Le modèle du gaz parfait : quatre grandeurs, une équation

Un solide a une forme et un volume ; un liquide a un volume ; un gaz n'a ni l'un ni l'autre. Il occupe tout ce qu'on lui donne. Comment décrire un objet aussi fuyant ?

Le problème. Un litre d'air contient de l'ordre de $10^{22}$ molécules. Écrire l'équation du mouvement de chacune serait sans espoir, et sans intérêt : personne n'a besoin de savoir où se trouve telle molécule à telle seconde. Ce qui nous intéresse, ce sont les grandeurs que l'on mesure à notre échelle — celle du récipient, du manomètre et du thermomètre. On les appelle des grandeurs macroscopiques, et un gaz enfermé dans un récipient est un système thermodynamique.

Quatre grandeurs suffisent. Pour décrire complètement l'état d'un gaz au repos, il en faut quatre : la pression $p$, en pascals ; le volume $V$, en mètres cubes ; la quantité de matière $n$, en moles ; et la température $T$, en kelvins. Rien d'autre. Deux récipients qui portent les mêmes quatre valeurs contiennent des gaz dans le même état, même si les molécules n'y sont pas placées de la même façon.

Ce que la pression est, vue de près. Les molécules d'un gaz se déplacent en ligne droite entre deux chocs, à plusieurs centaines de mètres par seconde, dans toutes les directions. Chacune, en rebondissant sur la paroi, la pousse un instant. Un nombre immense de ces chocs par seconde donne une force continue, perpendiculaire à la paroi : rapportée à l'aire de cette paroi, c'est la pression. Ce n'est donc pas le poids des molécules qui appuie sur le récipient — la pression est la même sur le fond, sur les côtés et sur le plafond, ce que le poids n'expliquerait jamais.

Ce que la température est, vue de près. Chauffer un gaz, c'est augmenter la vitesse moyenne de ses molécules. La température mesure cette agitation thermique : plus les molécules vont vite en moyenne, plus le gaz est chaud. Cette phrase a une conséquence décisive. Une agitation ne peut pas devenir négative ; il existe donc une température en dessous de laquelle on ne descend pas, celle où l'agitation serait minimale. On l'appelle le zéro absolu, et l'échelle qui part de là est celle des kelvins :

Température absolue. $T$ (en kelvins, de symbole K) et $\theta$ (en degrés Celsius) mesurent la même chose sur deux échelles décalées : $T = \theta + 273{,}15$. Un écart de température a la même valeur dans les deux unités, mais une température, non : $0$ °C valent $273{,}15$ K.

C'est la température absolue, et elle seule, qui est proportionnelle à l'agitation des molécules. Écrire $-10$ °C dans une relation de physique des gaz reviendrait à parler d'une agitation négative : cela n'a aucun sens.

L'équation qui relie tout. Les mesures accumulées depuis le dix-septième siècle se résument à une seule relation entre les quatre grandeurs :

Équation d'état du gaz parfait. $p\,V = n\,R\,T$, avec $p$ en pascals, $V$ en mètres cubes, $n$ en moles, $T$ en kelvins, et $R = 8{,}314$ J·mol⁻¹·K⁻¹, la constante des gaz parfaits.

Deux remarques la rendent moins abstraite. D'abord, $R$ ne dépend pas du gaz : le diazote, l'hélium et le méthane obéissent à la même équation, avec la même constante. Ensuite, cette équation est une contrainte : elle dit que les quatre grandeurs ne sont pas indépendantes. Fixes-en trois, la quatrième est déterminée. C'est pourquoi un même exercice peut demander tantôt $n$, tantôt $p$, tantôt $V$, tantôt la température : c'est toujours la même relation, isolée sur une inconnue différente.

Pourquoi « parfait ». Le mot ne veut pas dire « excellent », il veut dire « idéalisé ». Le modèle suppose des molécules ponctuelles, sans volume propre, et sans interaction entre elles hors des chocs. C'est une très bonne description d'un gaz dilué — l'air de la salle, le gaz d'un ballon, le dioxygène d'une seringue de travaux pratiques. Ce n'en est plus une pour un gaz très comprimé, où les molécules se serrent : nous verrons pourquoi.

L'équation d'état n'est pas une formule à appliquer une fois : c'est une machine à raisonner. Le plus utile est d'apprendre à la lire quand une grandeur est bloquée.

À température constante : la loi de Boyle-Mariotte. Si $n$ et $T$ ne changent pas, le membre de droite $n\,R\,T$ est un nombre fixé : le produit $p\,V$ est constant, donc

Pression et volume sont inversement proportionnels : diviser le volume par deux double la pression. C'est la loi rencontrée en première avec le ballon du plongeur ; elle n'était que la tranche « température fixée » de l'équation d'état. L'interprétation microscopique est immédiate : en resserrant les molécules dans un volume deux fois plus petit, on double le nombre de chocs par seconde sur chaque centimètre carré de paroi.

À pression constante — transformation isobare. Si $p$ et $n$ sont fixés, alors le quotient $\dfrac{V}{T}$ est constant : le volume est proportionnel à la température absolue. Chauffer l'air d'une montgolfière de $293$ K à $373$ K le dilate d'un facteur $373/293 \approx 1{,}27$. Attention : proportionnel à $T$ en kelvins, pas à $\theta$ en degrés Celsius — passer de $10$ °C à $20$ °C ne double pas le volume, cela l'augmente d'environ $3{,}5$ %.

À volume constant — transformation isochore. Si $V$ et $n$ sont fixés, c'est le quotient $\dfrac{p}{T}$ qui est constant : la pression est proportionnelle à la température absolue. Un récipient rigide que l'on chauffe voit sa pression monter ; c'est la raison de l'avertissement « ne pas jeter au feu » sur les bombes aérosol.

Le vocabulaire mérite d'être fixé une fois pour toutes, car les énoncés l'emploient sans le redéfinir : isotherme veut dire à température constante, isobare à pression constante, isochore à volume constant. Le préfixe « iso » signifie « même » ; les éléments « therme », « bare » et « chore » désignent respectivement la température, la pression et le volume.

Un ordre de grandeur à retenir : le volume molaire. Combien de place occupe une mole de gaz ? L'équation répond : $V = \dfrac{n\,R\,T}{p}$. Pour $n = 1{,}0$ mol, sous $p = 1{,}0$ bar, c'est-à-dire $1{,}0 \times 10^{5}$ Pa, à $\theta = 20$ °C, soit $T = 293{,}15$ K :

Environ $24$ L par mole dans les conditions d'une salle de classe : voilà le repère qui dira si un résultat est plausible. Ce nombre n'a rien d'universel — il dépend de la pression et de la température, et il tombe à environ $2{,}4$ L par mole sous $10$ bar. Il ne faut donc pas le réciter comme une constante, mais le recalculer, ou au moins vérifier que le résultat trouvé varie dans le bon sens.

Où le modèle cesse de valoir. Sous $200$ bar — la pression d'une bouteille de plongée —, un gaz est deux cents fois plus dense que dans la salle : les molécules ne sont plus loin les unes des autres. Leur volume propre n'est plus négligeable devant celui du récipient, et les forces d'attraction entre elles cessent d'être sans effet. L'équation $p\,V = n\,R\,T$ ne donne alors plus qu'un ordre de grandeur, et il faut passer à un modèle de gaz réel, hors programme. Retiens la formulation exacte : ce n'est pas un défaut de calcul, c'est une réserve sur le domaine de validité du modèle. Un modèle porte toujours ses hypothèses avec lui, et savoir dire quand il cesse de s'appliquer fait partie de la physique.

Ce que cette leçon ne fait pas. La proportionnalité entre l'énergie cinétique moyenne d'une molécule et la température absolue est ici énoncée en mots ; son écriture chiffrée relève de l'enseignement supérieur. De même, l'énergie interne du gaz et les échanges d'énergie qu'il subit sont l'objet des deux compétences suivantes de ce chapitre : le gaz parfait est d'abord une description d'état, pas encore un bilan d'énergie.

Énoncé. Un récipient rigide de volume $V = 5{,}0$ L contient du diazote ($N_2$), assimilé à un gaz parfait, à la pression $p = 3{,}0$ bar et à la température $\theta = 20$ °C. On donne $R = 8{,}314$ J·mol⁻¹·K⁻¹ et la masse molaire $M(N_2) = 28{,}0$ g/mol.

Questions. 1. Calculer la quantité de matière $n$ de diazote. 2. En déduire la masse $m$ de gaz. 3. On transvase ce gaz, à température constante, dans un récipient de $2{,}0$ L. Quelle est la nouvelle pression ? 4. On chauffe le récipient rigide initial de $20$ °C à $80$ °C. Quelle est la nouvelle pression ?

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1. La quantité de matière. L'équation d'état donne $n = \dfrac{p\,V}{R\,T}$, mais chaque grandeur doit être dans l'unité qui convient à $R$. Trois conversions, faites séparément :

• la température : $T = \theta + 273{,}15 = 20 + 273{,}15 = 293{,}15$ K ;
• la pression : $p = 3{,}0$ bar $= 3{,}0 \times 10^{5}$ Pa, car $1$ bar vaut $10^{5}$ Pa ;
• le volume : $V = 5{,}0$ L $= 5{,}0 \times 10^{-3}$ m³, car $1$ m³ vaut $1000$ L.

Contrôle d'ordre de grandeur : $5$ L sous $3$ bar, cela fait $15$ L ramenés à la pression atmosphérique, soit un peu plus d'une demi-mole si une mole occupe $24$ L. Cohérent.

2. La masse. La masse molaire fait le lien entre quantité de matière et masse :

Dix-sept grammes de gaz dans cinq litres : la masse volumique d'un gaz se compte en grammes par litre, mille fois moins que celle d'un liquide.

3. À température constante. La quantité de matière et la température ne changent pas : le produit $p\,V$ est conservé.

Le volume a été divisé par $2{,}5$, la pression est multipliée par $2{,}5$. Remarque utile : ici, les litres et les bars n'ont pas eu besoin d'être convertis, parce que la relation est un rapport et que les mêmes unités figurent des deux côtés. Cette dispense ne vaut que pour ce type de rapport, jamais pour l'équation d'état complète.

4. À volume constant. Le récipient est rigide et fermé : $V$ et $n$ sont fixés, donc le quotient $\dfrac{p}{T}$ est constant. Il faut ici deux températures absolues : $T_1 = 293{,}15$ K et $T_2 = 80 + 273{,}15 = 353{,}15$ K.

Une élévation de $60$ °C n'augmente la pression que d'environ $20$ %. Si l'on avait fait le rapport en degrés Celsius, $80/20 = 4$, on aurait annoncé $12$ bar : plus de trois fois trop. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, et elle vient toujours du même endroit — une température qui n'a pas été convertie en kelvins.

Contrôle final. Les unités de $p\,V$ sont des pascals fois des mètres cubes, c'est-à-dire des joules ; celles de $n\,R\,T$ sont des moles fois des joules par mole et par kelvin fois des kelvins, c'est-à-dire des joules également. L'équation est homogène, et un calcul dont les deux membres ne le seraient pas serait faux avant même d'être fini.

Figure (fig.physics.ideal-gas, image vectorielle produite par programme, à produire) : trois panneaux et un bandeau.

• Panneau gauche — l'origine de la pression. Un récipient fermé vu en coupe, contenant une quarantaine de petits disques figurant les molécules, chacun portant une flèche de direction différente, l'ensemble en désordre. Une bulle agrandit une portion de paroi où trois molécules rebondissent, avec la mention « chaque choc pousse la paroi ; la somme des chocs par seconde, rapportée à l'aire, est la pression ». Trois flèches perpendiculaires de même longueur sur le fond, sur un côté et sur le plafond, légendées « même pression dans toutes les directions : ce n'est pas un poids ».
• Panneau central — les deux échelles de température. Une échelle verticale à deux graduations côte à côte : les kelvins à gauche, de $0$ à $400$ ; les degrés Celsius à droite, de $-273{,}15$ à $127$. Trois repères horizontaux relient les deux échelles, au zéro absolu, à $0$ °C qui vaut $273{,}15$ K, et à $20$ °C qui valent $293{,}15$ K. Sous l'échelle, trois vignettes de molécules de plus en plus agitées, de la plus lente près du zéro absolu à la plus rapide en haut.
• Panneau droit — les trois transformations. Trois cylindres à piston superposés. Le premier, à température constante, piston enfoncé, volume divisé par deux, pression doublée, avec le produit $p\,V$ écrit identique avant et après. Le deuxième, à pression constante, chauffé, piston monté, volume et température absolue augmentés dans le même rapport. Le troisième, à volume constant, parois rigides, chauffé, pression et température absolue augmentées dans le même rapport.
• Bandeau du bas : les quatre grandeurs et leurs unités, la valeur de $R$, les conversions bar vers pascal et litre vers mètre cube, et le repère « environ $24$ L par mole sous $1$ bar à $20$ °C ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau de gauche répond à la question « qu'est-ce que la pression ? » : des chocs, pas un poids, d'où l'égalité des flèches sur les trois parois. Le panneau central répond à « pourquoi les kelvins ? » : les deux échelles ont le même pas mais pas la même origine, et l'agitation s'annule au bas de l'échelle des kelvins, pas à zéro degré Celsius. Le panneau de droite montre que les trois transformations ne sont pas trois lois à mémoriser, mais une seule équation lue trois fois, avec une grandeur bloquée à chaque fois.

La figure en détail : à gauche, un récipient fermé vu en coupe contient une quarantaine de petits disques figurant les molécules, chacun muni d'une flèche de direction différente, l'ensemble en désordre ; une bulle agrandit une portion de paroi sur laquelle trois molécules rebondissent, et indique que chaque choc pousse la paroi et que la somme des chocs par seconde, rapportée à l'aire, donne la pression ; sur le fond, sur un côté et sur le plafond, trois flèches perpendiculaires de même longueur rappellent que la pression est la même dans toutes les directions et qu'elle ne vient donc pas d'un poids. Au centre, une échelle de température verticale porte deux graduations côte à côte, les kelvins de zéro à quatre cents à gauche, les degrés Celsius de moins deux cent soixante-treize virgule quinze à cent vingt-sept à droite ; trois repères horizontaux relient les deux échelles, au zéro absolu, à zéro degré Celsius qui vaut deux cent soixante-treize virgule quinze kelvins, et à vingt degrés Celsius qui valent deux cent quatre-vingt-treize virgule quinze kelvins ; sous l'échelle, trois vignettes montrent des molécules de plus en plus agitées, de la plus lente près du zéro absolu à la plus rapide en haut. À droite, trois cylindres à piston, l'un au-dessus de l'autre, montrent les trois transformations : le premier, à température constante, piston enfoncé, volume divisé par deux et pression doublée, le produit de la pression par le volume restant identique avant et après ; le deuxième, à pression constante, chauffé, piston monté, volume et température absolue augmentés dans le même rapport ; le troisième, à volume constant, parois rigides, chauffé, pression et température absolue augmentées dans le même rapport. Le bandeau du bas rappelle les quatre grandeurs et leurs unités, la valeur de la constante des gaz parfaits, la conversion des bars en pascals et des litres en mètres cubes, et l'ordre de grandeur d'environ vingt-quatre litres pour une mole sous un bar à vingt degrés Celsius.

Les unités et les conversions. $1$ bar $= 10^{5}$ Pa ; $1$ hPa $= 100$ Pa ; $1$ L $= 10^{-3}$ m³, donc $1$ m³ $= 1000$ L ; température absolue en kelvins. La constante $R$ vaut $8{,}314$ joules par mole et par kelvin : elle impose ses unités à tout le reste de l'équation. Elle est toujours donnée dans les énoncés, jamais à mémoriser.

Les ordres de grandeur. Une mole de gaz occupe environ $24$ L sous $1$ bar à $20$ °C, et d'autant moins que la pression est élevée. Un pneu de voiture est gonflé à $2$ ou $3$ bar au-dessus de la pression atmosphérique, une bouteille de plongée à $200$ bar. La masse volumique d'un gaz est de l'ordre du gramme par litre.

Les hypothèses du modèle. Molécules ponctuelles, sans interaction entre elles hors des chocs. Bonne description d'un gaz dilué, jusqu'à quelques dizaines de bars ; réserve nécessaire au-delà, où le volume propre des molécules et leurs interactions cessent d'être négligeables.

Ce qui n'est pas au programme de terminale. L'écriture chiffrée du lien entre agitation moléculaire et température, les équations de gaz réels, les capacités thermiques molaires, le second principe, l'entropie et les cycles thermodynamiques appartiennent à l'enseignement supérieur. Ici, on décrit un état et on relie deux états.

1. Employer une température en degrés Celsius dans $p\,V = n\,R\,T$. C'est l'erreur numéro un du chapitre, et elle ne se voit pas toujours : à $20$ °C, elle donne un résultat quinze fois trop grand ; à $0$ °C, elle fait apparaître une division par zéro ; en dessous de $0$ °C, elle donne une quantité de matière négative. Écris systématiquement la ligne $T = \theta + 273{,}15$ avant de calculer, comme une étape à part entière.
2. Garder les litres et les bars dans l'équation d'état. Avec $R = 8{,}314$ J·mol⁻¹·K⁻¹, la pression doit être en pascals et le volume en mètres cubes. Un volume laissé en litres donne un résultat mille fois trop grand ; une pression laissée en bars, cent mille fois trop petit. Ces erreurs ne changent pas le nom du résultat, seulement sa valeur : rien ne t'alertera, sauf l'ordre de grandeur.
3. Appliquer le modèle sous très haute pression sans réserve. À $200$ bar, les molécules sont serrées : leur volume propre et leurs interactions ne sont plus négligeables, et $p\,V = n\,R\,T$ ne donne plus qu'un ordre de grandeur. Ce n'est pas une erreur de calcul, c'est une limite du modèle, et la nommer fait partie de la réponse attendue.
4. Croire que $R$ dépend du gaz. La même constante vaut pour le diazote, l'hélium ou le méthane. Ce qui distingue les gaz, c'est leur masse molaire — donc leur masse à quantité de matière égale — pas leur comportement dans l'équation d'état.
5. Réciter « une mole occupe $22{,}4$ L » en toute circonstance. Ce nombre correspond à une pression et à une température particulières. Sous $1$ bar à $20$ °C, on trouve environ $24{,}4$ L par mole ; sous $10$ bar, environ $2{,}4$ L. Recalcule le volume molaire, ou vérifie au moins que ton résultat varie dans le bon sens quand la pression change.
6. Utiliser $p_1 V_1 = p_2 V_2$ alors que la température a changé. La loi de Boyle-Mariotte n'est valable qu'à température constante et à quantité de gaz fixée. Si l'on chauffe, il faut revenir à l'équation d'état complète, ou employer la relation isochore ou isobare adaptée. L'énoncé écrit toujours « à température constante » quand il autorise Mariotte.
7. Faire un rapport de températures en degrés Celsius. « La température passe de $20$ °C à $80$ °C, donc la pression est multipliée par $4$ » est faux : le rapport se fait en kelvins, et vaut $353{,}15 / 293{,}15 \approx 1{,}20$. Un rapport n'a de sens que sur une échelle dont l'origine est le zéro de la grandeur, ce qui est le cas des kelvins et non des degrés Celsius. En revanche, un écart de température vaut le même nombre dans les deux unités.
8. Confondre quantité de matière et masse. La quantité de matière se compte en moles, la masse en grammes, et l'équation d'état ne connaît que la quantité de matière. Le passage de l'une à l'autre se fait par la masse molaire, $m = n\,M$, et jamais autrement.
9. Expliquer la pression par le poids des molécules. Si c'était le poids, la pression serait nulle sur le plafond du récipient et dépendrait de son orientation. Elle vient des chocs, qui se produisent dans toutes les directions.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon décrit un récipient contenant un gaz usuel — diazote, dioxygène, dioxyde de carbone, hélium, méthane ou dihydrogène — avec sa pression en bars, son volume en litres et sa température en degrés Celsius, et donne toujours la valeur de $R$. Selon le tirage, il demande la quantité de matière, la masse, la pression, le volume ou la température : c'est chaque fois la même équation d'état, isolée sur une inconnue différente. Le corrigé détaille les trois conversions dans des étapes séparées et nomme les erreurs d'unité avec la valeur fausse qu'elles produisent. Un modèle voisin, à affirmations vraies ou fausses, revient sur la loi de Boyle-Mariotte, sur l'origine microscopique de la pression, sur la réserve à haute pression, sur le lien entre température absolue et agitation, et sur le vocabulaire des transformations.

Énoncé type. Une bouteille de volume $V = 8{,}0$ L contient du dioxygène ($O_2$), assimilé à un gaz parfait, à la pression $p = 2{,}5$ bar et à la température $\theta = 25$ °C. On donne $R = 8{,}314$ J·mol⁻¹·K⁻¹. Calculer la quantité de matière $n$ de gaz. Répondre en moles, avec trois chiffres significatifs.

Corrigé complet.

1. La relation. Le gaz est assimilé à un gaz parfait : $p\,V = n\,R\,T$, où $T$ est la température absolue, en kelvins. On isole l'inconnue : $n = \dfrac{p\,V}{R\,T}$.

2. La température. $T = \theta + 273{,}15 = 25 + 273{,}15 = 298{,}15$ K.

3. La pression et le volume. $p = 2{,}5$ bar $= 2{,}5 \times 10^{5}$ Pa ; $V = 8{,}0$ L $= 8{,}0 \times 10^{-3}$ m³.

4. Le calcul.

Réponse : environ $0{,}807$ mol de dioxygène.

5. Écarter les réponses voisines. Avec la température laissée en degrés Celsius, on trouverait $\dfrac{2{,}0 \times 10^{3}}{8{,}314 \times 25} \approx 9{,}62$ mol, douze fois trop. Avec le volume laissé en litres, on trouverait environ $807$ mol, mille fois trop. Ces deux nombres portent pourtant la bonne unité : seule la vérification de l'ordre de grandeur les démasque.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Ai-je écrit la conversion en kelvins sur une ligne à part ? Ma pression est-elle en pascals et mon volume en mètres cubes ? Et mon résultat est-il plausible, sachant qu'une mole occupe environ $24$ L sous $1$ bar à température ordinaire, donc environ $10$ L sous $2{,}5$ bar ?