Le premier principe : un bilan à deux entrées

Une compression rapide peut échauffer un gaz. Pour l’étudier proprement, nous choisissons une quantité de gaz enfermée dans un cylindre, comprimée par un piston, avec transfert thermique négligeable pendant l’opération. Une pompe réelle peut aussi échanger de la matière, subir des frottements et perdre de l’énergie vers l’extérieur : elle n’est pas automatiquement ce système idéal.

Le problème. Dans ce modèle fermé et approximativement adiabatique, le gaz peut recevoir de l’énergie par le travail exercé lors de la compression, même si $Q$ est négligeable. Ne pas toucher un objet chaud ne suffit pas à démontrer l’absence de transfert thermique. Le bilan doit distinguer tous les échanges retenus et leur signe.

Les deux modes de transfert. Un système fermé — c'est-à-dire qui n'échange pas de matière avec l'extérieur — peut échanger de l'énergie de deux façons seulement : par travail $W$, par exemple quand des forces extérieures déplacent une paroi ou un piston, ou par action électrique ou par des pales, et par transfert thermique $Q$, quand une différence de température met l'énergie en mouvement. Les deux se mesurent en joules.

La convention de signe, la même que précédemment. Comme un échange peut aller dans les deux sens, on continue de se placer du point de vue du système :

Convention. Le travail $W$ et le transfert thermique $Q$ reçus par le système sont comptés positivement ; ceux qu'il cède au milieu extérieur sont comptés négativement.

Retenez la phrase courte : ce qui entre est positif. Un gaz comprimé par un opérateur reçoit du travail, donc $W > 0$. Un gaz qui se détend en repoussant le piston fournit du travail au milieu extérieur, donc $W < 0$. Un apport thermique reçu est $Q>0$ et une perte thermique est $Q<0$. La variation de température ne détermine pas à elle seule le signe de $Q$ lorsque le travail intervient. Cette convention est écrite dans chaque énoncé de la plateforme : lisez-la, elle fixe le sens des signes de votre réponse.

Le principe. Une fois les deux entrées comptées avec leur signe, l'énoncé du principe est presque une évidence comptable — et pourtant, c'est l'une des lois les plus solides de toute la physique.

Premier principe de la thermodynamique. Pour un système fermé dont les énergies cinétique et potentielle macroscopiques ne varient pas, la variation de son énergie interne entre l'état initial et l'état final est la somme du travail et du transfert thermique reçus :

$$\Delta U = W + Q .$$

Trois lectures de cette égalité, qui valent mieux qu'une récitation.

Première lecture : l'énergie ne se crée pas. Si l'énergie interne d'un système augmente, c'est que quelque chose est entré, par travail ou par chaleur, en quantité exactement égale. Rien n'apparaît de nulle part et rien ne disparaît.

Deuxième lecture : les deux modes sont interchangeables. L'énergie interne se moque de la façon dont l'énergie est arrivée. Chauffer un gaz de $500$ J ou le comprimer en lui fournissant $500$ J de travail produit la même augmentation d'énergie interne. C'est ce qu'a établi James Joule au dix-neuvième siècle, et cela établit l’équivalence énergétique de deux modes de transfert ; le système ne stocke pas une « quantité de chaleur ».

Troisième lecture : à gauche un état, à droite des échanges. $\Delta U$ ne dépend que de l'état initial et de l'état final du système. En revanche, $W$ et $Q$ décrivent la manière dont la transformation s'est faite : deux chemins différents entre les mêmes états peuvent donner des valeurs différentes de $W$ et de $Q$, mais toujours la même somme. C'est pourquoi on parle de la variation d'énergie interne, alors que $Q$ et $W$ ne sont pas des fonctions d’état. Une différence entre deux échanges de chaleur peut être calculée, mais elle ne désigne pas une variation d’un stock de chaleur contenu dans le système.

Le travail des forces de pression. Reste à savoir calculer $W$. Nous retenons ici un travail de pression sous pression extérieure constante, sans autre travail :

Travail des forces de pression, pression extérieure constante. Si la pression extérieure $p=p_{ext}$ est constante, le travail reçu par le gaz vaut $W = -p\,\Delta V$, avec $\Delta V = V_f - V_i$, la pression en pascals et les volumes en mètres cubes.

Cette relation est donnée dans les énoncés : vous n’avez pas à la retrouver. En revanche, il faut comprendre son signe moins, qui n'est pas un caprice. Lors d'une compression, le volume diminue, donc $\Delta V < 0$, donc $W = -p\,\Delta V > 0$ : le gaz reçoit du travail, ce qui est bien ce que fait l'opérateur qui appuie. Lors d'une détente, le volume augmente, $\Delta V > 0$, donc $W < 0$ : le gaz pousse le piston et cède du travail. Le signe moins est exactement ce qui rend la relation compatible avec la convention « ce qui entre est positif ».

Un ordre de grandeur utile. Un bar multiplié par un litre vaut $10^{5} \times 10^{-3} = 100$ J. Les travaux mis en jeu dans un cylindre de travaux pratiques ou dans une pompe à vélo se comptent donc en dizaines ou en centaines de joules — et peuvent atteindre des kilojoules selon la pression et le volume ; l’unité appropriée dépend du cas.

Le premier principe est toujours vrai. Ce qui change d'une situation à l'autre, c'est la valeur de l'un des deux termes — et c'est là que le vocabulaire des transformations prend tout son sens.

Transformation isochore : le volume ne change pas. Dans un récipient rigide, le travail de déplacement des parois est nul. Si aucun autre travail (électrique, pales…) n’intervient, le travail total est $W=0$ et le principe donne $\Delta U=Q$. Cette égalité signifie travail total nul ; elle n’exige pas forcément un volume constant. Une détente libre dans le vide au sein d’une enceinte isolée donne aussi $W=Q=0$, même si le volume occupé par le gaz augmente.

Transformation isobare : la pression reste constante. Le piston est libre de coulisser sous une pression extérieure fixée. Le travail vaut $W = -p\,\Delta V$, et le bilan complet s'écrit $\Delta U = -p\,\Delta V + Q$. Les deux termes comptent, chacun avec son signe. Le $p$ de cette expression est la pression extérieure constante. On ne l’identifie à la pression du gaz que si l’équilibre mécanique approprié est assuré ; la présence de l’air libre ne suffit pas à imposer ce modèle à toute situation.

Transformation adiabatique : aucun transfert thermique. Le préfixe « a » signifie « sans » : la transformation se fait sans échange de chaleur, soit parce que les parois sont isolantes, soit parce que la transformation est trop rapide pour que l'énergie thermique ait le temps de passer. On a donc $Q = 0$, et

Dans la compression adiabatique idéale du gaz parfait, à quantité et composition fixées et capacité thermique positive, $W>0$ augmente $U$ et la température. Une détente adiabatique fournissant du travail a au contraire $W<0$. Adiabatique veut dire $Q=0$, pas température constante ni absence de tout transfert énergétique.

Transformation isotherme d'un gaz parfait : la température reste constante. Ici, une propriété supplémentaire est nécessaire, et les énoncés la donnent quand ils en ont besoin : pour une quantité et une composition fixées, l’énergie interne du gaz parfait ne dépend que de sa température. Si la température ne varie pas, l'énergie interne non plus :

Un gaz parfait comprimé lentement, en contact avec un milieu qui maintient sa température, reçoit du travail et cède aussitôt exactement autant d'énergie par transfert thermique. Rien ne s'accumule à l'intérieur : l'énergie traverse le système. Isotherme et adiabatique ne sont pas synonymes, mais ne sont pas incompatibles par définition : une détente libre idéale entre deux états d’équilibre peut avoir $Q=W=0$ et la même température finale qu’initiale. Pendant cette évolution irréversible, on ne suppose pas un état uniforme à chaque instant.

Le tableau du vocabulaire, à connaître par cœur. Le préfixe « iso » signifie « même » ; les éléments « bare », « chore » et « therme » désignent respectivement la pression, le volume et la température ; le préfixe « a » signifie « sans ». Une transformation isobare se fait à pression constante, isochore à volume constant, isotherme à température constante, adiabatique sans transfert thermique. Les deux mots que l'on confond le plus sont isotherme et adiabatique : le premier parle de la température, le second du transfert thermique, et ils ne disent pas du tout la même chose.

Comment on lit un énoncé. Trois questions, toujours les mêmes, dans cet ordre. Premièrement : quel est le système ? Presque toujours le gaz, jamais le piston ni l'opérateur — et c'est du point de vue du gaz que tous les signes sont écrits. Deuxièmement : que reçoit et que cède ce système ? Chaque phrase de l'énoncé se traduit en une valeur signée : « il est comprimé et reçoit un travail de $300$ J » donne $W = +300$ J ; « il cède un transfert thermique de $500$ J » donne $Q = -500$ J ; « son énergie interne diminue de $200$ J » donne $\Delta U = -200$ J. Troisièmement : que demande la question, et quelle grandeur reste inconnue dans $\Delta U = W + Q$ ? Une seule relation, trois formes possibles selon l'inconnue : $\Delta U = W + Q$, ou $Q = \Delta U - W$, ou $W = \Delta U - Q$.

Ce que cette leçon ne fait pas. Elle ne calcule aucun travail hors du cas isobare, et n'aborde ni les machines thermiques, ni leur rendement, ni le second principe, ni l'entropie, ni le cycle de Carnot. Le premier principe dit ce qui est possible du point de vue de la comptabilité de l'énergie ; il ne dit pas dans quel sens les transformations se produisent spontanément. Cette seconde question, qui est celle du second principe, appartient à l'enseignement supérieur.

Énoncé. Un gaz est enfermé dans un cylindre fermé par un piston. Convention : le travail $W$ et le transfert thermique $Q$ reçus par le gaz sont comptés positivement, ceux qu'il cède négativement, et le premier principe s'écrit $\Delta U = W + Q$. On rappelle que, pour une transformation sous pression extérieure constante $p$, le travail des forces de pression reçu par le gaz vaut $W = -p\,\Delta V$, avec $\Delta V = V_f - V_i$.

Questions. 1. Le gaz, supposé parfait à quantité/composition fixées et capacité thermique positive, est comprimé sous la pression extérieure constante $p = 2{,}0$ bar : son volume diminue de $1{,}5$ L. Calculer le travail $W$ reçu par le gaz. 2. Pendant cette compression, le gaz cède $500$ J au milieu extérieur par transfert thermique. Calculer la variation d'énergie interne. 3. Sans autre travail, le même gaz est ensuite enfermé dans un récipient rigide et reçoit $800$ J par transfert thermique. Que vaut la variation d'énergie interne ? 4. On comprime enfin très rapidement le gaz dans un cylindre aux parois isolantes, en lui fournissant $250$ J de travail. Que devient sa température ?

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1. Le travail des forces de pression. Deux conversions d'abord, chacune sur sa ligne :

• la pression : $p = 2{,}0$ bar $= 2{,}0 \times 10^{5}$ Pa ;
• la variation de volume : le volume diminue de $1{,}5$ L, donc $\Delta V = V_f - V_i = -1{,}5$ L $= -1{,}5 \times 10^{-3}$ m³. Le signe moins est ici la moitié du travail intellectuel.

Le résultat est positif, et c'est cohérent : comprimer, c'est pousser le piston contre la pression du gaz, donc lui fournir de l'énergie. Contrôle de l'ordre de grandeur : $2$ bar multipliés par $1{,}5$ L font $2 \times 1{,}5 \times 100 = 300$ J, puisqu'un bar fois un litre vaut $100$ J.

2. Le bilan complet. Le gaz cède $500$ J par transfert thermique : avec la convention, $Q = -500$ J. Le premier principe donne

L'énergie interne du gaz diminue de $200$ J, alors même qu'on lui a fourni du travail : il a cédé plus d'énergie qu'il n'en a reçu. Sa température baisse. Un résultat de $+800$ J s'obtiendrait en additionnant les deux valeurs absolues, c'est-à-dire en oubliant la convention ; un résultat de $-800$ J, en se trompant sur le signe du travail. Les trois nombres $-200$, $+800$ et $-800$ ont la même unité et la même allure : seul le raisonnement sur les signes les sépare.

3. Le récipient rigide. Rigide signifie indéformable : le volume ne varie pas, $\Delta V = 0$, et les forces de pression ne travaillent pas. Donc $W = 0$, et

Toute l'énergie reçue par transfert thermique se retrouve dans l'énergie interne : la température du gaz augmente. Cette transformation est isochore et sans autre travail ; c’est le travail total nul qui autorise $\Delta U=Q$.

4. La compression rapide dans un cylindre isolé. Les parois sont isolantes et la transformation est rapide : aucun transfert thermique n'a le temps de se faire, $Q = 0$. La transformation est adiabatique, et

L'énergie interne augmente de $250$ J, donc la température du gaz monte. C’est un modèle approché de l’échauffement lors d’une compression ; une pompe réelle peut aussi échanger de la chaleur et subir des pertes. Remarquez le contraste avec la question 1 : la même compression, selon qu'elle est lente et accompagnée d'un refroidissement ou rapide et isolée, fait baisser ou monter la température. Ce n'est pas la compression seule qui décide, c'est le bilan des deux termes.

Contrôle final. Toutes les valeurs sont en joules. Chaque signe a été justifié par une phrase de l'énoncé, jamais deviné. Et la somme $W + Q$ a été calculée en additionnant deux nombres signés, ce qui, en pratique, revient souvent à une soustraction : c'est normal, et c'est le sens même du bilan.

Lisez les signes. À gauche, la frontière délimite le gaz : les flèches entrantes correspondent à des échanges reçus positifs, les sortantes à des échanges cédés négatifs. Le bilan $\Delta U=W+Q$ suppose ici les variations d’énergie macroscopique négligées.

Au centre, compression et détente illustrent le signe de $W=-p_{ext}\Delta V$, pour une pression extérieure constante positive et le seul travail de pression. Le repère bar·L donne100 J.

À droite, les quatre lignes illustrent des hypothèses : volume constant sans autre travail donne $W=0$ ; pression extérieure constante permet le calcul présenté ; adiabatique impose $Q=0$ ; gaz parfait isotherme de quantité/composition fixées donne $\Delta U=0$. Isotherme et adiabatique désignent des conditions différentes, sans être toujours incompatibles.