Convertir une mesure : préfixes et tableaux

Une bouteille contient $1{,}5$ L. Un paquet de farine pèse $500$ g. Un couloir mesure $12$ m. Une récréation dure $15$ min.

Chaque fois, une mesure s'écrit avec deux choses : un nombre et une unité. Le nombre seul ne dit rien. Écrire « la bouteille contient $1{,}5$ » ne veut rien dire : $1{,}5$ litre, $1{,}5$ centilitre et $1{,}5$ mètre cube sont trois quantités très différentes.

Ce qu'est une unité. Une unité est une quantité de référence à laquelle on compare la grandeur mesurée. Dire qu'un couloir mesure $12$ m, c'est dire qu'on peut y reporter $12$ fois la longueur d'un mètre.

Pourquoi convertir. On ne peut comparer ni additionner deux mesures écrites dans des unités différentes. $80$ cm et $1{,}2$ m ne se comparent pas tels quels : il faut d'abord les écrire dans la même unité. Une conversion consiste à réécrire la même mesure avec une autre unité, sans changer la quantité mesurée.

Ce sont deux écritures d'une même longueur, exactement comme $\dfrac{1}{2}$ et $0{,}5$ sont deux écritures d'un même nombre.

Les préfixes. Plutôt que d'inventer un nom d'unité pour chaque taille, on colle un préfixe devant l'unité. Un préfixe est une syllabe qui multiplie ou divise l'unité par une puissance de dix.

Les mêmes préfixes s'emploient avec toutes les unités : le kilo devant le gramme donne le kilogramme, devant le mètre le kilomètre, devant le litre le kilolitre. La règle est la même partout, ce qui fait qu'on ne l'apprend qu'une fois.

Le tableau de conversion. On range les unités de la plus grande à gauche à la plus petite à droite, une colonne par préfixe. Placer le chiffre des unités de la mesure dans la bonne colonne, puis lire le nombre dans la colonne voulue : la conversion est faite.

La ligne ci-dessus se lit $0{,}80$ m dans la colonne des mètres, et $80$ cm dans celle des centimètres. Une seule et même longueur.

Écrire correctement un symbole d'unité. Le symbole s'écrit sans point final, sans majuscule inutile et sans marque du pluriel : on écrit $5$ kg, jamais « $5$ Kg » ni « $5$ kgs ». Une exception d'usage : le litre s'écrit L en majuscule, pour ne pas confondre le l minuscule avec le chiffre $1$.

Longueurs et masses : un facteur $10$ par colonne. D'une colonne à la suivante, on multiplie ou l'on divise par $10$. Pour aller des mètres aux centimètres, on descend de deux colonnes : on multiplie par $100$. Pour aller des grammes aux kilogrammes, on monte de trois colonnes : on divise par $1000$.

Pour les masses, on emploie aussi la tonne : $1$ t $= 1000$ kg.

Volumes : deux familles d'unités qui se rejoignent. Il existe deux façons d'exprimer un volume, et il faut savoir passer de l'une à l'autre.

• Les unités de capacité : le litre et ses préfixes, L, dL, cL, mL.
• Les unités cubiques : le mètre cube et ses sous-multiples, m³, dm³, cm³, mm³.

Les deux familles sont reliées par une seule égalité à retenir :

Tout le reste s'en déduit. En particulier :

L'égalité $1$ mL $= 1$ cm³ est celle qu'on utilise le plus souvent au laboratoire : une éprouvette graduée en millilitres mesure directement un volume en centimètres cubes.

Attention à ne pas confondre mL et cL. Le millilitre divise le litre par $1000$, le centilitre par $100$ seulement. Une canette de $33$ cL contient donc $330$ mL, et non $33$ mL. Un facteur $10$ sépare les deux, et l'erreur est fréquente parce que les deux symboles se ressemblent.

Aires : un facteur $100$ par colonne. Une aire se mesure en unités carrées. Or un carré de $1$ m de côté mesure $100$ cm de côté : son aire vaut $100 \times 100 = 10\,000$ cm². D'une colonne à la suivante, une aire est donc multipliée ou divisée par $100$, et non par $10$.

Volumes cubiques : un facteur $1000$ par colonne. De la même façon, un cube de $1$ m d'arête mesure $100$ cm d'arête : son volume vaut $100 \times 100 \times 100 = 1\,000\,000$ cm³.

Retiens la règle générale : $10$ pour les longueurs, $100$ pour les aires, $1000$ pour les volumes, à chaque changement de colonne.

Durées : ce ne sont pas des dizaines. Les durées échappent complètement au système décimal, et c'est là que se produit l'erreur la plus coûteuse.

Aucun préfixe ne s'applique ici : il n'existe ni « décaminute » ni « centiheure ». Pour convertir, on multiplie ou l'on divise par $60$, jamais par $10$.

Conséquence directe : $1$ h $30$ min ne s'écrit pas $1{,}30$ h. Trente minutes, c'est la moitié d'une heure, donc $0{,}5$ h :

L'écriture $1{,}30$ h signifierait $1$ h et $0{,}30$ h, c'est-à-dire $1$ h $18$ min, ce qui n'est pas la même durée.

La méthode sûre, en trois temps. Face à une conversion, procède toujours ainsi.

1. Repérer la grandeur : longueur, masse, capacité, aire, volume, durée. Elle décide du facteur à utiliser.
2. Déterminer le sens : vers une unité plus petite, le nombre augmente ; vers une unité plus grande, il diminue.
3. Contrôler l'ordre de grandeur avant d'écrire la réponse.

Le deuxième point est le plus utile de la leçon. Une même longueur compte plus de centimètres que de mètres, parce que le centimètre est petit : il en faut davantage. Si tu convertis des mètres en centimètres et que ton nombre diminue, tu as divisé au lieu de multiplier.

Pour plus tard : le Système international définit bien d'autres préfixes, comme micro (µ, qui divise par un million) et nano (n, qui divise par un milliard). Tu les rencontreras dans les années suivantes, avec les puissances de dix.

Énoncé. Convertir chaque mesure dans l'unité demandée.

1. $2{,}45$ km en mètres. 2. $75$ cL en millilitres, puis en centimètres cubes. 3. $0{,}8$ m² en centimètres carrés. 4. $2$ h $15$ min en minutes, puis en heures décimales.

Conversion 1 : $2{,}45$ km en mètres.

1. Repérer la grandeur. C'est une longueur : le facteur est $10$ par colonne.

2. Déterminer le sens. Le mètre est plus petit que le kilomètre : le nombre va donc augmenter.

3. Compter les colonnes. Du km au m, il y a trois colonnes (hm, dam, m). On multiplie donc par $10 \times 10 \times 10 = 1000$.

4. Calculer.

Donc $2{,}45$ km $= 2450$ m.

5. Contrôler. $2450$ est bien plus grand que $2{,}45$ : le sens est correct. Et $2{,}45$ km, c'est un peu plus de deux kilomètres, soit un peu plus de $2000$ m. C'est cohérent.

Conversion 2 : $75$ cL en millilitres, puis en centimètres cubes.

1. Repérer la grandeur. C'est une capacité : facteur $10$ par colonne, comme pour les longueurs.

2. Aller du centilitre au millilitre. Le millilitre est dix fois plus petit que le centilitre : il y a une seule colonne d'écart, et le nombre augmente.

Donc $75$ cL $= 750$ mL.

3. Passer aux centimètres cubes. On utilise l'égalité $1$ mL $= 1$ cm³ : le nombre ne change pas, seule l'unité change d'écriture.

4. Contrôler. $75$ cL, c'est trois quarts de litre. Or $1$ L $= 1000$ mL, donc les trois quarts font $750$ mL. C'est bien ce qu'on a trouvé.

Conversion 3 : $0{,}8$ m² en centimètres carrés.

1. Repérer la grandeur. C'est une aire : le facteur est $100$ par colonne, et non $10$.

2. Compter les colonnes. Du m² au cm², il y a deux colonnes (dm², cm²). On multiplie donc par $100 \times 100 = 10\,000$.

3. Calculer.

Donc $0{,}8$ m² $= 8000$ cm².

4. Contrôler. Un carré de $1$ m de côté vaut $10\,000$ cm². Une aire un peu inférieure à ce carré doit donner un peu moins de $10\,000$ cm². On trouve $8000$ cm² : cohérent.

5. Voir l'erreur qu'on a évitée. En appliquant le facteur des longueurs, on aurait multiplié par $100$ et écrit $80$ cm². C'est cent fois trop petit — moins qu'une carte à jouer pour une surface proche d'un mètre carré.

Conversion 4 : $2$ h $15$ min.

1. Repérer la grandeur. C'est une durée : le facteur est $60$, et le système n'est pas décimal.

2. Convertir les heures en minutes.

3. Ajouter les minutes restantes.

Donc $2$ h $15$ min $= 135$ min.

4. Exprimer la durée en heures décimales. On divise le nombre total de minutes par $60$ :

Donc $2$ h $15$ min $= 2{,}25$ h.

5. Contrôler. Quinze minutes, c'est le quart d'une heure, soit $0{,}25$ h. On retrouve bien $2{,}25$ h.

6. Voir l'erreur qu'on a évitée. Écrire $2{,}15$ h aurait été faux : cela signifierait $2$ h et $0{,}15$ h, c'est-à-dire $2$ h $9$ min.

Figure (fig.physics.unit-conversion-ladder, SVG programmatique à produire) : une échelle de préfixes surmontant trois panneaux qui expliquent les facteurs $10$, $100$ et $1000$, puis un encart sur les durées.

• Échelle des préfixes, en haut, sur toute la largeur : sept cases contiguës étiquetées, de gauche à droite, km, hm, dam, m, dm, cm, mm. La case du milieu, m, est plus haute et plus foncée que les autres pour marquer l'unité de référence. Entre chaque paire de cases, deux flèches se font face : celle qui va vers la droite porte $\times 10$, celle qui va vers la gauche porte $\div 10$. Sous l'échelle, une bande indique « vers la droite, l'unité est plus petite : le nombre augmente ».
• Exemple posé sur l'échelle : le nombre $2{,}45$ est écrit dans la case km, et le nombre $2450$ dans la case m, reliés par une flèche courbe portant $\times 1000$ et la mention « trois colonnes ».
• Panneau du bas à gauche, le carré. Un carré de côté $1$ m, dont les deux côtés portent la cote « $1$ m $= 100$ cm ». L'intérieur est quadrillé en $10 \times 10$ grandes cases, et l'une de ces cases est elle-même subdivisée en $10 \times 10$ petites cases pour montrer les centimètres carrés sans avoir à en dessiner dix mille. Une légende porte $1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 = 10\,000 \text{ cm}^2$.
• Panneau du bas au centre, le cube. Un cube en perspective d'arête $1$ dm, coté « $1$ dm $= 10$ cm », découpé en $10 \times 10 \times 10$ petits cubes dont trois faces seulement sont détaillées. Deux légendes superposées : $1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$ et, en dessous, l'égalité clé $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$, donc $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$. Une éprouvette graduée est dessinée à côté, dont la graduation $50$ mL est reliée par un trait fin à un petit cube de $50$ cm³.
• Panneau du bas à droite, les durées. Une horloge dont le cadran est partagé en quatre quarts colorés, avec les mentions $15$ min $= 0{,}25$ h, $30$ min $= 0{,}5$ h, $45$ min $= 0{,}75$ h. À côté, deux écritures encadrées : $1$ h $30$ min $= 1{,}5$ h, correcte et cochée, et $1$ h $30$ min $= 1{,}30$ h, barrée, avec la mention « $1{,}30$ h vaut $1$ h $18$ min ».
• Bandeau d'avertissement sous les trois panneaux : trois pastilles côte à côte portant « longueur : $\times 10$ », « aire : $\times 100$ », « volume : $\times 1000$ », de tailles croissantes.

Ce qu'il faut lire. L'échelle du haut rend visible le comptage des colonnes : convertir, c'est se déplacer d'un nombre connu de crans. Le carré et le cube expliquent d'où viennent les facteurs $100$ et $1000$ : ce ne sont pas des règles arbitraires, mais la conséquence du fait qu'une aire a deux dimensions et un volume trois. Le panneau des durées montre pourquoi le système décimal ne s'y applique pas.

La figure en détail : en haut, une échelle de sept cases contiguës étiquetées kilomètre, hectomètre, décamètre, mètre, décimètre, centimètre, millimètre, la case du mètre plus haute et plus foncée ; entre chaque paire de cases, une flèche vers la droite porte multiplié par dix et une flèche vers la gauche porte divisé par dix. Le nombre deux virgule quarante-cinq est posé dans la case kilomètre et le nombre deux mille quatre cent cinquante dans la case mètre, reliés par une flèche portant multiplié par mille. En bas à gauche, un carré d'un mètre de côté, quadrillé en cent grandes cases dont une est subdivisée en cent petites, légendé un mètre carré égale dix mille centimètres carrés. Au centre, un cube d'un décimètre d'arête découpé en mille petits cubes, légendé un décimètre cube égale mille centimètres cubes, et un litre égale un décimètre cube, donc un millilitre égale un centimètre cube ; une éprouvette graduée relie la graduation cinquante millilitres à un cube de cinquante centimètres cubes. À droite, une horloge partagée en quarts indiquant que quinze minutes valent zéro virgule vingt-cinq heure, trente minutes zéro virgule cinq heure et quarante-cinq minutes zéro virgule soixante-quinze heure ; deux écritures encadrées comparent une heure trente égale un virgule cinq heure, cochée, et une heure trente égale un virgule trente heure, barrée. Sous les trois panneaux, trois pastilles de tailles croissantes rappellent les facteurs dix pour une longueur, cent pour une aire et mille pour un volume.

Les préfixes du programme. kilo ($k$, $\times 1000$), hecto ($h$, $\times 100$), déca ($da$, $\times 10$), déci ($d$, $\div 10$), centi ($c$, $\div 100$), milli ($m$, $\div 1000$). Ils s'appliquent de la même manière à toutes les unités.

Écriture des symboles. Le symbole d'une unité s'écrit sans point, sans pluriel, et en respectant les majuscules : $5$ kg et non « $5$ Kg » ni « $5$ kgs ». Une espace sépare toujours le nombre de son unité, sauf pour le symbole du degré d'angle.

Sens de la conversion. Vers une unité plus petite, le nombre augmente ; vers une unité plus grande, il diminue. C'est le contrôle le plus rapide, et il ne demande aucun calcul.

Domaine de validité. Une conversion ne change jamais la quantité mesurée, seulement son écriture. Elle ne s'applique qu'entre unités de la même grandeur : on ne convertit pas des grammes en litres, ni des secondes en mètres. Passer d'une masse à un volume exige une autre information, la masse volumique de la matière.

Une exception d'usage. Le litre s'écrit avec un L majuscule, pour éviter la confusion entre la lettre l et le chiffre $1$. Le BIPM autorise les deux écritures, mais le L majuscule est la convention retenue ici et dans les manuels.

1. Convertir une aire ou un volume comme une longueur. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre. $1$ m² ne vaut pas $100$ cm² mais $10\,000$ cm², et $1$ m³ vaut $1\,000\,000$ cm³. Une aire a deux dimensions, un volume en a trois : le facteur $10$ des longueurs s'applique donc deux fois, ou trois fois.
2. Croire que $1$ h $30$ min $= 1{,}30$ h. Une heure vaut $60$ min, et non $100$. Trente minutes valent la moitié d'une heure, donc $1$ h $30$ min $= 1{,}5$ h. L'écriture $1{,}30$ h désignerait $1$ h $18$ min.
3. Confondre le millilitre et le centilitre. $1$ mL vaut un millième de litre, $1$ cL un centième. Une canette de $33$ cL contient $330$ mL. Les deux symboles se ressemblent, mais un facteur $10$ les sépare.
4. Se tromper de sens. Convertir des mètres en centimètres doit augmenter le nombre, puisque le centimètre est plus petit et qu'il en faut davantage. Si ton nombre a diminué, tu as divisé au lieu de multiplier.
5. Oublier de compter les colonnes. Du kilomètre au mètre, il y a trois colonnes, donc un facteur $1000$ — et non $100$ ni $10$. Écris le tableau plutôt que de deviner.
6. Convertir entre deux grandeurs différentes. Des grammes ne deviennent pas des millilitres. La masse et le volume sont deux grandeurs distinctes ; pour passer de l'une à l'autre, il faut connaître la masse volumique de la matière.
7. Écrire un symbole fautif. « $5$ Kg », « $3$ kgs », « $20$ Sec » sont incorrects. Le symbole est fixé : kg, s, m, L. Il ne prend ni majuscule abusive ni marque du pluriel.
8. Omettre l'unité dans la réponse. Un nombre seul n'est pas une mesure. Une copie qui répond « $2450$ » à une question de longueur n'a pas répondu.

Un avertissement honnête sur cet exercice. Aucun exercice d'entraînement n'a encore les conversions d'unités pour objet principal : c'est une lacune connue. L'exercice proposé ici porte d'abord sur la masse volumique ; les conversions n'y interviennent qu'en second rôle, à travers l'égalité $1$ mL $= 1$ cm³ rappelée dans son corrigé. Il a été retenu parce qu'il est de niveau 5e et qu'il fait explicitement appel à cette compétence. Entraîne-toi donc aux conversions avec les quatre exemples de la partie précédente, et considère cet exercice comme une application : il te montre à quoi servent les unités dans un calcul de physique-chimie, pas comment les convertir.

À quoi t'attendre. L'exercice donne la masse volumique d'une matière — la masse d'un centimètre cube de cette matière — puis la masse ou le volume d'un échantillon, et demande l'autre grandeur. La réponse porte son unité, en grammes ou en centimètres cubes, arrondie au rang indiqué par la consigne.

Énoncé type. La masse volumique de l'aluminium vaut $2{,}7$ g/cm³. Un échantillon d'aluminium a une masse de $351$ g. Quel est le volume de cet échantillon ? Donne le résultat en cm³. Arrondis au cm³.

Corrigé complet.

1. Lire l'unité de la masse volumique. Elle s'écrit g/cm³, c'est-à-dire « grammes par centimètre cube ». Elle signifie qu'un centimètre cube d'aluminium a une masse de $2{,}7$ g. L'unité dit à elle seule ce qu'il faut faire.

2. Écrire la relation. La masse volumique relie la masse et le volume :

3. Vérifier la cohérence des unités. La masse est en grammes, la masse volumique en grammes par centimètre cube. En divisant, les grammes se simplifient et il reste des centimètres cubes : c'est bien un volume. Aucune conversion n'est nécessaire ici, parce que les deux données sont déjà accordées.

4. Calculer.

Le volume vaut $130$ cm³.

5. Donner l'autre écriture du résultat. Comme $1$ mL $= 1$ cm³, ce volume vaut aussi $130$ mL, soit $13$ cL. Trois écritures, une seule quantité.

6. Contrôler l'ordre de grandeur. Un centimètre cube d'aluminium pèse un peu moins de $3$ g. Pour atteindre $351$ g, il en faut donc un peu plus de $117$ centimètres cubes. On trouve $130$ cm³ : c'est plausible.

Auto-contrôle : avant de calculer, lis l'unité de chaque donnée à voix haute. « Grammes par centimètre cube » dit qu'il faut diviser des grammes par cette valeur pour obtenir des centimètres cubes. Si les unités de tes données ne s'accordent pas — une masse en kilogrammes face à une masse volumique en grammes par centimètre cube —, commence par convertir, avant tout calcul.