Convertir une mesure : préfixes et tableaux

Une bouteille contient $1{,}5$ L. Un paquet de farine pèse $500$ g. Un couloir mesure $12$ m. Une récréation dure $15$ min.

Chaque fois, une mesure s'écrit avec deux choses : un nombre et une unité. Le nombre seul ne dit rien. Écrire « la bouteille contient $1{,}5$ » ne veut rien dire : $1{,}5$ litre, $1{,}5$ centilitre et $1{,}5$ mètre cube sont trois quantités très différentes.

Ce qu'est une unité. Une unité est une quantité de référence à laquelle on compare la grandeur mesurée. Dire qu'un couloir mesure $12$ m, c'est dire qu'on peut y reporter $12$ fois la longueur d'un mètre.

Pourquoi convertir. On ne peut comparer ni additionner deux mesures écrites dans des unités différentes. $80$ cm et $1{,}2$ m ne se comparent pas tels quels : il faut d'abord les écrire dans la même unité. Une conversion consiste à réécrire la même mesure avec une autre unité, sans changer la quantité mesurée.

Ce sont deux écritures d'une même longueur, exactement comme $\dfrac{1}{2}$ et $0{,}5$ sont deux écritures d'un même nombre.

Les préfixes. Plutôt que d'inventer un nom d'unité pour chaque taille, on colle un préfixe devant l'unité. Un préfixe est une syllabe qui multiplie ou divise l'unité par une puissance de dix.

Les préfixes donnent des facteurs décimaux pour les unités compatibles étudiées : kilo devant le gramme donne le kilogramme, devant le mètre le kilomètre, devant le litre le kilolitre. Ils ne s’appliquent pas indistinctement à tous les noms d’unités : on n’écrit pas de préfixe devant minute ou heure dans les conversions usuelles.

Le tableau de conversion. On range les unités de la plus grande à gauche à la plus petite à droite, une colonne par préfixe. Placer le chiffre des unités de la mesure dans la bonne colonne, puis lire le nombre dans la colonne voulue : la conversion est faite.

La ligne ci-dessus se lit $0{,}80$ m dans la colonne des mètres, et $80$ cm dans celle des centimètres. Une seule et même longueur.

Écrire correctement un symbole d'unité. Le symbole s'écrit sans point abréviatif, sans majuscule inutile et sans marque du pluriel : on écrit $5$ kg, jamais « $5$ Kg » ni « $5$ kgs ». Pour le litre, les symboles l et L sont tous deux autorisés ; on retient L ici pour éviter la confusion avec le chiffre 1. Le point de fin de phrase reste permis après un symbole d’unité.

Longueurs et masses : un facteur $10$ par colonne. D'une colonne à la suivante, on multiplie ou l'on divise par $10$. Pour aller des mètres aux centimètres, on descend de deux colonnes : on multiplie par $100$. Pour aller des grammes aux kilogrammes, on monte de trois colonnes : on divise par $1000$.

Pour les masses, on emploie aussi la tonne : $1$ t $= 1000$ kg.

Volumes : deux familles d'unités qui se rejoignent. Il existe deux façons d'exprimer un volume, et il faut savoir passer de l'une à l'autre.

• Les unités de capacité : le litre et ses préfixes, L, dL, cL, mL.
• Les unités cubiques : le mètre cube et ses sous-multiples, m³, dm³, cm³, mm³.

Les deux familles sont reliées par une seule égalité à retenir :

Tout le reste s'en déduit. En particulier :

L'égalité $1$ mL $= 1$ cm³ est celle qu'on utilise le plus souvent au laboratoire : une éprouvette graduée en millilitres mesure directement un volume en centimètres cubes.

Attention à ne pas confondre mL et cL. Le millilitre divise le litre par $1000$, le centilitre par $100$ seulement. Une canette de $33$ cL contient donc $330$ mL, et non $33$ mL. Un facteur $10$ sépare les deux, et l'erreur est fréquente parce que les deux symboles se ressemblent.

Aires : un facteur $100$ par colonne. Une aire se mesure en unités carrées. Or un carré de $1$ m de côté mesure $100$ cm de côté : son aire vaut $100 \times 100 = 10\,000$ cm². D'une colonne à la suivante, une aire est donc multipliée ou divisée par $100$, et non par $10$.

Volumes cubiques : un facteur $1000$ par colonne. De la même façon, un cube de $1$ m d'arête mesure $100$ cm d'arête : son volume vaut $100 \times 100 \times 100 = 1\,000\,000$ cm³.

Retiens la règle générale : $10$ pour les longueurs, $100$ pour les aires, $1000$ pour les volumes, à chaque changement de colonne.

Heures, minutes, secondes : des rapports de 60. Ces conversions usuelles ne suivent pas les colonnes décimales ; cela n’empêche pas d’utiliser des préfixes décimaux avec la seconde.

Entre h et min, puis entre min et s, on multiplie ou divise par 60. Les sous-multiples de la seconde suivent, eux, les préfixes décimaux : 1 ms = 0,001 s et 1 µs = 0,000001 s.

Conséquence directe : $1$ h $30$ min ne s'écrit pas $1{,}30$ h. Trente minutes, c'est la moitié d'une heure, donc $0{,}5$ h :

L'écriture $1{,}30$ h signifierait $1$ h et $0{,}30$ h, c'est-à-dire $1$ h $18$ min, ce qui n'est pas la même durée.

La méthode sûre, en trois temps. Face à une conversion, procède ainsi.

1. Repérer la grandeur : longueur, masse, capacité, aire, volume, durée. Elle décide du facteur à utiliser.
2. Déterminer le sens : pour une quantité positive, vers une unité plus petite, le nombre augmente ; vers une unité plus grande, il diminue.
3. Contrôler l'ordre de grandeur avant d'écrire la réponse.

Le deuxième point est le plus utile de la leçon. Une même longueur compte plus de centimètres que de mètres, parce que le centimètre est petit : il en faut davantage. Si tu convertis des mètres en centimètres et que ton nombre diminue, tu as divisé au lieu de multiplier.

Pour plus tard : le Système international définit bien d'autres préfixes, comme micro (µ, qui divise par un million) et nano (n, qui divise par un milliard). Tu les rencontreras dans les années suivantes, avec les puissances de dix.

Énoncé. Convertir chaque mesure dans l'unité demandée.

1. $2{,}45$ km en mètres. 2. $75$ cL en millilitres, puis en centimètres cubes. 3. $0{,}8$ m² en centimètres carrés. 4. $2$ h $15$ min en minutes, puis en heures décimales.

Conversion 1 : $2{,}45$ km en mètres.

1. Repérer la grandeur. C'est une longueur : le facteur est $10$ par colonne.

2. Déterminer le sens. Le mètre est plus petit que le kilomètre : le nombre va donc augmenter.

3. Compter les colonnes. Du km au m, il y a trois colonnes (hm, dam, m). On multiplie donc par $10 \times 10 \times 10 = 1000$.

4. Calculer.

Donc $2{,}45$ km $= 2450$ m.

5. Contrôler. $2450$ est bien plus grand que $2{,}45$ : le sens est correct. Et $2{,}45$ km, c'est un peu plus de deux kilomètres, soit un peu plus de $2000$ m. C'est cohérent.

Conversion 2 : $75$ cL en millilitres, puis en centimètres cubes.

1. Repérer la grandeur. C'est une capacité : facteur $10$ par colonne, comme pour les longueurs.

2. Aller du centilitre au millilitre. Le millilitre est dix fois plus petit que le centilitre : il y a une seule colonne d'écart, et le nombre augmente.

Donc $75$ cL $= 750$ mL.

3. Passer aux centimètres cubes. On utilise l'égalité $1$ mL $= 1$ cm³ : le nombre ne change pas, seule l'unité change d'écriture.

4. Contrôler. $75$ cL, c'est trois quarts de litre. Or $1$ L $= 1000$ mL, donc les trois quarts font $750$ mL. C'est bien ce qu'on a trouvé.

Conversion 3 : $0{,}8$ m² en centimètres carrés.

1. Repérer la grandeur. C'est une aire : le facteur est $100$ par colonne, et non $10$.

2. Compter les colonnes. Du m² au cm², il y a deux colonnes (dm², cm²). On multiplie donc par $100 \times 100 = 10\,000$.

3. Calculer.

Donc $0{,}8$ m² $= 8000$ cm².

4. Contrôler. Un carré de $1$ m de côté vaut $10\,000$ cm². Une aire un peu inférieure à ce carré doit donner un peu moins de $10\,000$ cm². On trouve $8000$ cm² : cohérent.

5. Voir l'erreur qu'on a évitée. En appliquant le facteur des longueurs, on aurait multiplié par $100$ et écrit $80$ cm². C'est cent fois trop petit — moins qu'une carte à jouer pour une surface proche d'un mètre carré.

Conversion 4 : $2$ h $15$ min.

1. Repérer la grandeur. C'est une durée : le facteur est $60$, et le système n'est pas décimal.

2. Convertir les heures en minutes.

3. Ajouter les minutes restantes.

Donc $2$ h $15$ min $= 135$ min.

4. Exprimer la durée en heures décimales. On divise le nombre total de minutes par $60$ :

Donc $2$ h $15$ min $= 2{,}25$ h.

5. Contrôler. Quinze minutes, c'est le quart d'une heure, soit $0{,}25$ h. On retrouve bien $2{,}25$ h.

6. Voir l'erreur qu'on a évitée. Écrire $2{,}15$ h aurait été faux : cela signifierait $2$ h et $0{,}15$ h, c'est-à-dire $2$ h $9$ min.

L’échelle supérieure convertit 2,45 km en 2 450 m en trois colonnes, avec un facteur 1 000. Pour les longueurs positives représentées, une unité plus petite exige un nombre plus grand.

Le carré et le cube montrent pourquoi changer une longueur d’un facteur 10 change l’aire d’un facteur 100 et le volume d’un facteur 1 000. Les équivalences relient aussi 1 L à 1 dm³ et 1 mL à 1 cm³. Le panneau de l’horloge concerne spécifiquement les heures et minutes : 1 h 30 min = 1,5 h, tandis que 1,30 h = 1 h 18 min. Il ne décrit pas les conversions décimales entre seconde et milliseconde.