La vitesse moyenne : distance, durée et conversions

Dire qu'une voiture roule à 90 km/h, c'est dire qu'à ce rythme, elle parcourrait 90 kilomètres en une heure.

La vitesse moyenne d'un objet sur un trajet est le rapport entre la distance parcourue et la durée du parcours :

• $d$ : distance réellement parcourue le long de la trajectoire (pas la distance à vol d'oiseau) ;
• $\Delta t$ : durée du parcours ;
• $v$ : vitesse moyenne, dans l'unité « unité de distance par unité de durée ».

Dans le Système international, la distance est en mètres (m) et la durée en secondes (s) : la vitesse s'exprime donc en mètres par seconde (m/s). Le kilomètre par heure (km/h) est une unité d'usage courant, mais ce n'est pas l'unité SI.

Une vitesse est toujours un rapport : sans distance et durée, pas de vitesse.

Vitesse moyenne et vitesse instantanée. Sur un trajet de 100 km effectué en 2 h, la vitesse moyenne est de 50 km/h. Pourtant, le compteur a affiché tantôt 0 km/h (feu rouge), tantôt 110 km/h (autoroute). Le compteur affiche la vitesse instantanée : la vitesse à un instant donné, c'est-à-dire la vitesse moyenne calculée sur une durée très courte. (En première, cette idée deviendra la dérivée de la position.)

• Mouvement uniforme : la vitesse instantanée est constante et égale à la vitesse moyenne.
• Mouvement varié (accéléré ou ralenti) : la vitesse instantanée change ; la moyenne ne décrit que le bilan global.

Convertir km/h en m/s. Il suffit de revenir aux définitions :

Donc :

• km/h $\to$ m/s : diviser par 3,6 ;
• m/s $\to$ km/h : multiplier par 3,6.

Repère utile : $36\ \text{km/h} = 10\ \text{m/s}$ et $90\ \text{km/h} = 25\ \text{m/s}$.

Proportionnalité. Pour un mouvement uniforme, la distance est proportionnelle à la durée : $d = v \times \Delta t$. Le graphique de $d$ en fonction de $t$ est une droite passant par l'origine, de pente $v$.

Léa part à 8 h 10 et arrive au collège, distant de 4,2 km, à 8 h 28.

1. Identifier les données.

• $d = 4{,}2\ \text{km} = 4200\ \text{m}$
• $\Delta t = 8\text{ h }28 - 8\text{ h }10 = 18\ \text{min} = 18 \times 60 = 1080\ \text{s}$

2. Calculer en unités SI.

3. Convertir en km/h (plus parlant au quotidien) :

Vérification par une autre voie : 18 min $= 0{,}3$ h, et $4{,}2 / 0{,}3 = 14$ km/h. Les deux méthodes concordent.

4. Interpréter. 14 km/h est une vitesse moyenne : Léa a sans doute roulé plus vite sur le plat et s'est arrêtée aux feux. Sa vitesse instantanée a varié entre 0 et peut-être 25 km/h.

Chiffres significatifs : un résultat ne peut pas être plus précis que les mesures dont il vient. Ici les données ont 2 chiffres significatifs (4,2 km et 18 min), le résultat est donc donné avec 2 chiffres significatifs : 14 km/h, et non 14,04 km/h.

Figure (fig.physics.average-speed, SVG programmatique). Elle illustre un second exemple, indépendant du trajet de Léa : un trajet en voiture de 5 h, avec une pause au milieu.

• Axes : temps $t$ en heures (0 à 6) en abscisse, distance parcourue $d$ en kilomètres (0 à 300) en ordonnée, sur un quadrillage léger.
• Trajet réel en trait plein (orange), en trois tronçons reliés par des points :
• de $(0\ \text{h} ; 0\ \text{km})$ à $(2\ \text{h} ; 140\ \text{km})$ : pente 70 km/h ;
• de 2 h à 3 h : palier horizontal à 140 km, l'objet est à l'arrêt (vitesse nulle, pente nulle) ;
• de $(3\ \text{h} ; 140\ \text{km})$ à $(5\ \text{h} ; 260\ \text{km})$ : pente 60 km/h.
• Corde en pointillés (violet) reliant l'origine au point d'arrivée $(5\ \text{h} ; 260\ \text{km})$ : c'est le mouvement uniforme équivalent, dont la pente est la vitesse moyenne.
• Légende « trajet réel » / « vitesse moyenne » et, sous le graphique, le calcul : $v_{\text{moy}} = \Delta d / \Delta t = 260\ \text{km} / 5\ \text{h} = 52\ \text{km/h}$.

Ce qu'il faut lire. 52 km/h n'est ni 70, ni 60, ni la moyenne arithmétique des trois vitesses ($\frac{70 + 0 + 60}{3} \approx 43$) : c'est la distance totale divisée par la durée totale, arrêt compris. Plus un tronçon est raide, plus la vitesse y est grande ; la pente de la corde est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande pente des tronçons.

La figure en détail : graphique de la distance parcourue, en kilomètres, en fonction du temps, en heures. Une ligne brisée orange part de l'origine, monte jusqu'à 140 km à 2 h (70 km/h), reste plate jusqu'à 3 h (arrêt), puis remonte jusqu'à 260 km à 5 h (60 km/h). Une droite violette en pointillés joint directement le départ au point d'arrivée (5 h ; 260 km) : sa pente est la vitesse moyenne, 260 km divisés par 5 h, soit 52 km/h, affichés sous le graphique.

Ordres de grandeur : marche $\approx 1{,}4$ m/s (5 km/h) ; vélo $\approx 5$ m/s ; voiture en ville $\approx 14$ m/s (50 km/h) ; son dans l'air $\approx 340$ m/s ; lumière $\approx 3 \times 10^8$ m/s.

1. Diviser par 1000 pour passer de km/h à m/s. On change deux unités (km $\to$ m et h $\to$ s) : le facteur est $1000/3600 = 1/3{,}6$.
2. Mélanger minutes et heures. 1 h 30 min n'est pas 1,30 h mais 1,5 h. Convertissez toute la durée dans une seule unité avant de diviser.
3. Faire la moyenne des vitesses. Aller à 60 km/h puis revenir à 40 km/h sur la même distance ne donne pas 50 km/h de moyenne, mais $48$ km/h : il faut diviser la distance totale par la durée totale.
4. Confondre moyenne et instantanée. Le radar mesure une vitesse instantanée ; le temps de trajet donne une vitesse moyenne. Une moyenne sous la limite n'exclut pas un dépassement.
5. Oublier l'unité. « $v = 14$ » ne veut rien dire ; « $v = 14$ km/h » oui.
6. Utiliser la distance à vol d'oiseau. La vitesse moyenne se calcule avec la longueur réelle du chemin parcouru.

Exercice type. L'exercice tire un mobile parmi six (coureur, cycliste, bus, voiture, moto, train), chacun avec sa plage de vitesse plausible, puis une distance en km et une durée en min ; la réponse attendue est la vitesse moyenne en m/s à 3 chiffres significatifs, et les variantes dont la vitesse en km/h tombe sur un nombre entier sont écartées pour qu'on ne puisse pas la deviner. L'énoncé ci-dessous suit le même schéma.

Un TGV parcourt les 427 km entre Paris et Lyon en 1 h 57 min.

1. Convertir la durée en heures, puis en secondes.
2. Calculer la vitesse moyenne en km/h, puis en m/s, chaque fois avec 3 chiffres significatifs.
3. Le train a atteint 300 km/h en pointe. Expliquer pourquoi la vitesse moyenne est inférieure.

Auto-contrôle : une vitesse en m/s est toujours plus petite que la même vitesse en km/h (facteur 3,6). Si ce n'est pas le cas, la conversion est inversée.