Équivalence masse-énergie : fission, fusion et défaut de masse

Depuis Lavoisier, un principe traverse toute la chimie : « rien ne se perd, rien ne se crée ». Dans une réaction chimique, les atomes se réarrangent, et la somme des masses au repos des produits est traitée comme égale à celle des réactifs à la précision usuelle : l’écart associé aux échanges d’énergie est très faible. Vous l’avez utilisé des dizaines de fois pour équilibrer des équations.

Le problème. Dans les réactions nucléaires exoénergétiques étudiées, la somme des masses au repos des produits est inférieure à celle des réactifs. La différence correspond à l’énergie libérée, portée notamment par les mouvements et les rayonnements. Ce n’est pas une destruction d’énergie totale. Une réaction endoénergétique peut au contraire produire des constituants de somme des masses au repos plus grande et demander un apport d’énergie.

Équivalence masse-énergie. Pour un bilan de réaction, définissons $\Delta m=m_{\text{réactifs}}-m_{\text{produits}}$ avec des masses au repos cohérentes. L’énergie disponible du bilan vaut

$$E = \Delta m\,c^{2},$$

où $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m·s⁻¹ est la vitesse de la lumière dans le vide, $\Delta m$ s'exprime en kilogrammes et $E$ en joules.

Cette relation, établie par Einstein en 1905, énonce quelque chose de plus fort qu'une conversion : la masse est une forme d'énergie. Pour un système de même inventaire, une diminution de son énergie au repos correspond à une diminution de sa masse invariante. Une simple perte d’énergie cinétique dans un référentiel, par exemple lors d’un freinage, n’implique pas à elle seule une diminution de cette masse. Simplement, dans ces cas-là, la perte est si minuscule qu'elle est généralement négligeable dans le bilan de masse chimique usuel. Dans une réaction nucléaire, les énergies en jeu sont un million de fois plus grandes, et la perte de masse devient mesurable.

Ce que $c^{2}$ change à tout. Élevez la vitesse de la lumière au carré : $c^{2} = 9{,}00 \times 10^{16}$ m²·s⁻². Ce facteur immense est la clé de lecture de toute la leçon. Il signifie qu'une masse infime correspond à une énergie énorme. Une différence de masse de1 microgramme correspond à $10^{-9}\times9{,}00\times10^{16}=9{,}00\times10^7$ J, soit25 kWh avec les constantes fournies. Ce n’est pas la conversion intégrale du combustible d’une réaction ordinaire. À l'inverse, il faut convertir extraordinairement peu de masse pour produire beaucoup d'énergie — et c'est pourquoi les combustibles nucléaires occupent si peu de volume.

Deux lois restent, une tombe. Dans les réactions nucléaires de cette leçon :

• le nombre de nucléons $A$ est conservé — autant en haut à gauche des symboles avant qu'après ;
• le nombre de charge $Z$ est conservé — autant en bas à gauche avant qu'après ;
• la somme des masses au repos des constituants peut varier, mais l’énergie totale du système isolé se conserve.

Ce n'est pas une contradiction. Le nombre de nucléons compte des objets ; la masse mesure une énergie. Les mêmes nucléons, différemment assemblés, ne pèsent pas la même chose.

Pourquoi les nucléons assemblés pèsent moins que séparés. Voici l'idée centrale, et elle est simple. Pour arracher les nucléons d'un noyau et les éloigner les uns des autres, il faut fournir de l'énergie, car l'interaction forte les retient. Un noyau constitué est donc dans un état de moindre énergie que ses nucléons dispersés. Moins d'énergie, donc moins de masse : la masse d'un noyau est inférieure à la somme des masses de ses nucléons pris séparément. Cet écart s'appelle le défaut de masse du noyau.

Défaut de masse et énergie de liaison. Pour un noyau $^{A}_{Z}\mathrm{X}$ de masse $m_{\text{noyau}}$, contenant $Z$ protons et $A - Z$ neutrons,

$$\Delta m = \left[Z\,m_p + (A - Z)\,m_n\right] - m_{\text{noyau}} \geq 0,$$

et l'énergie de liaison du noyau est $E_{\ell} = \Delta m\,c^{2}$ : c'est l'énergie qu'il faudrait fournir pour le dissocier complètement en nucléons libres.

Retenez le sens : un noyau est d'autant plus solidement lié que son défaut de masse est grand. Et pour comparer des noyaux de tailles très différentes, on rapporte cette énergie au nombre de nucléons : l'énergie de liaison par nucléon, $E_{\ell}/A$, dit combien chaque nucléon est retenu en moyenne. Cette grandeur aide à comparer la liaison moyenne ; la stabilité et les voies de réaction ne se déduisent pas d’elle seule. Un proton isolé, noyau de l’hydrogène1, a un défaut de masse nucléaire nul.

La courbe qui gouverne tout. Calculez l’énergie de liaison par nucléon de chaque noyau, du plus léger au plus lourd, et portez le résultat en fonction du nombre de nucléons. Il apparaît une courbe très caractéristique : elle présente une tendance générale croissante pour les noyaux légers, avec des irrégularités marquées, atteint un maximum d'environ $8{,}8$ MeV par nucléon autour du fer et du nickel, puis redescend lentement jusqu'aux plus lourds, où elle vaut environ $7{,}6$ MeV par nucléon pour l'uranium 235.

Cette courbe se lit comme un relief. Les noyaux du sommet sont les plus solidement liés ; ceux des deux versants le sont moins. Pour un bilan de constituants cohérent, c’est le gain de liaison total, ou directement le bilan des masses au repos, qui détermine l’énergie libérée. La seule position moyenne sur cette courbe ne remplace pas le calcul du bilan précis. Deux grandes familles illustrent ce gain de liaison, sans épuiser toutes les réactions et désintégrations susceptibles de libérer de l’énergie.

• Partir des noyaux légers, sur le versant de gauche, et les assembler en un noyau plus lourd : c'est la fusion.
• Partir des noyaux lourds, sur le versant de droite, et les casser en deux fragments de taille moyenne : c'est la fission.

Ces flèches donnent une tendance énergétique pour des voies de fusion et fission favorables, pas une règle monotone pour toute réaction. La région fer–nickel est fortement liée ; cela n’interdit pas toute réaction exoénergétique impliquant ces noyaux. Le bilan des masses des réactifs et produits précis reste décisif.

La fission. Dans la voie induite étudiée, un noyau d’uranium235 capture un neutron lent, devient instable et se scinde en deux fragments de masses inégales, en libérant deux ou trois neutrons. Une écriture possible de cette réaction est

Vérifiez les deux conservations : en haut, $235 + 1 = 236$ et $141 + 92 + 3 \times 1 = 236$ ; en bas, $92 + 0 = 92$ et $56 + 36 + 3 \times 0 = 92$. On dit « une écriture possible » parce que la fission ne donne pas toujours les mêmes fragments : elle en produit toute une famille, et l'équation ci-dessus n'en décrit qu'un cas.

Les neutrons libérés peuvent provoquer de nouvelles fissions : c’est une réaction en chaîne. Dans un réacteur, son contrôle implique notamment l’absorption de neutrons ; les propriétés du combustible, la géométrie, la modération éventuelle et l’évacuation de chaleur comptent aussi. La distinction avec une arme ne repose donc pas sur les seules barres de commande. Une fission peut être induite ou spontanée ; certaines désintégrations sont accompagnées d’une émission de neutron. Il faut lire la réaction précise, sans interdire ce neutron par principe.

La fusion. Deux noyaux légers s'unissent en un noyau plus lourd. La réaction visée par le réacteur expérimental ITER assemble deux isotopes de l'hydrogène, le deutérium et le tritium :

Là encore, $2 + 3 = 4 + 1$ en haut et $1 + 1 = 2 + 0$ en bas. C'est aussi la fusion qui fait briller le Soleil : au cœur de l'étoile, quatre noyaux d'hydrogène finissent, au terme d'une suite d'étapes, par former un noyau d'hélium 4, avec émission de positons et de neutrinos, en omettant dans l’écriture suivante le détail des photons émis et de l’énergie cinétique, ce qu’on résume par le bilan

Dans les exemples étudiés, la fusion deutérium–tritium libère davantage d’énergie par nucléon que la fission de l’uranium235. Cette comparaison ne constitue pas une loi pour toute fusion et toute fission. Mais elle exige que deux noyaux, tous deux chargés positivement donc se repoussant, s'approchent assez près pour que l'interaction forte prenne le relais : il faut pour cela des températures de plusieurs millions de degrés. Le Soleil y parvient par sa masse ; ITER étudie sur Terre le fonctionnement d’un plasma de fusion ; son objectif expérimental ne constitue pas une garantie de production commerciale.

Les ordres de grandeur, pour situer. Le tableau suivant rassemble ce que les calculs de la leçon donnent.

Ces énergies sont ridicules à l'échelle humaine : quelques picojoules. Mais un gramme de matière contient des milliers de milliards de milliards de noyaux. Un gramme d'uranium 235 entièrement fissionné libère ainsi environ $7 \times 10^{10}$ J, soit à peu près vingt mille kilowattheures — quand un gramme de charbon, en brûlant, en libère quelques dizaines de kilojoules. Le rapport est de l'ordre du million. C'est toute la différence entre réarranger des électrons, ce que fait la chimie, et réarranger des nucléons.

Une remarque sur la fission de l'uranium. L'énergie calculée depuis les masses des noyaux, environ $174$ MeV, ne comptabilise que la scission elle-même. Les fragments produits sont eux-mêmes radioactifs et se désintègrent ensuite : en tenant compte de ces désintégrations, une fission d'uranium 235 libère au total près de $200$ MeV. C'est ce chiffre-là que citent les ouvrages d'ingénierie ; les deux ne se contredisent pas, ils ne comptent pas la même chose.

Et le Soleil ? Pour la puissance rayonnée donnée $P=3{,}85\times10^{26}$ W, la perte de masse correspondante est $P/c^2\approx4{,}28\times10^9$ kg/s. C’est la contribution de ce rayonnement, pas un inventaire de toutes les pertes solaires. Une extrapolation fictive de cette puissance constante sur4,5 milliards d’années donnerait environ $3{,}04\times10^{-4}$ de la masse $2\times10^{30}$ kg, soit0,0304%. La luminosité réelle évolue : cette extrapolation n’est pas une reconstruction de l’histoire du Soleil.

Trois calculs. Données communes : $E = \Delta m\,c^{2}$ ; $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m·s⁻¹ ; $1$ u $= 1{,}660\,54 \times 10^{-27}$ kg ; $1$ eV $= 1{,}60 \times 10^{-19}$ J ; $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}$ mol⁻¹. Masses atomiques : $m(^{235}_{92}\mathrm{U}) = 235{,}043\,93$ u ; $m(^{141}_{56}\mathrm{Ba}) = 140{,}914\,40$ u ; $m(^{92}_{36}\mathrm{Kr}) = 91{,}926\,17$ u ; $m(^{1}_{0}\mathrm{n}) = 1{,}008\,66$ u ; $m(^{1}_{1}\mathrm{H}) = 1{,}007\,83$ u ; $m(^{4}_{2}\mathrm{He}) = 4{,}002\,60$ u.

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Situation 1 — l'énergie libérée par une fission.

On considère la fission de l'uranium 235 écrite plus haut. Calculer l'énergie libérée par une réaction, en joules puis en mégaélectronvolts.

1. Masse des réactifs.

2. Masse des produits. Attention au coefficient $3$ devant le neutron :

3. Défaut de masse. La masse a diminué :

4. Conversion en kilogrammes, avant tout calcul d'énergie.

5. Énergie.

6. Conversion en mégaélectronvolts.

puisque $1$ MeV vaut $10^{6}$ eV.

Lecture. Le nombre de nucléons est bien conservé — $236$ de chaque côté — alors que la masse ne l'est pas. Ce sont les mêmes $236$ nucléons, autrement assemblés, et l'assemblage d'arrivée est plus lié, donc plus léger.

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Situation 2 — l'énergie de liaison par nucléon.

On utilise ici l'équivalence tabulée $1$ u $\leftrightarrow 931{,}5$ MeV, qui évite de repasser par les joules. Calculer l'énergie de liaison par nucléon de l'hélium 4, puis celle de l'uranium 235. Les masses données sont des masses atomiques : en comparant un atome d'hélium à deux atomes d'hydrogène 1 et deux neutrons, les électrons se compensent de part et d'autre, et les masses au repos électroniques se compensent ; en négligeant la petite différence des énergies de liaison électroniques, le calcul approche l’énergie de liaison nucléaire.

Hélium 4 — $2$ protons et $2$ neutrons :

Uranium 235 — $92$ protons et $235 - 92 = 143$ neutrons :

Lecture. L'uranium 235 a une énergie de liaison totale soixante fois plus grande que l'hélium 4 — c'est normal, il a soixante fois plus de nucléons. Par nucléon, l’uranium235 est ici plus lié que l’hélium4 :7,59 MeV contre7,07 MeV. Tous deux sont moins liés en moyenne que les noyaux de la région fer–nickel, autour de8,8 MeV par nucléon. C'est cette comparaison par nucléon, et non la comparaison des totaux, qui dit dans quel sens l'énergie sera libérée.

Une précision d'arrondi. Reprenez la situation 1 avec l'équivalence $931{,}5$ MeV par u : $0{,}186\,04 \times 931{,}5 \approx 173$ MeV, contre $174$ MeV par la voie des joules. L'écart, inférieur à un pour cent, vient des arrondis des données — en particulier $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m·s⁻¹ et $1$ eV $= 1{,}60 \times 10^{-19}$ J. Suivez la voie que demande l'énoncé, et ne vous inquiétez pas d'un dernier chiffre qui bouge.

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Situation 3 — la masse que perd le Soleil.

Le Soleil rayonne une puissance $P = 3{,}85 \times 10^{26}$ W. Calculer la masse qu'il perd chaque seconde.

1. Énergie rayonnée en une seconde. La puissance est une énergie par seconde :

2. Masse correspondante. On utilise la relation à l'envers, $\Delta m = \dfrac{E}{c^{2}}$ :

Lecture. Plus de quatre millions de tonnes par seconde, et pourtant une goutte d'eau à l'échelle de l'étoile. Le calcul illustre le sens de $c^{2}$ mieux que n'importe quelle phrase : diviser par $9 \times 10^{16}$ écrase tout.

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Contrôler ses résultats. Quatre réflexes. Le défaut de masse est-il positif, c'est-à-dire la masse des réactifs supérieure à celle des produits ? Ai-je converti les unités de masse atomique en kilogrammes avant de multiplier par $c^{2}$ ? Ai-je bien élevé $c$ au carré, et non oublié le carré ? Et l'ordre de grandeur est-il crédible : quelques picojoules et quelques centaines de mégaélectronvolts pour une fission, une dizaine de mégaélectronvolts pour une fusion de noyaux légers ?

Lisez la tendance et les irrégularités. La courbe présente des noyaux réels reliés par une ligne indicative ; l’encart des premiers nucléons montre notamment le pic de l’hélium4 par rapport à ses voisins. Le maximum se situe dans la régionfer–nickel. Les flèches fusion/fission illustrent deux voies favorables sans prouver une règle monotone pour chaque noyau.

Les vignettes donnent les réactions D–T et uranium235 induite. La balance compare les sommes de masses au repos de cette fission :236,05259 u contre235,86655 u. Son inclinaison est symbolique ; la différence représente environ0,079% de la masse initiale. Les nucléons et la charge sont comptés, et l’énergie totale inclut les mouvements et rayonnements que la balance ne représente pas.