d$ en centimètres donne des V/cm, cent fois trop petits en croyant lire des V/m ; $k \lvert Q \rvert / d^2$ avec $d$ en centimètres est faux d'un facteur $10^4$. Mètres, toujours, avant de calculer.
7. Se tromper de sens pour le champ d'une charge négative. Il pointe vers la charge. Règle mnémotechnique honnête : le champ est la force par unité de charge positive ; une charge positive d'essai serait attirée par $Q < 0$, donc le champ pointe vers $Q$.
8. Ignorer le champ disruptif. Un condensateur à air soumis à $10$ kV sur $1$ mm ($10^7$ V/m) claque : l'air devient conducteur. Un résultat au-dessus de $3 \times 10^6$ V/m dans l'air décrit une étincelle, pas un champ stable.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire l'une de quatre situations : le champ uniforme entre deux plaques ($E = U/d$, relation donnée dans l'énoncé), la force sur un ion dont la charge est un multiple de $e$, la force sur une petite sphère chargée en nanocoulombs, ou le champ créé par une charge ponctuelle à une distance donnée. Un modèle voisin, à choix multiples, travaille le sens de la force selon le signe de la charge, ce que devient le champ quand la distance double dans chacune des deux géométries, et l'égalité des unités V/m et N/C.

Énoncé type. Un ion oxyde $\mathrm{O}^{2-}$ se trouve dans une région où règne un champ électrique uniforme de valeur $E = 5{,}0 \times 10^{4}$ V/m. On donne la charge élémentaire $e = 1{,}60 \times 10^{-19}$ C. Calculer la valeur $F$ de la force électrique subie par cet ion, avec trois chiffres significatifs, et préciser son sens par rapport au champ.

Corrigé complet.

1. La charge de l'ion. Un ion oxyde porte deux charges élémentaires négatives : $q = -2e$, de valeur absolue $\lvert q \rvert = 2 \times 1{,}60 \times 10^{-19} = 3{,}20 \times 10^{-19}$ C.

2. La relation. $\vec{F} = q \vec{E}$, de valeur $F = \lvert q \rvert \times E$.

3. Le calcul. $F = 3{,}20 \times 10^{-19} \times 5{,}0 \times 10^{4} = 1{,}60 \times 10^{-14}$ N.

La force vaut $1{,}60 \times 10^{-14}$ N. La charge est négative : la force est de sens opposé au champ.

4. Écarter les réponses voisines. $8{,}0 \times 10^{-15}$ N oublie que l'ion porte deux charges élémentaires. Une force « dans le sens du champ » oublie le signe de la charge. Et une force en $10^{-14}$ N a beau paraître minuscule, rapportée à la masse d'un ion ($\sim 10^{-26}$ kg) elle est colossale — bien plus que son poids.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Ai-je compté le bon nombre de charges élémentaires, avec le bon signe ? Mon sens de force tient-il compte de ce signe ? Et mes distances, si l'énoncé en donne, sont-elles en mètres avant toute division ou tout carré ?